弹塑性力学部分习题及答案 (1)课件

弹塑性力学部分习题解答第一部分静力法内容3/27/20231题1-1

将下面各式展开（1）.

（2）.

（3）.

e为体积应变3/27/20232题1-2证明下面各式成立，题1-3

利用指标符号推导位移法基本方程（1）.

eijkaiaj=0（2）.若

ij=ji,

ij=-

ji,

则

ijij=03/27/20233题1-3而则3/27/20235题1-3注意哑标可换标3/27/20236题1-3代入得3/27/20237题1-5等截面直杆（无体力作用），杆轴方向为z轴,已知直杆的位移解为其中k为待定常数，(x‚y)为待定函数，试写出应力分量的表达式和位移法方程。3/27/20239题1-6

半空间体在自重g和表面均布压力q作用下的位移解为u=v=0,试求x/z(应力比).3/27/202310题1-7图示梯形截面墙体完全置于水中，设水的密度为，试写出墙体各边的边界条件。题1-8图示薄板两端受均匀拉力作用，试确定边界上A点和O点的应力值。hy

xOhABCDqxyqoA3/27/202311题1-9xyo450lh2、求边界力

x=ax、y=a(2x+y-l-h)、xy=-ax在x=0边界：l1=-1,l2=0

x=0、xy=0在y=l边界：l1=0,l2=1y=a(2x-h)、xy=-ax3/27/202313题1-9xyo450lh2、求边界力在x+y=l+h边界：l1=l2=cos450

x=ax、y=ax、xy=-ax3、求应变

x=ax、y=a(2x+y-l-h)、xy=-ax可得应变表达式。3/27/202314题1-10图示矩形薄板，厚度为单位1。已知其位移分量表达式为

式中

E、

为弹性模量和泊松系数。试（1）求应力分量和体积力分量；（2）确定各边界上的面力。lhyxOh解：1、求应变3/27/202315题1-10lhyxOh4、求边界力

3、求体积力左右边界和下边界无面力；上边界面力为均匀拉力gl

。3/27/202317题1-11设有一无限长的薄板，上下两端固定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。设：

u=0、v=v(y)

xybgo位移解为3/27/202318其中

V

是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为题1-12

试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即3/27/202319题1-13

2coxyl3、求边界力3/27/202321题1-13

2coxyl在y=-c边界：l1=0,l2=-1在y=c边界：l1=0,l2=13/27/202322题1-13

2coxyl在x=0边界：l1=-1,l2=03/27/202323题1-13

在x=l边界：l1=1,l2=0oxylFlqqFF3/27/202325试（1）列出求解的待定系数的方程式，（2）写出应力分量表达式。题1-14

图示无限大楔形体受水平的常体积力

q

作用,设应力函数为yxqo解：1、将

代入

4=0

满足,

为应力函数。3/27/202326题1-14

yxqo在y=xtg

边界：l1=cos(900+)=-sin,l2=cos3/27/202329题1-14

yxqo应力分量表达式

3/27/202330（1）题1-15

设弹性力学平面问题的体积力为零，且设试（1）检验该函数是否可以作为应力函数；（2）如果能作为应力函数，求应力分量的表达式。（2）3/27/202331试由边界条件确定C1和C2。题1-16

圆环匀速（）转动，圆盘密度为

，且设ur表达式为xybra解：边界条件为：(r）r=a=0,(r）r=b=0

应力r（平面应力问题）：3/27/202332由边界条件确定C1和C2：题1-16

xybra应力：3/27/202333题1-17

图示无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔（圆孔半径a很小），且薄板受纯剪切作用，试求孔边最大和最小应力。qx

yq3/27/202334题1-18

图示一半径为a的圆盘（材料为E1,1）,外套以arb的圆环（材料为E2,2），在

r=b处作用外压q,设体积力为零,试写出该问题解的表达式以及确定表达式中待定系数的条件abq解：圆盘为单连域，圆环为多连域；轴对称问题，且体积力为零。3/27/202335题1-18abq1、写出圆盘和圆环的应力和位移的表达式：（1）圆盘（平面应力问题）的应力和位移的表达式：r==2C1，ur=2C1r

(1-1)/E1（2）圆环（平面应力问题）的应力和位移的表达式：r=A2/r2+2C2，

=-A2/r2+2C1，ur=[-(1+2)A2/r+2C2r(1-2)]/E23/27/202336题1-18abq边界条件：(r）r=b=-q

连续条件：2、利用边界条件和连续条件确定待定系数的公式：r=a

时

：ur1=ur2

，r1=r2

A2/b2+2C2

=-q—(1)3/27/202337题1-18abqr=a

时

：ur1=ur2

，r1=r2

A2/b2+2C2

=-q—(1)2C1a

(1-1)/E1=[-(1+2)A2/a+2C2a(1-2)]/E2—(2)2C1

=A2/a2+2C2

—(3)3/27/202338(r,)=r2(Asin2+B)/2

题1-19

图示半无限平面薄板不计体力。已知在边界上有平行边界的面力q作用。应力函数取为试（1）列出求解待定系数A、B的方程式，（2）写出应力分量表达式。oxyrq3/27/202339(r,)=Acos2+Bsin2+C

题1-20

图示无体力的楔形体，顶端受集中力偶作用，应力函数取为试（1）列出求解待定系数A、B、C的方程式，（2）写出应力分量表达式。ox

yM/2/23/27/202340题2-1图示结构各杆等截面杆，截面面积为A,结点C承受荷载P作用,材料应力—应变关系分别为（1）=E，(2)=E1/2。试计算结构的应变能U和应变余能Uc。第二部分能量法内容lPCBAx

ylC’3/27/202341题2-2

分别利用虚位移原理、最小势能原理、虚应力原理和最小余能原理求解图示桁架的内力。已知桁架各杆EA相同，材料的弹性关系为

=E。解：

（1）虚位移原理求解图示桁架的内力桁架在荷载作用下，各杆产生内力NAC、NBC、NDC和变形，引起C点位移：uc和vc（内力、变形和位移是真实的）。lPCBAx

ylD3/27/202342题2-2

lPCBAx

ylD虚位移方程根据几何关系设桁架有虚位移，C点虚位移

uc和

vc3/27/202343题2-2

lPCBAx

ylD由于uc和vc为任意的,因此方程中uc和vc的系数为零，得代入虚位移方程，得3/27/202344题2-2

lPCBAx

ylD而代入上式，解得3/27/202345题2-2

则3/27/202346题2-2

（3）虚应力原理求图示桁架的内力lPCBAx

ylD桁架在荷载作用下，各杆产生内力NAC、NBC、NDC和变形，引起C点位移：uc和vc（内力、变形和位移是真实的）。设桁架有虚内力，对应于无荷载情况，

NAC、

NBC、

NDClCBAx

ylD3/27/202347题2-2

应用虚应力方程lPCBAx

ylD即

NAC

AC+

NBC

BC+

NDCDC=0lCBAx

ylD而代入上式，并注意3/27/202348题2-2

NAC+

NBCcos450=0,

NDC+

NBCcos450=0且虚应力任意的，得利用平衡方程，有NBC

=（NAC+

NDC）/2—（1）lPCBAx

ylDNBCcos450

+NAC=0—（2）NBCcos450

+NDC+P=0—（3）联立求解，得3/27/202349题2-2

lPCBAx

ylD3/27/202350题2-4利用最小余能原理求左图示梁的弯矩。题2-3

左图示梁受荷载作用，试利用虚位移原理或最小势能原理导出梁的平衡微分方程和力的边界条件。

y

qEI

x

l

M

y

qEI

x

l3/27/202351（1）悬臂梁受两个集中力P作用。（2）简支梁受均布荷载

q作用,设：v=B1x(x-l)+B2x2(x-l)。题2-5利用虚位移原理的近似法或Ritz法求解图示梁的挠曲线。xyPEIl/2l/2P

qEI

y

x

l3/27/202352（1）悬臂梁受两个集中力P作用。题2-5利用虚位移原理的近似法或Ritz法求解图示梁的挠曲线。xyPEIl/2l/2P解：

利用Ritz法求解图示梁的挠曲线。设挠曲线为满足位移边界条件：3/27/202353梁的应变能:题2-5xyPEIl/2l/2P外力势能:确定b1,b2

3/27/202354梁的总势能:题2-5xyPEIl/2l/2P外力势能:

=U

+V

由总势能

的变分

=0，得3/27/202355题2-