全国高中数学联合竞赛试题解答(A卷)7

2017年全国高中数学结合比赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每题8分，共64分。2017A1、设f(x)是定义在R上函数，对随意的实数x有f(x3)f(x4)1，又当0x7时，f(x)log2(9x)，则f(100)的值为◆答案：12★分析：由条件知，f(x7)f(x)1，即f(x7)f(x14)1，故f(x)f(x14)，即函数f(x)的周期为14，所以f(100)f(2)11f(5)22017A2、若实数x,y知足x22cosy1，则xcosy的取值范围为◆答案：1,31★分析：由x22cosy1得x212cosy1,3，得x3,3，cosy1x2，2所以xcosy1x121，x3,3可求得其范围为1,31。22017A3、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为x2y21，F是C的焦点，A为C的右910极点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积最大值为◆答案：3112★分析：由题意得A3,0，F0,1，设P点的坐标为3cos,10sin，此中0,2，则SOAPFSOAPSOFP1310sin13cos311sin，可得面积最大值为2222017年全国高中数学结合比赛试题第1页共11页311。22017A4、若一个三位数中随意两个相邻数码的差均不超出1，则称其为“安稳数”，则安稳数的个数是◆答案：75★分析：考虑安稳数abc。①若b0，则a1，c0,1，有2个安稳数；②若b1，则a1,2，c0,1,2，有236个安稳数；③若b2,8，则a，cb1,b,b1，有73363个安稳数；④若b9，则a,c8,9，有224个安稳数；综上可知，安稳数的个数为2663475。2017A5、正三棱锥PABC中，AB1，AP2，过AB的平面将其体积均分，则棱PC与平面所成角的余弦值为◆答案：3510★分析：设AB,PC的中点分别为K,M，则平面即平面ABM，则中线AM21AP2AC21PC212211223，242422则KMAM2AK2315。222又棱PC与平面的射影线是直线MK，而CM1,KC3，所以25134435cosKMC5，即为所求。102017年全国高中数学结合比赛试题第2页共11页2017A6、在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)|x,y1,0,1，在K中随机拿出三个点，则这三个点中存在两点距离为5的概率为4◆答案：7★分析：由题意得K有9个点，故从中拿出三个点共有C9384种。将K中的点按右图标志为A1,A2,,A8,O，此中有8对点之间的距离为5，由对称性，考虑取A1,A4两点的状况，则余下的一个点有7种取法，这样有7856个三点组（不考虑次序）。对每个Ai（i1,2,,8），K中恰有Ai3,Ai5两点与之的距离为5（这里下标按模8能够理解），因此恰有Ai,Ai3,Ai5这8个三点组被计了两次，从而知足条件的三点组个数为56848，从而所求的概率为484。8472017A7、在ABC中，M为边BC的中点，N是线段BM的中点，若A，ABC的面积3为3，则AMAN的最小值为◆答案：31★分析：由条件知AM1ABAC，AN3AB1AC，则244122AM3ABAC4ABAC，AN8由3SABC1ABACsinA3ABAC得ABAC4242AC2243时取等。所以ABAC2，所以3AB83，当且仅当AB,AC24322则AMAN13ABAC4ABAC31。82017年全国高中数学结合比赛试题第3页共11页2017A8、设两个严格递加的正整数数列an，bn知足a10b102017，对随意正整数n，有an2an1an，bn12bn，则a1b1的所有可能值为◆答案：13，20★分析：由条件可知，a1，a2，b1均为正整数，且a1a2。因为2017b1029b1521b1，所以b11,2,3，重复使用an的递推关系可得：a10a9a82a8a73a72a634a221a1所以21a1a10b10512b12b1mod34，而13213481，故a11321a1132b126b1mod34①又a1a2，得55a134a221a1512b1，即a151255b1②512当b11时，①②即a126mod34，a1，无解；55当b12时，①②即a152mod34，a1102418，此时a1b120；，解得a155当b13时，①②即a178mod34，a1153610，此时a1b113；，解得a155综上所述，a1b1的所有可能值为13，20。二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2017A9、（此题满分16分）设k,m为实数，不等式x2kxm1对所有xa,b建立，证明：ba22。★证明：记f(x)x2kxm，xa,b，则f(x)1,1。于是f(a)a2kam1①；f(b)b2kbm1②f(ab)(ab)2k(ab)m1③222①+②-2③知2017年全国高中数学结合比赛试题第4页共11页ab2f(a)f(b)2f(ab)4，22即ba22。2017A10、（此题满分20分）设x1,x2,x3是非负实数，知足x1x2x3x13x25x3x1x2x3的最小值和最大值。35★分析：由柯西不等式x2x3x2x32x13x25x3x1x1x13x25x313535当x11，x20，x30时取等号，故所求的最小值为1；又x13x25x3x1x2x313x25x35x15x2x335x135115x22114x221x13x25x3x36x16x3545x132036x120当x11，x20，x31时取等号，故所求的最小值为9；2252017A11、（此题满分20分）设复数z1,z2知足Re(z1)0，Re(z2)0，且Re(z12)Re(（此中Re(z)表示复数z的实部）⑴求Re(z1z2)的最小值；⑵求z12z22z1z2的最小值。★分析：⑴对k1,2，设zkxkyki，（xk,ykR），由条件知，xkRezk0，xkykRezk22所以：Rez1z2Rex1y1ix2y2ix1x2y1y2y122y222y1y2y1y2

，求18x226x9335z22)2，2y1y222017年全国高中数学结合比赛试题第5页共11页又当z1z22时，Rez1z22，这表示Re(z1z2)的最小值为2。⑵对于k1,2，设zkxkyki，（xk,ykR），将zk对应到平面直角坐标系xOy中的点Pkxk,yk，记P2/是P2对于x轴的对称点，则P1，P2/均位于双曲线x2y22的右支上。设F1,F2分别是双曲线的左右焦点，易知F12,0,F22,0。依据双曲线的定义，有PF1PF222,P2/F1P2/F222，从而获得:z12z22z1z2z12z22z1z2P1F1P2/F1P1P2/42P1F2P2/F2P1P2/42,等号成立当且仅当F2位于线段P1P2/上（比如，当z1z222i时，F2正是P1P2/的中点）。综上可知，z12z22z1z2的最小值为42。2017年全国高中数学结合比赛二试（A卷）2017A一、（此题满分40分）如下图，在ABC中，ABAC，I为ABC的心里，以A为圆心，AB为半径作圆1，以I为圆心，IB为半径作圆2，过点B,I的圆3与1、2分别交于点P、Q（不一样于点B）。设IP与BQ交于点R。证明：BRCR（答题时请将图画在答卷纸上）2017年全国高中数学结合比赛试题第6页共11页★证明：连结IB,IC,IQ,PB,PC，因为点点Q在圆2上，故IBIQ，所以IBQIQB。又B,I,P,Q四点共圆，所以IPBIQB，于是IBQIPB，故IBP~IRB，从而IRBIBIP,IBP，且IBIR又ABAC，且I为ABC的心里，故IBIC，所以ICIP所以ICP~IRC，则IRCICPIRIC又点P在圆1的弧BC上，故BPC18001A，2所以，BRCIRBIRCIBPICP3600BICBPC36009001A18001A900，即BRCR222017A二、（此题满分40分）设数列an定义为a11，an1ann,annann,an，n1,2,n求知足ara32017的正整数r的个数★分析：由题意知a11，a22。假定对某个整数r2，有arr，我们证明对t1,2,,r1有，ar2t12rt1r2t1，ar2trtr2t。①对t概括证明。当t时，因为arr，由定义知，ar1arr2r，ar1r1r1r2，1rr1ar2故结论①建立；设对某个1tr1，结论①建立，则有定义知：ar2t1ar2tr2trtr2t2rtr2t1ar2t2ar2t1r2t12rtr2t1rt1r2t2，即结论①对t1也成立，由数学概括法知，结论①对所有t1,2,,r1建立，特别当tr1时，a3r21，从而2017年全国高中数学结合比赛试题第7页共11页a3r1a3r23r23r1。若将所有知足arr的正整数r从小到大记为r1,r2,，则由上边的结论知，r11,r22,rk13rk1，（k2,3,），由此可知：rk113rk1（k1,2,3,,m1），22可得rm3m11，因为r201832017132017320181r2019，在1,2,,32017中知足arr的r222共有2018个，即r1,r2,,r2018。由①可知，对每个k1,2,3,,2017，rk1,rk2,,32中恰有一半知足arr，因为rkr201813201711与32017均为奇数，而在r20181至32017中，奇数知足arr，偶数知足arr，2此中偶数比奇数少1个，所以知足arr32017的正整数个数为3201720181320172019222017A三、（此题满分50分）将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等。若相邻两个小方格的颜色不一样，则称他们的公共边为“切割边”。试求切割边条数的最小值。★分析：记切割边的条数为L.第一，将方格纸按如下图分红三个地区，分别染成三种颜色，粗线上均为切割边，此时共有56条切割边，即L56。下边证明L56.将方格纸的行从上至下挨次记为A1,A2,,A33,列从左至右挨次记为B1,B2,,B33,行Ai中方格出现的颜色数记为nAi，列Bi中方格出现的颜色数记为nBi，三种颜色分别记为c1，c2，c3，对于一种颜色cj，设nci是表示含有cj色方格的函数与列数之和.1，中含有cj色方格1，中含有cj色方格记Ai,cjAi，同理定义Bi,cjBi，中不含cj中不含cj0，色方格0，色方格AiBi2017年全国高中数学结合比赛试题第8页共11页333333333则nAinBiAi,cjBi,cjAi,cjBi,cjncj①i1i1j1j1i1j1因为染cj色的方格有1332363个，设含有cj色方格的行有a个，列有b个，则cj色方格必定3在这a行和b列的交错方格中，所以ab363.从而nciab2ab236338即nci39.j1,2,3,②因为内行Ai中有nAi种颜色的方格，所以起码有nAi1条切割边，同理内行Bi中有nBi种颜色的方格，所以起码有nBi1条切割边，于是，3333333LnAi1nBi1nAinBi66ncj66③i1i1i1j1下边分两种情况议论.⑴当有一行或有一列所有方格同色时，不如设有一行全为c1色，从而方格纸的33列中均含有c1的方格，因为c1的方格有363个，故起码有11行中含有c1色方格。于是nc1113344。④由①③④得Lnc1nc2nc3664439396656⑵没有一行或没有一列所有方格同色时，则对随意1i33，均有nAi2，nBi2，从而由33②知，LnAinBi663346656i1综上可知，切割边条数的最小值为56。2017A四、（此题满分50分）。设m,n均是大于1的整数，mn，a1,a2,,an是n个不超出m的互不同样的正整数，且a1,a2,,an互素。证明：对随意实数x，均存在一个i（1in），使得aix2x，这里y表示实数y到它近来的整数的距离。m(m1)★证明：第一证明两个引理：引理1：存在整数c1,c2,,cn，知足c1a1c2a2cnan1，而且cim，1in.2017年全国高中数学结合比赛试题第9页共11页因为a1,a2,,an互素，即a1,a2,,an1，有裴蜀定理，存在整数c1,c2,,cn，知足c1a1c2a2cnan1。①下边证明，经过调整，存在一组c1,c2,,cn知足①，且cim，记S1c1,c2,,cnci0，cimS1c1,c2,,cncj0。cjm假如S10，那么存在cim1，于是aici1，又a1,a2,,an是大于1的整数，故由①可知，存在cj0，令ci/ciaj，c/jcjai，ck/ck（1kn，ki,j），则c1/a1c2/a2cn/an1，②而且0majci/ci，cjc/jakm，所以Sc、,c、,,c/Sc,c,,cn，Sc、,c、,,c/Sc,c,,cn112n112212n212假如S20，则存在cjm，所以有一个ci0.令/ciaj，/cjai，c/c（1kn，cicjkkki,j），那么②建立，而且mci/ci,cjcj/0，与上边近似能够