重庆八中中考数学一模试卷含答案解析

2019年重庆八中中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每题4分，共48分）在每个小题的下边，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，此中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案的标号涂黑．1．﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．2．以下图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．计算的结果是（）A．1B．﹣1C．D．4．以下计算结果正确的选项是（）63=4x2235A．8x÷2xB．x+x=xC．（﹣3x2y3=﹣9x6y3D．xx2=x3）?5．以下检查中，最合适采纳普查方式的是（）．检查一批汽车的使用寿命B．检查重庆全市市民“五?一”时期计划出门旅行C．检查某航班的游客能否携带了违禁物件D．检查全国初三学生的视力状况6．函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＞4B．x≥﹣2且x≠4C．x＞﹣2且x≠4D．x≠47．如图，l1∥l2，l3⊥l4，∠1=42°，那么∠2的度数为（）A．48°B．42°C．38°D．21°24x﹣m2m的值为（）8．已知x=2是一元二次方程（m﹣2）x+=0的一个根，则A．2B．0或2C．0或4D．09．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上的点，∠DCB=30°，过点D作⊙O的切线交AB的延伸线于E，若AB=4，则DE的长为（）第1页（共27页）A．2B．4C．D．10．察看以下一组图形中点的个数，此中第1个图形中共有3个点，第2个图形中共有8个点，第3个图形中共有15个点，按此规律第6个图形中共有点的个数是（）A．42B．48C．56D．7211．甲、乙两位运动员在一段2000米长的笔挺公路长进行跑步竞赛，竞赛开始时甲在起点，乙在甲的前面200米，他们同时同向出发匀速行进，甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/秒，先到终点者在终点原地等候．设甲、乙两人之间的距离是y米，竞赛时间是x秒，当两人都抵达终点计时结束，整个过程中y与之间的函数图象是（）A．B．C．D．12．如图，平行四边形ABCD的极点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴于点E，BC⊥AC，连结BE，反比率函数（x＞0）的图象经过点D．已知S△BCE=2，则k的值是（）第2页（共27页）A．2B．﹣2C．3D．4二、填空题：（此题共6小题，每题4分，共24分）请把以下各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上13．3月20日，2019长安汽车重庆国际马拉松鸣枪开跑，本届重马不单是2019年全国马拉松锦标赛三站中的一站，同时仍是2019年巴西里约奥运会马拉松独一一站选拔赛，竞赛分为全程、半程、迷你三大项目，吸引了31900多名选手参加．把数“31900”用科学记数法表示为．14．计算：=．15．如图，已知△ABC中，DE∥BC，连结BE，△ADE的面积是△BDE面积的，则S△ADE：S△ABC=．16．如图，矩形ABCD中，点O在BC上，OB=2OC=2，以O为圆心OB的长半径画弧，这条弧恰巧经过点D，则图中暗影部分的面积为．17．从﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这7个数中任选一个数作为a的值，则使得对于x的分式方程有整数解，且对于x的一次函数y=a1xa4的图象不经过第二（+）+﹣象限的概率是．18．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BC上凑近点B的四平分点，点F是CD的中点，连结AE、BF将△ABE着点E按顺时针方向旋转，使点B落在BF上的B1处地点处，点A经过旋转落在点A1地点处，连结AA1交BF于点N，则AN的长为．第3页（共27页）三、解答题：（本大题共2个小题，每题7分，共14分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每题一定给出必需的演算过程或推理步骤．19．如图，点A、B、C、D在同向来线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．20．2019年春节联欢晚会分为A（语言类）、B（歌舞类）、C（魔术类）、D（杂技类）四类节目．为了认识某养老院老人对这几类节目的爱好程度，民政部门在该养老院随机抽取部分老人进行了问卷检查，规定每位老人只好选一类自己最喜爱的节目，并制成了以下两幅不完好的统计图．由图中所给出的信息解答以下问题：1）补全条形统计图；2）已知该养老院共有230位老人，请你预计该养老院喜爱语言类节目的老人大概有多少人？21．化简以下各式：（1）（a+b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2（2）．第4页（共27页）四、解答题：（本大题共4个小题，每题10分，共40分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每题一定给出必需的演算过程或推理步骤．22．如图，小明为了丈量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走104米到点D处，测得大楼顶部点A的仰角为37°，大楼底部点B的俯角为45°，已知斜坡CD的坡度为i=1：2.4．（参照书据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）求点D距水平面BC的高度为多少米；（2）求大楼AB的高度约为多少米．23．某中学在开学前往商场购进A、B两种品牌的足球，购置A品牌足球共花销3000元，购置B品牌足球共花销1600元，且购置A品牌足球数目是购置B品牌足球的3倍，已知购置一个B品牌足球比购置一个A品牌足球多花30元．（1）求购置一个A品牌、一个B品牌足球各需多少元？（2）为了进一步发展“校园足球”，学校在开学后再次购进了A、B两种品牌的足球，每种品牌的足球许多于15个，总花销恰巧为2268元，且在购置时，商场对两种品牌的足球的销售单价进行了调整，A品牌足球销售单价比第一次购置时提升了8%，B品牌足球按第一次购置时销售单价的9折销售．那么此次有哪些购置方案？24．假如一个多位自然数的随意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．比如：321，6543，98，都是“妙数”．（1）若某个“妙数”恰巧等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为．（2）证明：随意一个四位“妙数”减去随意一个两位“妙数”之差再加上1获得的结果必定能被11整除．（3）在某个三位“妙数”的左边搁置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而获得一新的四位自然数A，且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n，使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都同样？若存在恳求出m和n的值；若不存在，请说明原因．五、解答题：（本大题共2个小题，每题12分，共24分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每题一定给出必需的演算过程或推理步骤．25．在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，延伸AB至点D，使BD=BC，点E是直线BC上一点，点F是直线AC上一点，连结DE．连结EF，且∠DEF=∠DBC．（1）如图1，若∠D=∠EFC=15°，AB=，求AC的长．（2）如图2，当∠BAC=45°，点E为线段BC的延伸线上，点F在线段AC的延伸线上时，求证：CF=BE．（3）如图3，当∠BAC=90°，点E为线段CB的延伸线上，点F在线段CA的延伸线上时，猜想线段CF与线段BE的数目关系，并证明猜想的结论．第5页（共27页）26．如图1，抛物线与x轴订交于A、B两点（点A在点B的右边），已知C（0，）．连结AC．（1）求直线AC的分析式．（2）点P是x轴下方的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴交直线AC于点E，交x轴于点F，过点P作PG⊥AE于点G，线段PG交x轴于点H．设l=EP﹣FH，求l的最大值．（3）如图2，在（2）的条件下，点M是x轴上一动点，连结EM、PM，将△EPM沿直线EM折叠为△EP1M，连结AP，AP1．当△APP1是等腰三角形时，试求出点M的坐标．第6页（共27页）2019年重庆八中中考数学一模试卷参照答案与试题分析一、选择题：（本大题共12个小题，每题4分，共48分）在每个小题的下边，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，此中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案的标号涂黑．1．﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．【考点】相反数．【剖析】依据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2，应选A2．以下图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【剖析】依据中心对称图形的观点求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．应选B．3．计算的结果是（）A．1B．﹣1C．D．【考点】二次根式的加减法．【剖析】先进行二次根式的化简，而后归并同类二次根式求解．【解答】解：原式=2﹣3=﹣．应选D．4．以下计算结果正确的选项是（）A．8x6÷2x3=4x2B．x2+x3=x5C．（﹣3x2y）3=﹣9x6y3D．x?x2=x3【考点】整式的除法；归并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【剖析】分别利用归并同类项法例以及单项式除以单项式运算法例和积的乘方运算法例化简、同底数幂的乘法运算法例，从而判断得出答案．【解答】解：A、8x6÷2x3=4x3，故此选项错误；第7页（共27页）B、x2+x3，没法计算，故此选项错误；2363C、（﹣3xy）=﹣27xy，故此选项错误；23D、x?x=x，故此选项正确；应选：D．5．以下检查中，最合适采纳普查方式的是（）．检查一批汽车的使用寿命B．检查重庆全市市民“五?一”时期计划出门旅行C．检查某航班的游客能否携带了违禁物件D．检查全国初三学生的视力状况【考点】全面检查与抽样检查．【剖析】由普查获得的检查结果比较正确，但所费人力、物力和时间许多，而抽样检查获得的检查结果比较近似．【解答】解：A、检查一批汽车的使用寿命，检查拥有损坏性，合适抽样检查，故A错误；B、检查重庆全市市民“五?一”时期计划出门旅行，检查范围广合适抽样检查，故B错误；C、检查某航班的游客能否携带了违禁物件是事关重要的检查，合适普查，故C正确；D、检查全国初三学生的视力状况，检查范围广合适抽样检查，故D错误；应选：C．6．函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＞4B．x≥﹣2且x≠4C．x＞﹣2且x≠4D．x≠4【考点】函数自变量的取值范围．【剖析】依据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2≥0且x﹣4≠0，解得x≥﹣2且x≠4．应选B．7．如图，l1∥l2，l3⊥l4，∠1=42°，那么∠2的度数为（）A．48°B．42°C．38°D．21°【考点】直角三角形的性质；平行线的性质．【剖析】先依据两直线平行，同位角相等求出∠3，再依据直角三角形两锐角互余即可求出2．【解答】解：如图，∵l1∥l2，∠1=42°，∴∠3=∠1=42°，l3⊥l4，∴∠2=90°﹣∠3=48°．应选A．第8页（共27页）24x﹣m2）8．已知x=2是一元二次方程（m﹣2）x+=0的一个根，则m的值为（A．2B．0或2C．0或4D．0【考点】一元二次方程的解．22【剖析】把x=2代入一元二次方程（m2x4x﹣mm的方程，解此﹣）+=0中即可获得对于方程即可求出m的值．【解答】解：∵x=2是一元二次方程（m2x24x﹣m2﹣）+=0的一个根，4（m﹣2）+8﹣m2=0，即m2﹣4m=0，解得：m=0或m=4．应选：C．9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上的点，∠DCB=30°，过点D作⊙O的切线交AB的延伸线于E，若AB=4，则DE的长为（）A．2B．4C．D．【考点】切线的性质；圆周角定理．【剖析】连结OD．由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可求得∠BOD=60°，而后由切线的性质可证明∠ODE=90°，依据三角形的内角和是180°可求得∠E=30°，依照含30°直角三角形的性质可知OE=2OD=4，再利用勾股定理，即可解答．【解答】解：如图，连结OD．∵∠DCB=30°，∴∠BOD=60°．∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°．∴∠DEO=30°．第9页（共27页）OE=2OD=AB=4，在Rt△ODE中，DE=．10．察看以下一组图形中点的个数，此中第1个图形中共有3个点，第2个图形中共有8个点，第3个图形中共有15个点，按此规律第6个图形中共有点的个数是（）A．42B．48C．56D．72【考点】规律型：图形的变化类．【剖析】由已知四个图形中点的个数可知，第n个图形中点的数目为nn2（+）个，据此解答可得．【解答】解：∵第1个图形中点的个数为：3×1=3个，第2个图形中点的个数为：4×2=8个，第3个图形中点的个数为：5×3=15个，第4个图形中点的个数为：6×4=24个，∴第6个图形中点的个数为：8×6=48个，应选：B．11．甲、乙两位运动员在一段2000米长的笔挺公路长进行跑步竞赛，竞赛开始时甲在起点，乙在甲的前面200米，他们同时同向出发匀速行进，甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/秒，先到终点者在终点原地等候．设甲、乙两人之间的距离是y米，竞赛时间是x秒，当两人都抵达终点计时结束，整个过程中y与之间的函数图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【剖析】先算出甲抵达终点的时间，由此算出两者之间的最大距离，再算出乙抵达终点的时间，由此找出点的坐标，联合点的坐标利用待定系数法求出函数分析式，依据函数分析式剖析四个选项即可得出结论．第10页（共27页）【解答】解：当甲跑到终点时所用的时间为：2000÷8=250（秒），此时甲乙间的距离为：2000﹣200﹣6×250=300（米），乙抵达终点时所用的时间为：÷6=300（秒），∴最高点坐标为．设y对于x的函数分析式为y=kxb，+当0≤x≤100时，有，解得：，此时y=﹣2x+200；当100＜x≤250时，有，解得：，此时y=2x﹣200；当250＜x≤300时，有，解得：，此时y=﹣6x+1800．∴y对于x的函数分析式为y=．∴整个过程中y与之间的函数图象是B．应选B．12．如图，平行四边形ABCD的极点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴于点E，BC⊥AC，连结BE，反比率函数（x＞0）的图象经过点D．已知S△BCE=2，则k的值是（）A．2B．﹣2C．3D．4【考点】反比率函数图象上点的坐标特点；平行四边形的性质．【剖析】设点D的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），则CD=m，OC=n．由平行线的性质结合平行四边形的性质即可得出∠ACD=∠OEC，∠DAC=90°=∠COE，由此即可得出△COE∽△DAC，再依据相像三角形的性质即可得出，即，联合三角形的面积公式即可得出mn=2S△BCE=4．依据点D的坐标利用反比率函数图象上点的坐标特点即可得出结论．【解答】解：设点D的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），则CD=m，OC=n，∵CD∥x轴，∴∠ACD=∠OEC．第11页（共27页）∵四边形ABCD为平行四边形，BC⊥AC，∴DA⊥AC，AD=BC，∴∠DAC=90°=∠COE，∴△COE∽△DAC，∴，即，∴mn=BC?CE．∵S△BCE=BC?CE=2，mn=2S△BCE=4．∵点D在反比率函数y=（x＞0）的图象上，k=mn=4．应选D．二、填空题：（此题共6小题，每题4分，共24分）请把以下各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上13．3月20日，2019长安汽车重庆国际马拉松鸣枪开跑，本届重马不单是2019年全国马拉松锦标赛三站中的一站，同时仍是2019年巴西里约奥运会马拉松独一一站选拔赛，竞赛分为全程、半程、迷你三大项目，吸引了31900多名选手参加．把数“31900”用科学记数法表示为3.19×104．【考点】科学记数法—表示较大的数．10n【剖析】科学记数法的表示形式为a的形式，此中1a10，n为整数．确立n的×≤||＜值时，要看把原数变为a时，小数点挪动了多少位，n的绝对值与小数点挪动的位数同样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将31900用科学记数法表示为3.19×104．故答案为：3.19×104．14．计算：=﹣．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【剖析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=2﹣+=2﹣﹣2第12页（共27页）=﹣．故答案为：﹣．15．如图，已知△ABC中，DE∥BC，连结BE，△ADE的面积是△BDE面积的，则S△ADE：S△ABC=1：9．【考点】相像三角形的判断与性质．【剖析】依据等高的两三角形的面积之比等于对应边之比得出=，求出=，依据相似三角形的判断得出△ADE∽△ABC，依据相像三角形的性质得出即可．【解答】解：∵△ADE的面积是△BDE面积的，∴=，∴=，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，=（）2=（）2=，故答案为：1：9．16．如图，矩形ABCD中，点O在BC上，OB=2OC=2，以O为圆心OB的长半径画弧，这条弧恰巧经过点D，则图中暗影部分的面积为﹣．【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．【剖析】作OP⊥AD于P，依据矩形的性质获得△ODE为等边三角形，依据三角形的面积公式、扇形的面积公式计算即可．【解答】解：作OP⊥AD于P，由题意得，OB=OE=OD，第13页（共27页）OD=2OC=2，∴∠ODC=30°，则∠ODE=60°，∴△ODE为等边三角形，∴△ODE的面积为，则暗影部分的面积为：﹣=﹣，故答案为：﹣．17．从﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这7个数中任选一个数作为a的值，则使得对于x的分式方程有整数解，且对于x的一次函数y=a1xa4的图象不经过第二（+）+﹣象限的概率是．【考点】概率公式；分式方程的解；一次函数图象与系数的关系．【剖析】第一使得对于x的分式方程有整数解，且对于x的一次函数y=（a+1）x+a﹣4的图象不经过第二象限的数，而后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵对于x的分式方程有整数解，3﹣ax+3（x﹣3）=﹣x，解得：x=，x≠3，∴x≠1，∴当a=﹣2，2，3时，分式方程有整数解；∵对于x的一次函数y=（a+1）x+a﹣4的图象不经过第二象限，a+1＞0，a﹣4≤0，∴﹣1＜a≤4，∴当a=0，1，2，3，4时，对于x的一次函数y=（a+1）x+a﹣4的图象不经过第二象限；综上，当a=2，3时，使得对于x的分式方程有整数解，且对于x的一次函数y=（a+1）x+a﹣4的图象不经过第二象限；第14页（共27页）∴使得对于x的分式方程有整数解，且对于x的一次函数y=（a+1）x+a﹣4的图象不经过第二象限的概率是：．故答案为：．18．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BC上凑近点B的四平分点，点F是CD的中点，连结AE、BF将△ABE着点E按顺时针方向旋转，使点B落在BF上的B1处地点处，点A经过旋转落在点A1地点处，连结AA1交BF于点N，则AN的长为．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【剖析】先找出协助线判断出点P是BB1的中点，由旋转获得△BCF∽△APE，再判断出A，B1，M三点共线，再由B1Q=，A1Q==AB1最后用勾股定理计算即可．【解答】解：如图，作EP⊥BF，A1Q⊥BF，取BC的中点M，连结AB1，B1M，∴点P是BB1的中点，∵E是BM中点，∴EP∥MB1，∴MB1⊥BB1，由旋转得，△BCF∽△APE，∴BP=，EP=，第15页（共27页）∵PB=PB=，1∴BB1=，∵sin∠FBC===，∴∠AB1B=90°，∴A，B1，M三点共线，∴AB1=，∵∠B1A1Q=∠BB1E=∠FBC，∴△B1QA1∽△FCB，∴B1Q=，A1Q==AB1，∴△AB1N≌△A1QN，∴B1N=B1Q=，依据勾股定理得，AN=，故答案为：．三、解答题：（本大题共2个小题，每题7分，共14分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每题一定给出必需的演算过程或推理步骤．19．如图，点A、B、C、D在同向来线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．【考点】全等三角形的判断与性质．【剖析】依据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．【解答】证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D，在△ABE和△FDC中，ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F∴△ABE≌△FDC（ASA），AE=FC．20．2019年春节联欢晚会分为A（语言类）、B（歌舞类）、C（魔术类）、D（杂技类）四类节目．为了认识某养老院老人对这几类节目的爱好程度，民政部门在该养老院随机抽取部分第16页（共27页）老人进行了问卷检查，规定每位老人只好选一类自己最喜爱的节目，并制成了以下两幅不完好的统计图．由图中所给出的信息解答以下问题：1）补全条形统计图；2）已知该养老院共有230位老人，请你预计该养老院喜爱语言类节目的老人大概有多少人？【考点】条形统计图；用样本预计整体；扇形统计图．【剖析】（1）依据B类的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以D类所占的百分比，从而补全统计图；（2）用该养老院的总人数乘以该养老院喜爱语言类节目所占的百分比，从而得出答案．【解答】解：（1）D类节目种类的人数是：×10%=5（人），补图以下：（2）依据题意得：230×=69（人），答：该养老院喜爱语言类节目的老人大概有69人．21．化简以下各式：（1）（a+b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2（2）．【考点】分式的混淆运算；多项式乘多项式；完好平方公式．第17页（共27页）【剖析】（1）依据多项式乘以多项式、完好平方公式能够对原式进行化简；（2）先化简括号内的式子，而后依据分式的除法进行计算即可解答此题．2【解答】解：（1）（a+b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2ab2b2﹣a22abb2=a﹣﹣+﹣=ab﹣3b2；2）=[﹣]÷=×==．四、解答题：（本大题共4个小题，每题10分，共40分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每题一定给出必需的演算过程或推理步骤．22．如图，小明为了丈量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走104米到点D处，测得大楼顶部点A的仰角为37°，大楼底部点B的俯角为45°，已知斜坡CD的坡度为i=1：2.4．（参照书据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）1）求点D距水平面BC的高度为多少米；2）求大楼AB的高度约为多少米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【剖析】（1）作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，y由CD的坡度为i=1：2.4，CD=104米，获得=1：2.4，依据勾股定理列方程，即可获得结论；（2）依据矩形的性质获得BE=40m，由等腰直角三角形的性质获得DE=BE=40m，依据三角函数的定义即可获得结果．【解答】解：（1）作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，∵CD的坡度为i=1：2.4，CD=104米，第18页（共27页）=1：2.4，∴=104，DF=40（米）；（2）∵DF=40m，BE=40m，∵∠BDE=45°，DE=BE=40m，在Rt△ADE中，∠ADE=37°，∴AE=tan37°?40=30（米）∴AB=AE+BE=70m．23．某中学在开学前往商场购进A、B两种品牌的足球，购置A品牌足球共花销3000元，购置B品牌足球共花销1600元，且购置A品牌足球数目是购置B品牌足球的3倍，已知购置一个B品牌足球比购置一个A品牌足球多花30元．（1）求购置一个A品牌、一个B品牌足球各需多少元？（2）为了进一步发展“校园足球”，学校在开学后再次购进了A、B两种品牌的足球，每种品牌的足球许多于15个，总花销恰巧为2268元，且在购置时，商场对两种品牌的足球的销售单价进行了调整，A品牌足球销售单价比第一次购置时提升了8%，B品牌足球按第一次购置时销售单价的9折销售．那么此次有哪些购置方案？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．【剖析】（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，依据购置A品牌足球数目是购置B品牌足球数目的3倍，列出方程解答即可；（2）设此次可购置，m个B品牌足球，购进A牌足球n个，依据总花销恰巧为2268元，列出等式，得出m与n的关系式，从而利用每种品牌的足球许多于15个，得出不等关系求出n的取值范围，即可剖析得出答案．【解答】解：（1）设购置一个A品牌足球需要x元，由题意得：=，解得：x=50，经查验：x=50是原分式方程的解，x+30=80，答：购置一个A品牌足球需要50元，购置一个B品牌足球需要80元；2）调整价钱后，购置一个A型足球需：50（1+8%）=54（元），购置一个B型足球需：80×0.9=72（元），第19页（共27页）设此次购置m个A型足球和n个B型足球，则：54m+72n=2268，则m=42﹣n，由，解得15≤n，∵m=42﹣n为整数，n为整数，n能被3整除，n=15或18，当n=15时，m=42﹣×15=22，当n=18时，m=18，∴方案一：购置22个A型足球和15个B型足球；方案二：购置18个A型足球和18个B型足球．24．假如一个多位自然数的随意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．比如：321，6543，98，都是“妙数”．（1）若某个“妙数”恰巧等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为765．（2）证明：随意一个四位“妙数”减去随意一个两位“妙数”之差再加上1获得的结果必定能被11整除．（3）在某个三位“妙数”的左边搁置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而获得一新的四位自然数A，且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n，使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都同样？若存在恳求出m和n的值；若不存在，请说明原因．【考点】因式分解的应用．【剖析】（1）设这个“妙数”个位数字为a，依据题意判断“妙数”的尾位数，从而得悉这个“妙数”为3位数，列出方程100（x+2）+10（x+1）+x=153x，求解可得；2）设四位“妙数”的个位为x、两位“妙数”的个位为y，分别表示出四位“妙数”和两位“妙数”，再将四位“妙数”减去随意一个两位“妙数”之差再加上1的结果除以11判断结果能否为整数即可；3）设三位“妙数”的个位为z，可知A=1000m+111z+210，既而可得9A+n=9000m+999z+1890+n=1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z，由﹣8≤n﹣z≤9、1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000知其百位数必定是8，且该数为5位数，若存在则该数为88888，从而得出即9mz=87nz=2，由mz2zm2，而z=87+、﹣﹣＞+知＜﹣﹣9m＜m﹣2，解之可得m＞8.9，即可得m值，进一步即可得答案．【解答】解：（1）设这个“妙数”个位数字为a，若这个“妙数”为4位数，则其个位数字最大为6，依据题意可知这个“妙数”最大为6×153=918，不合题意；∴这个“妙数”为3位数，依据题意得：100（x+2）+10（x+1）+x=153x，解得：x=5，则这个“妙数”为765，故答案为：765；第20页（共27页）（2）由题意，设四位“”x，则此数为1000x3100x210x1妙数的个位为（+）+（+）+（+）+x=1111x+3210，“”y10y1y=11y10，设两位妙数的个位为，则此数为（+）++∴==101xy291，﹣+∵x、y为整数，101x﹣y+291也为整数，∴随意一个四位“妙数”减去随意一个两位“妙数”之差再加上1获得的结果必定能被11整除；（3）设三位“妙数”的个位为z，由题意，得：A=1000m+100（z+2）+10（z+1）+z=1000m+111z+210，9A+n=9000m+999z+1890+n=9000m+1000z+1890+n﹣z=1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z，∵m、n是一位自然数，0≤z≤9，且z为整数，∴﹣8≤n﹣z≤9，9A+n的百位为8，且1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000，∴9An为五位数，且9An=88888，++∴，∴9m+z=87，n﹣z=﹣2，∵m＞z+2，z＜m﹣2，z=87﹣9m＜m﹣2，m＞8.9，∵m是一个自然数，m=9，于是z=6，n=4，答：m=9，n=4．五、解答题：（本大题共2个小题，每题12分，共24分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每题一定给出必需的演算过程或推理步骤．25．在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，延伸AB至点D，使BD=BC，点E是直线BC上一点，点F是直线AC上一点，连结DE．连结EF，且∠DEF=∠DBC．（1）如图1，若∠D=∠EFC=15°，AB=，求AC的长．（2）如图2，当∠BAC=45°，点E为线段BC的延伸线上，点F在线段AC的延伸线上时，求证：CF=BE．（3）如图3，当∠BAC=90°，点E为线段CB的延伸线上，点F在线段CA的延伸线上时，猜想线段CF与线段BE的数目关系，并证明猜想的结论．第21页（共27页）【考点】三角形综合题．【剖析】（1）第一证明∠FEC=∠F=15°，推出∠ACB=30°，由此即可解决问题．2）如图2中，连结CD，作EM⊥EB交AF于M，作FN⊥BE于N，AF交DE于点O．∴由△EMC≌△ECD，推出EF=DE，再由△EFN≌△DEB，推出DB=EN=BC，推出BE=CN，推出△CFN是等腰直角三角形，由此即可解决问题．（3）CF=BE．如图3中，连结CD、DF、作NE⊥CE交AD的延伸线于N，在线段CE上截取一点M，使得FM=FE．只需证明△EDN≌△CMF，推出NE=CF，即可解决问题．1BDE中，∠D+∠DBE+∠BED=180°【解答】（）解：在△，∵∠DEB+∠DEF+∠FEC=180°，∠DEF=∠DBC，∴∠D=∠FEC=∠F=15°，∴∠ACB=FCEF=30°，∠+∠在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=，∠ACB=30°，∴BC=2AB=2，∴AC===3．（2）证明：如图2中，连结CD，作EM⊥EB交AF于M，作FN⊥BE于N，AF交DE于点O．∵∠BAC=45°，∠ABC=2∠ACB，∴∠ABC=90°，∠ACB=∠MCE=∠EMC=45°，∴EM=EC，∵BD=DC，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DCE=∠EMF=135°，∵∠DEF=∠DBC=90°，∠FCD=∠DCA=90°，∴∠OEF=∠OCD，∵∠EOF=∠COD，∴∠OFE=∠ODC，第22页（共27页）在△EMF和△ECD中，，∴△EMC≌△ECD，EF=DE，∵∠DEB+∠FEN=90°，∠EFN+∠FEN=90°，∴∠EFN=∠DEB，在△EFN和△DEB中，，∴△EFN≌△DEB，∴DB=EN=BC，∴BE=CN，∵△CFN是等腰直角三角形，∴CF=CN=BE．3）结论：CF=BE．原因：如图3中，连结CD、DF、作NE⊥CE交AD的延伸线于N，在线段CE上截取一点M，使得FM=FE．∵∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，∴∠ABC=60°，∠ACB=30°，∵DB=BC，∴∠DBC=120°，∠BDC=∠BCD=30°，∴∠DBC=∠DEF=120°，∠DCA=∠DCB+∠ACB=60°，∴∠DEF+∠DCF=180°，∴E、F、C、D四点共圆，