2022-2023学年广东省深圳市光明高级中学、凤凰城实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市光明高级中学、凤凰城实验学校九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一．选择题（每题3分，共30分）1．一元二次方程5x2﹣2x+5＝0的一次项系数是（）A．5 B．﹣2 C．6 D．22．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②3x（x﹣4）＝0；③x2+y﹣3＝0；④y2+x＝2；⑤x3﹣3x+8＝0；⑥x2﹣5x+7＝0．其中是一元二次方程的有（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．64．一元二次方程（x﹣1）2+k﹣3＝0的一个根是x＝1，则k＝（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣25．下列说法：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：射击总次数n1020501002005001000击中靶心的次数m9164188168429861击中靶心的频率0.900.80.820.880.840.8580.861根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是（）A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.8617．琳琳在做数学作业时，因钢笔漏水，不小心将部分字迹污染了，作业过程如下（涂黑部分即为污染部分）．如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，求证：AC＝BD．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴①，∠ABC＝∠DCB＝90°．又∵②，∴△ABC≌△DCB．∴AC＝BD．污染部分的内容有以下四个选项供选择，a．AD＝BC；b．AB＝CD；c．AO＝CO；d．BC＝CB．下列说法正确的是（）A．①是a，②是d B．①是b，②是c C．①是a，②是c D．①是b，②是d8．“武鸣沃柑”是南宁市拥有的地理标志产品之一，具有皮薄肉厚，香甜多汁等特点．武鸣某村合作社2019年种植沃柑100亩，2021年种植沃柑144亩．若设该合作社种植沃柑面积的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．100（1+2x）＝144 B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝144 C．144（1﹣x）2＝100 D．100（1+x）2＝1449．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，当四边形ABPQ初次为矩形时，点P和点Q运动的时间为（）秒．A．2 B．3 C．4 D．510．如图，E是正方形ABCD的边CD右侧一点，CE＝CD，CF平分∠DCE交BE于点F．下列结论：①∠BED＝45°；②∠BEC＝30°；③BF＝CF+EF；④若BE＝8，则四边形BCED的面积为32．以上结论正确的是（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④二．填空题（每题3分，共15分）11．一元二次方程（x﹣4）（x+9）＝0的较小的根为．12．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的三张卡片，每张卡片标有一个数字，这三张卡片分别标有数字﹣1，2，4，从袋子中随机摸出两张卡片，这两张卡片的数字乘积为负数的概率为．13．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若ac＜0，则它的根的情况是．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．15．将2017个边长为2的正方形，按照如图所示方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于．三．解答题（共55分）16．解方程：（1）x2+2x＝1；（2）（x﹣1）2＝x﹣1．17．小明的口袋中有5把相似的钥匙，其中只有2把钥匙能打开教室前门锁，但他忘了是哪两把钥匙，于是小明决定随机地从中选一把去逐一试开（不放回）．（1）小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是；（2）请用树状图或列表等方法，求出小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形．（2）若AC＝4，BD＝8，求四边形ABEO的面积．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根；（2）已知等腰△ABC的一边a＝1，若另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．22．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：（2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．

参考答案一．选择题（每题3分，共30分）1．一元二次方程5x2﹣2x+5＝0的一次项系数是（）A．5 B．﹣2 C．6 D．2【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．解：一元二次方程5x2﹣2x+5＝0的一次项系数是﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．2．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②3x（x﹣4）＝0；③x2+y﹣3＝0；④y2+x＝2；⑤x3﹣3x+8＝0；⑥x2﹣5x+7＝0．其中是一元二次方程的有（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．解：①当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程；②3x（x﹣4）＝0是一元二次方程；③x2+y﹣3＝0不是一元二次方程；④y2+x＝2是二元二次方程；⑤x3﹣3x+8＝0是一元三次方程；⑥x2﹣5x+7＝0是一元二次方程．所以是一元二次方程的有2个．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据矩形的性质可得O为BD中点，进而根据中位线定理可得结果．解：∵四边形ABCD为矩形，∴DO＝BO，∵点E是CD的中点，OE＝3，∴BC＝2OE＝6，故选：D．【点评】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形对角线互相平分的性质和中位线定理是解题关键．4．一元二次方程（x﹣1）2+k﹣3＝0的一个根是x＝1，则k＝（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2【分析】将x＝1代入原方程可得k﹣3＝0，解之即可得出k的值．解：将x＝1代入原方程得（1﹣1）2+k﹣3＝0，即k﹣3＝0，解得k＝3．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．下列说法：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．解：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故（1）错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故（2）正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故（3）错误两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故（4）正确；即正确的个数是2，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识点，能熟记平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键．6．某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：射击总次数n1020501002005001000击中靶心的次数m9164188168429861击中靶心的频率0.900.80.820.880.840.8580.861根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是（）A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.861【分析】利用频率估计概率求解即可．解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是0.861，故选：D．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．7．琳琳在做数学作业时，因钢笔漏水，不小心将部分字迹污染了，作业过程如下（涂黑部分即为污染部分）．如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，求证：AC＝BD．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴①，∠ABC＝∠DCB＝90°．又∵②，∴△ABC≌△DCB．∴AC＝BD．污染部分的内容有以下四个选项供选择，a．AD＝BC；b．AB＝CD；c．AO＝CO；d．BC＝CB．下列说法正确的是（）A．①是a，②是d B．①是b，②是c C．①是a，②是c D．①是b，②是d【分析】根据矩形的性质得出AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，利用边角边判定△ABC≌△DCB即可证明结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴①AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°．又∵②BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）．∴AC＝BD．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形的性质并灵活运用．8．“武鸣沃柑”是南宁市拥有的地理标志产品之一，具有皮薄肉厚，香甜多汁等特点．武鸣某村合作社2019年种植沃柑100亩，2021年种植沃柑144亩．若设该合作社种植沃柑面积的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．100（1+2x）＝144 B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝144 C．144（1﹣x）2＝100 D．100（1+x）2＝144【分析】2021年该合作社种植沃柑的亩数＝2019年该合作社种植沃柑的亩数×（1+增长率）2．解：依题意得：100（1+x）2＝144，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．9．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，当四边形ABPQ初次为矩形时，点P和点Q运动的时间为（）秒．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，能根据矩形的性质得出方程是解此题的关键．10．如图，E是正方形ABCD的边CD右侧一点，CE＝CD，CF平分∠DCE交BE于点F．下列结论：①∠BED＝45°；②∠BEC＝30°；③BF＝CF+EF；④若BE＝8，则四边形BCED的面积为32．以上结论正确的是（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④【分析】①根据正方形性质、等腰三角形性质和三角形内角和定理即可判断结论①；②由∠BEC＝（90°﹣∠DCE），∠DCE不确定，即可判断结论②；③如图1，过点C作CG⊥CF，交BE于点G，先证得△CFG是等腰直角三角形，得出：CF＝CG，FG＝CF，再证明△CEF≌△CBG（SAS），即可判断结论③；④如图2，过点C作CH⊥BF于点H，连接DF，可证得△CDF≌△CEF（SAS），推出CF+EF＝4，再利用S四边形BCED＝S△BDE+S△BCE，即可判断结论④．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣∠DCE），∵BC＝CE，∴∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝[180°﹣（90°+∠DCE）]＝（90°﹣∠DCE），∴∠BED＝∠CED﹣∠BEC＝（180°﹣∠DCE）﹣（90°﹣∠DCE）＝45°，故结论①正确；②∵∠BEC＝（90°﹣∠DCE），∠DCE不确定，∴∠BEC＝30°不一定成立，结论②错误；③如图1，过点C作CG⊥CF，交BE于点G，∵CF平分∠DCE，∴∠DCF＝∠ECF＝∠DCE，∴∠BFC＝∠BEC+∠ECF＝（90°﹣∠DCE）+∠DCE＝45°，∵CG⊥CF，∴∠FCG＝90°，∴△CFG是等腰直角三角形，∴CF＝CG，FG＝CF，∵∠BCG+∠DCG＝90°，∠DCF+∠DCG＝90°，∠DCF＝∠ECF，∴∠ECF＝∠BCG，在△CEF和△CBG中，，∴△CEF≌△CBG（SAS），∴EF＝BG，∵BF＝FG+BG，∴BF＝CF+EF，故③正确；④如图2，过点C作CH⊥BF于点H，连接DF，在△CDF和△CEF中，，∴△CDF≌△CEF（SAS），∴DF＝EF，∴∠FDE＝∠BED＝45°，∴∠DFE＝90°，∴DF⊥BE，∵BE＝8，BF＝CF+EF，∴CF+2EF＝8，∴CF+EF＝4，∵∠BFC＝45°，CH⊥BF，∴△CFH是等腰直角三角形，∴CF＝CH，∴CH＝CF，∴DF+CH＝EF+CF＝4，∴S四边形BCED＝S△BDE+S△BCE＝BE•DF+BE•CH＝BE•（DF+CH）＝×8×4＝16，故结论④错误，综上所述，结论正确的是①③，故选A．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．二．填空题（每题3分，共15分）11．一元二次方程（x﹣4）（x+9）＝0的较小的根为x＝﹣9．【分析】利用因式分解法求出方程的解，即可求出较小的根．解：由方程（x﹣4）（x+9）＝0，可得x﹣4＝0或x+9＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣9，所以一元二次方程（x﹣4）（x+9）＝0的较小的根为x＝﹣9，故答案为：x＝﹣9．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及方程的根，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的三张卡片，每张卡片标有一个数字，这三张卡片分别标有数字﹣1，2，4，从袋子中随机摸出两张卡片，这两张卡片的数字乘积为负数的概率为．【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中两张卡片的数字乘积为负数的结果有4种，再由概率公式求解即可．解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中两张卡片的数字乘积为负数的结果有4种，∴两张卡片的数字乘积为负数的概率为＝，故答案为：．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．13．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若ac＜0，则它的根的情况是有两个不相等实数根．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，进而即可得出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等实数根．解：∵ac＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0．∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若ac＜0，则它有两个不相等实数根．故答案为：有两个不相等实数根．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故答案为：3．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．15．将2017个边长为2的正方形，按照如图所示方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于2016．【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则2017个这样的正方形重叠部分即为2017﹣1阴影部分的和，问题得解．解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，则一个阴影部分面积为：1．n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）×4＝（n﹣1）．所以这个2017个正方形重叠部分的面积和＝×（2017﹣1）×4＝2016，故答案为：2016．【点评】此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．三．解答题（共55分）16．解方程：（1）x2+2x＝1；（2）（x﹣1）2＝x﹣1．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）x2+2x＝1，x2+2x+1＝2，（x+1）2＝2，x+1＝±，所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）（x﹣1）2＝x﹣1，（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以x1＝1，x2＝2．【点评】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．小明的口袋中有5把相似的钥匙，其中只有2把钥匙能打开教室前门锁，但他忘了是哪两把钥匙，于是小明决定随机地从中选一把去逐一试开（不放回）．（1）小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是；（2）请用树状图或列表等方法，求出小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率．【分析】（1）根据概率公式计算；（2）画树状图（用A、B表示能打开教室前门锁，C、D、E表示不能打开教室前门锁）展示20种等可能的结果，找出小明至多试开两次就能打开教室前门锁的结果数，然后根据概率公式计算．解：（1）小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：（用A、B表示能打开教室前门锁，C、D、E表示不能打开教室前门锁）共有20种等可能的结果，其中小明至多试开两次就能打开教室前门锁的结果数为14，所以小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形．（2）若AC＝4，BD＝8，求四边形ABEO的面积．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABEO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AC＝2AO，推出AO＝AB，得到四边形ABEO是菱形；（2）根据平行四边形的性质得到AO＝AC＝2，OB＝BD＝4，连接AE交BO于M，根据勾股定理得到AM，根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】证明：（1）∵BE∥AC，OE∥AB，∴四边形ABEO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，∵AC＝2AB，∴AO＝AB，∴四边形ABEO是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC＝2，OB＝BD＝4，连接AE交BO于M，由（1）知，四边形ABEO是菱形，∴AE、OB互相垂直平分，∴OM＝BO＝2，∴AM＝＝＝4，∴AE＝8，∴四边形ABEO的面积＝AE•OB＝×8×4＝16．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根；（2）已知等腰△ABC的一边a＝1，若另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．（2）分b＝c，b＝a两种情况做．【解答】证明：（1）∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴方程总有实根；（2）①当b＝c时，则Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，∴k＝2，方程可化为x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，而b＝c＝2，∴C△ABC＝5；②当b＝a＝1，∵x2﹣（k+2）x+2k＝0．∴（x﹣2）（x﹣k）＝0，∴x＝2或x＝k，∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，∴k＝1，∴c＝2，∵a+b＝c，∴不满足三角形三边的关系，舍去；综上所述，△ABC的周长为5．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【分析】（1）能，首先证明四边形AEFD为平行四边形．当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解决问题．（2）分三种情形讨论即可．【解答】（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解得t＝．∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE＝t，又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题