人教版中考数学一轮复习数学基础讲练：第30讲 概率初步

第30讲概率初步考标要求考查角度1.能正确指出自然和社会现象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件．2．能从实际问题中了解概率的意义，能用列举法计算随机事件发生的概率．3．能用大量重复试验时的频率估计事件发生的概率.概率是中考命题的必考点，选材多来自游戏、抽奖等生活题材，主要考查必然事件、不可能事件及随机事件的区别，用列表、画树状图法求简单事件发生的概率以及用频率估计概率，题型以填空题、选择题及解答题的形式出现.知识梳理一、事件的有关概念1．必然事件在现实生活中__________发生的事件称为必然事件．2．不可能事件在现实生活中__________发生的事件称为不可能事件．3．随机事件在现实生活中，有可能__________，也有可能__________的事件称为随机事件．4．分类事件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(确定事件\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(必然事件,不可能事件)),随机事件))二、用列举法求概率1．定义在随机事件中，一件事发生的可能性__________叫做这个事件的概率．2．适用条件(1)可能出现的结果为__________多个；(2)各种结果发生的可能性__________．3．求法(1)利用__________或__________的方法列举出所有机会均等的结果；(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树形图列举．三、利用频率估计概率1．适用条件当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．2．方法进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个__________时，该__________就可认为是这个事件发生的概率．四、概率的应用概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．自主测试1．(2022浙江杭州)一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是()A．摸到红球是必然事件 B．摸到白球是不可能事件C．摸到红球与摸到白球的可能性相等 D．摸到红球比摸到白球的可能性大2．(2022浙江宁波)一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．13．有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为，据此可以估计红球的个数约为__________．4．有长度分别为2cm,3cm,4cm5．(2022福建泉州)在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．(1)随机地从盒中提出1子，则提出白子的概率是多少？(2)随机地从盒中提出1子，不放回再提第二子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．考点一、事件的分类【例1】下列事件属于必然事件的是()A．在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾 B．C．中秋节晚上能看到月亮 D．下雨后有彩虹解析：区分事件发生的可能性，应注意积累生活经验和一些基本常识，然后再予以判断．答案：A方法总结如何判断事件发生的可能性，我们可以凭直觉判断出有些事件发生的可能性大小，有时要结合日积月累的生活经验，或者经过严谨的推理得到事实等．触类旁通1下列事件中，为必然事件的是()A．购买一张彩票，中奖 B．打开电视，正在播放广告C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球考点二、用列举法求概率【例2】(2022湖南张家界)第七届中博会于2012年5月18日至20日在湖南召开，设立了长沙、株洲、湘潭和张家界4个会展区，聪聪一家用两天时间参观两个会展区：第一天从4个会展区中随机选择一个，第二天从余下3个会展区中再随机选择一个，如果每个会展区被选中的机会均等．(1)请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；(2)求聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率；(3)求张家界会展区被选中的概率．分析：根据题意列表或画树状图，求出所有可能出现的结果，再根据每种事件出现的次数，求出对应的概率．解：(1)用列表法：或画树状图：(2)由(1)知，共有12种等可能的结果，第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区(记为事件A)有一种可能结果，则P(A)＝eq\f(1,12).(3)所有等可能结果中，出现张家界会展区的有6种可能结果，记张家界会展区被选中为事件B，则P(B)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).方法总结1.用列举法求概率，无论是简单事件还是复杂事件，都先列举所有可能出现的结果，再代入P(A)＝eq\f(m,n)计算．2．在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．3．判断游戏的公平性，在相同的条件下，应考虑随机事件发生的可能性是否相同，可能性大的获胜机会就大．触类旁通2甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．考点三、频率与概率【例3】小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次试验，试验的结果如下：朝上的点数123456出现的次数171315232012(1)试求“4点朝上”和“5点朝上”的频率；(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？解：(1)“4点朝上”出现的频率是eq\f(23,100)＝.“5点朝上”出现的频率是eq\f(20,100)＝.(2)不能这样说，因为“4点朝上”的频率最大并不能说明“4点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．方法总结在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．触类旁通3某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数50100200500100030005000发芽种子粒数459218445891427324556发芽频率(1)计算各批种子发芽频率，填入上表．(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽概率．考点四、概率的应用【例4】(2022云南昆明)小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1,2,3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．(1)请用画树状图或列表的方法(只选其中一种)，表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果．(2)若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜；两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜．这个游戏公平吗？为什么？解：(1)列表如下：1231(1,1)(1,2)(1,3)2(2,1)(2,2)(2,3)3(3,1)(3,2)(3,3)或画树状图如下：(2)可能出现的数字之和分别为2,3,4,3,4,5,4,5,6共9个，它们出现的可能性相同．其中奇数共4个，偶数共5个．∴P(小昆获胜)＝eq\f(4,9)，P(小明获胜)＝eq\f(5,9).∵eq\f(4,9)≠eq\f(5,9)，∴游戏不公平．方法总结游戏公平与否，关键是根据规则算出各自的概率，概率均等则游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．触类旁通4(1)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．1(2)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗庙、烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是()A．eq\f(1,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(2,9)1．(2022湖南张家界)下列不是必然事件的是()A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．三角形任意两边之和大于第三边C．面积相等的两个三角形全等 D．三角形内心到三边距离相等2．(2022湖南湘潭)“湘潭是我家，爱护靠大家．”自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为eq\f(1,3)，遇到黄灯的概率为eq\f(1,9)，那么他遇到绿灯的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,9)D．eq\f(5,9)3．(2022湖南长沙)任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是__________事件．4．(2022湖南娄底)在－1,0，eq\f(1,3)，1，eq\r(2)，eq\r(3)中任取一个数，取到无理数的概率是__________．5．(2022湖南怀化)投掷一枚普通的正方体骰子24次，(1)你认为下列四种说法哪几种是正确的？①出现1点的概率等于出现3点的概率；②投掷24次，2点一定会出现4次；③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果出现4点的可能性就会加大；④连续投掷6次，出现的点数之和不可能等于37.(2)求出现5点的概率．(3)出现6点大约有多少次？1．某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,6)2．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为eq\f(2,3)，则黄球的个数为()A．2B．4C．12D3．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为eq\f(1,2)，下列说法错误的是()A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的4．在x2eq\x()2xyeq\x()y2的空格eq\x()中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是()A．1B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)5．在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为__________．(注：π取3)6．从－2，－1,2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是__________．7．如图所示，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则P(3)__________P(4)．(填“＞”、“＜”或“＝”8．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明去听讲座．(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．参考答案【知识梳理】一、1.一定会2.一定不会3.发生不发生二、1.大小2．(1)有限(2)相等3．(1)列表画树状图三、2.常数常数导学必备知识自主测试1．D摸到红球是随机事件，故选项A错误；摸到白球是随机事件，故选项B错误；根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项C错误；根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项D正确．2．A因为根据题意可得：一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，共3个，任意摸出1个，摸到白球的概率是2÷3＝eq\f(2,3).3．600\f(1,4)因为长度为2cm,3cm,4cm,7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2,3,4；3,4,7；2,4,7；3,4,所以能组成三角形的概率是eq\f(1,4).5．解：(1)P(白子)＝eq\f(1,4).(2)方法一：所有等可能的结果，画树状图如下：∴P(一黑一白)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).方法二：所有等可能的结果，列表如下.∴P(一黑一白)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).探究考点方法触类旁通触类旁通2.解：(1)列表法如下：甲乙丙丁甲乙甲丙甲丁甲乙甲乙丙乙丁乙丙甲丙乙丙丁丙丁甲丁乙丁丙丁所有可能出现的情况有12种，其中甲、乙两位同学组合的情况有两种