【1987-2017】历年考研数学一真题(答案+解析)

历年考研数学一真题1987-2017丁"+冲'+勿=。"的一个特解，贝IJ

(A)〃=—3,8=2,c=—1(B)a=3,Z>=2,c=-1

(答案+解析)

(C)。=—3,〃=2,c=l(D)a=3,b=2,c=1

(经典珍藏版)最近三年+回顾过去【详解】线性微分方程的特征方程为/+w+〃=O,由特解可知八=2一定

最近三年篇(2015-2017)是特征方程的一个实根.如果弓=i不是特征方程的实根，则对应于

f(x)=cex的特解的形式应该为0(x)e*,其中。(%)应该是一个零次多项式,

2015年全国硕士研究生入学统一考试

即常数，与条件不符，所以也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达

数学(一)试卷4=1

定理可得。=一(2+1)=-3/=2x1=2,同时y*=xe、是原来方程的一个

一、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.

解，代入可得c=-l应该选(A)

1.设函数/(X)在(T»,x)上连续，其二阶导数/"(X)的图形如

3.若级数条件收敛，则x=J5,x=3依次为级数

右图所示，则曲线y=/(x)在(70,内)的拐点个数为

n-]

(A)0(B)1(C)2(D)3

〃=1

(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点

【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点

图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点

【详解】注意条件级数£勺条件收敛等价于基级数为%X"在x=l处条件收

x=O.但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正

的，所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的

点才是拐点，所以应该选(C)

敛，也就是这个塞级数的收敛为1,即lim-=l,所以的

…%普

2.设y=-e2x+(x--)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程

23

n]

收敛半径R=lim=1,绝对收敛域为(0,2),显然x=百,x=3依所以JJf(x,y)dxdy=J；d可''嗽f(rcos0^rsin0)rdr，所以应该选(B).

“T8

(〃+1)。向D4尤sin26

次为收敛点、发散点，应该选(B)11

4.设D是第一象限中由曲线2孙=1,4孙=1与直线y==所围成5.设矩阵4=12,若集合Q={1,2},则线性方程组

14a22

的平面区域，函数/(x,_y)在D上连续，则办Uy=()

DAx=〃有无穷多解的充分必要条件是

nI

(A)a史Q,deQ(B)a史Q,deQ

A)JjdeJ咒2。f(rcos0^rsin0)rdrB)

42sin28

(C)a&Cl,d任。(D)aeQ.,deQ.

nJ

1s,；婚f(rcosrsin0)rdr【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换:

4v12sin20

n1

C)nd0\Si'n；0f(rcos0,rsin0)drD)

42sin20

n]

J：de1强^f(rcosrsin0)dr

49sin20

【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程:

)911

2xy=1=2rsin0cos0=1=厂=------

sin20Vsin20

211

4盯=1=4r2sinCeos6=1=>r=2sin26=’-J2shi28

—<0<—

43‘111pl11Afl11

也就是D：{]一[

B=(A,b)=12adf01a-}d-\->01Q-l

.-<r<■-d-)103a2-1d--1)(00

.J2sin2eJsin2。4a-(。―1)3—2

故选择(A).

方程组无穷解的充分必要条件是r(A)=r(A,〃)<3,也就是

7.若A,B为任意两个随机事件，则()

(。-1)&-2)=0</(-1d)(~2同时成立，当然应该选(D).

(A)P(AB)<P(A)P(B)(B)P(AB)>P(A)P(B)

6.设二次型/(x„x2,x3)在正交变换x=4下的标准形为,

P(A)+P(b)P(A)+P(B)

(C)P(AB)<(D)P(AB)>

其中尸=(4,62,63)，若Q=(e”一与遇)，则/(占,*2，*3)在x=0y下的标22

准形为

3也故选

【详解】P(A)>P(AB),P(B)>P(AB),所以P(A3)<

(A)2寸一贡+y；(B)2y；+关-灵2

择(C).

(C)2y；-戈一y；(D)2y；+y；+y；

8.设随机变量X,F不相关，且EX=2,EV=JOX=,则

00、'100、

【详解】Q=(el,-e3,e2)=(el,e2,e3')001001E(X(*42=()

[。

-10>、°-10,(A)-3(B)3(C)-5(D)5

‘100、详解

Qr=00-1PTE(X(X+Y-2))=E(X2)+E(XY)-2EX=DX+(EX)2+EXEY-2EX=i

、010,

[2、故应该选择(D).

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

f=XTAX=yTPAPy-yT1yT

ln(cosx)

9.

XTO

所以

X/X/<0..In(cosx)..-tanx1

【详解】lim-------=lim------=——

Q'AQ=0-P'AP=0DX"XTO2x2

、°>、一，、

sinx2

10.jJJ(x+2y+3z)dxdydz=6jJ|zdxdydz=6jztfcjjdxdy=3|()z(l-z)tfc=—

、1+COSX

QA°D2°

sinx

【详解】只要注意-------为奇函数，在对称区间上积分为零,2002

1+cosX

-1202

所以f"F-|x|lrfx=2[2xdx=—.13.〃阶行列式

JgU+cosx।।厂Jo40022

00-12

11.若函数z=z(x,y)是由方程e'+到z+x+cosx=2确定，则

【详解】按照第一行展开，得£>,,=2Z>“T+(-1).2(-1)1=2£>“_1+2,有

£>„+2=2(D„_,+2)

【详解】设PXx,MjOne'+盯z+x+cosx-2,则

由于〃=2,。2=6，得D“=2"-|(£>1+2)-2=—2.

F/(x,j,z)=jz+1-sinx,F'(x,y,z)=xz,F/(x,y,z)=ez+xy

14.设二维随机变量(X/)服从正态分布N(l,0;l,l;0),则

且当x=0,j=1时，z=0,所以

P{X¥w}；____________.

dz_F/(0,l,0)_dz_(0,1,0)

瓦L°‘产一而而;=T⑤L°‘产一而不='【详解】由于相关系数等于零，所以X,Y都服从正态分布，

X~~N(0,l),且相互独立.

也就得到dz|(o,产一dx.

则*一1~N(0,l).

12.设。是由平面x+y+z=l和三个坐标面围成的空间区域，则

JjJ(x+2y+3z)dxdydz=.p{xy-y<o}=p{y(x-i)<o}=p{y<o,x-i>o}+p{y>o,x-i<o}

Q

【详解】注意在积分区域内，三个变量x,y,z具有轮换对称性，也就是

JJJxdxdydz=JJJjdxdydz=Jj|zdxdydz三、解答题

Q

15.(本题满分10分)设函数/(x)=x+aln(l+x)+bxsinx,g(x)=kx^

在xfO时为等价无穷小，求常数。,儿女的取值.

令y=0,得

【详解】当xf()时，把函数/(x)=x+aln(l+x)+&rsinx展开到三阶的

曲线y=/(X)在点(Xo，f(Xo))处的切线与直线x=*0及X轴所围成区域的

马克劳林公式，得

3面积为

尤2X1

/(X)=X+Q(X----1----FO(X5))+6X(X—优+o(x'))

236

s=；/(%)(工。-(X。_)=4

2f廿(x°1)

=(14-u)x+(――+b)x~+(-)x3+o(x?)0

整理，得)，=?72,解方程，得l=c-_L*,由于〃0)=2,得C=L

8y82

l+a=O

Q

由于当x->o时，y(x),g(x)是等价无穷小，则有•-]+)=(),

所求曲线方程为7=——•

4-x

j17.(本题满分10分)

l3

设函数/(x,_y)=x+y+xy,曲线。：必+丁、4=3,求/(x,y)在曲线

解得，a=—\,b=――,k=――.C上的最大方向导数.

23

【详解】显然g=l+y,.=l+x.

dxdy

16.(本题满分10分)

设函数y=/(x)在定义域/上的导数大于零，若对任意的X°G/，曲线/(*,y)=x+_y+xy在(x,y)处的梯度=(詈，着)=(l+y,l+x)

y=/(x)在点(x0,/(%))处的切线与直线x=与及x轴所围成区域的面积

/(x,j)在(x,j)处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模

恒为4,且〃0)=2,求/(x)的表达式.

\gradf\=7(1+j)2+(l+x)2

【详解】y=f(x)在点(％"(%))处的切线方程为

所以此题转化为求函数F(X,J)=(1+X)2+(1+J)2在条件

丁=/o力Io势

C:x2+y2+xy=3下的条件极值.用拉格朗日乘子法求解如下：=Auv(x+Zlx)+〃(无)/u

令L(x,j,/l)=(l+x)2+(l+y)2+A,(x2+y2+xy—3)

---=V(X++M(X)

AxAx------------------------Ax

F/=2(l+x)+2x2+j2=0

由导数的定义和可导与连续的关系

解方程组，F/=2(l+J)+2J2+X2=0,得几个可能的极值点

22.Ay.AMAM.

x+j+xj=3j*=lim——=lim[——v(x+2\x)4-w(x)——]=u*(x)v(x)4-i/(x)v\X)

AXTOAX&3)AxAx

(1,)zi-i)a,i-)-

(2)/(x)=〃[(x)〃2(x)%(x)

进行比较，可得，在点x=2,y=-l或x=-l,y=2处，方向导数取到最大,

/'(x)=〃：(x)〃[(x)〃2(x)〃〃(x)+〃](x)&(x)〃〃(x)++u](x)u2(x)

为囱=3.

19.(本题满分10分)

18.(本题满分10分)

已知曲线L的方程为卜={2_1_歹，起点为A(0,",0,终点为

(1)设函数«(x),v(x)都可导，利用导数定义证明

[z=X

(w(x)v(x))f=〃'(x)v(x)+“(x)v'(x)；

B(0,-V2,0),计算曲线积分£(j+z)dx+(z2-x2+y)dy+(x2+y2)dz.

(2)设函数“1(X),/(X),都可导，/(x)=%(x)〃2(x)W„(x),X=cost

【详解】曲线L的参数方程为•y=J5sinf,

写出/(X)的求导公式.

z=cost

【详解】(1)证明：设y="(%»(%)起点A(0,衣0)对应t=g终点为5(0,—0,0)对应f=一?.

4y=u(x+zlx)v(x+Zlx)—H(JC)V(X)£(j+z)dx+(z2-x2+y)dy+(x2+y2)dz

=〃(x+Ax)v(x+Ax)—i/(x)v(x+Ax)+w(x)v(x+Ax)—w(x)v(x)=J/(>/2sint+cost)d(cos力+(V2cosf)d(夜cosf)+(2-cos2t)dcost

=2-72[2sin2tdt=立~兀*（a,+2左+无。3）*=0存在非零解.

Jo2

从而系数行列式应该等于零，也就是

20.（本题满分H分）1on101

设向量组必,生，区为向量空间的一组基，（四，％,。3）01o=1(.,4,阂o10=0

12A0k)2k0k

=2«+2k%,0】—2a2,网=%+（4+D/.

101

（1）证明：向量组片,q,网为向量空间W的一组基；由于4,6,。3显然线性无关，所以010=0.也就是左=0.

2k0k

（2）当k为何值时，存在非零向量g,使得g在基区和基川，河，河下

玉、

的坐标相同，并求出所有的非零向量。x2=(工1+七)«+w%=o,

x3/

‘201、

【详解】（1）（夕）（）

],&&=%%,%020,X,+x,=0

由于4,外线性无关，所以•二，通解为其中C为

2k0Jt+1?

x2=0

201

21任意常数.

因为。且G，a，a显然线性无关，所以

020=22kk+1=40,1-T

fC

2k0k+1

所以满足条件的4=0其中c为任意不为零的常数.

笈,河,河是线性无关的，当然是向量空间R'的一组基.<-c>

21.（本题满分11分）

（2）设非零向量g在两组基下的坐标都是（不，马,七），则由条件

（02-3、‘1-20、

x.a,+x2a2+44=*6+x#1+x遇设矩阵A=-13相似于矩阵B=060

J-2、031,

可整理得：x/a,+2ka3）+x2a2+x/a,+fc«3）=0,所以条件转化为线性方

（1）求a,5的值;

程组

对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记y为次

（2）求可逆矩阵尸，使「TAP为对角矩阵.

数.

求y的分布函数；

【详解】⑴因为两个矩阵相似，所以有。14=。5,同=忸|

（1）求y的概率分布；

（2）求数学期望EY.

3+a=2+ba=4

也就是，2«-3=Z>=【详解】（1）X进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为

b=5

尸（入＞3）=]＞，111"”：

A-l20

(2)由|XE-3|=02-50=(2-1)2(2-5)=0,得A,B的特

0-3A,—1显然Y的可能取值为2,3,4,

征值都为4=4=1,4=5且次』）小喝心「=*"『13,4,

解方程组（E-A）x=0,得矩阵A的属于特征值A,=4=1的线性无关的特

（2）设

，2、

S（X）=£〃（〃-1）X'T=£（》"）"=（£*"）=（]二产旧＜1

征向量为14=

解方程组（5E—A）x=O得矩阵A的属于特征值4=5的线性无关的特征向3）=*『）小小…（JVs（力

=16

-r

23.（本题满分11分）

量为&=1

设总体X的概率密度为

、i.

1

‘2-3叫P00、,0<x<l

令尸=(《&g)=101,则pT/lP=0100,其他

(011)(005,

其中。为未知参数，xt,x2,是来自总体的简单样本.

2~xIn2,x>0

22.（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为/（x）=＜（1）求参数。的矩估计量;

0,x40

(2)求参数e的最大似然估计量.

【详解】(1)总体的数学期望为

E(X)=J；x匕公=；(1+。)

令E(X)=M,解得参数。的矩估计量：3=2去-1.

(2)似然函数为

〃天，与，，£；例={(——1一-——仍",0<'2,X,"<1

、0,其他2016年全国硕士研究生入学统一考试

显然〃6)是关于。的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使。尽数学(一)试卷

可能大就可以，所以

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，

参数。的最大似然估计量为0=min(X1,X2，,xn).只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。

(1)若反常积分「‘一!一时收敛，则()。

J。x"(l+x)”

A.。<1且b>1

a>1且1

C.。<1且Q+〃>1

D.且

【答案】C

广+81/•11「田1”1

【解析】f——;_rdx=\-i_-dx+\——Jdx,而工dx当

J。x"(l+x)“」。/(1+幻"Jixa(l+x)ftJ。％“

a<1时收敛，而此时(1+x)b不影响，「‘——!~-dx=「'----二一公，

L炉‘(1+4/(1+与

当a+b>l时收敛，此时（1+，）"不影响，因此选择C.

而

X

2（x—l）,x<l,则/（X）的一个原函数是（）。

（2）已知函数/（©=<

Inx,x>1

【答案】A

(x-l)2,x<l【解析】将y=(l+f)2一，i+f代入微分方程可得:

A.F(x)=<

x(lnx-l),x>1

4x(1+x")—/"+/?(x)[(l+x-)"-+J]=q(x)

2

(x-l),x<lVl+x2

B.尸(x)=

x(lnx+l)-l,x>l