2023届高考数学专项练习导数解密36专题i专题09函数的最值含答案

专题09函数的最值

考点一求已知函数的最值

【方法总结】

导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤

(1)求函数«¥)的导数/(“)；

(2)求./U)在给定区间上的单调性和极值；

(3)求凡目在给定区间上的端点值；

(4)将九0的各极值与4工)的端点值进行比较，确定风。的最大值与最小值；

(5)反思回顾，查看关健点，易错点和解题规范.

【例题选讲】

［例I］⑴函数外)=山一”在区间(0,e］上的最大值为.

答案一1解析1Ax)=1—1,令/(x)=0得x=l.当x£(0,1)时，，(x)>0；当x£(l,e］时，/(x)V0.・••当K

=1时，火处取得最大值，且yCRmaxqADnln1-1=-1.

(2)函数人用+x—21nx的最小值为.

32(4-2X-1

答案!解析因为/(外=］+1—：4~~；_%>0),所以危)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递

13

增，所以^X)min=/1)=2+1=2-

⑶已知函数“0=*+加/+m+2,其导函数/(x)为偶函数，式l)=一|,则函数g(x)=/(x)e，在区间［0,2］上的

最小值为.

答案一2c解析由题意可得/(K)=F+2〃IX+〃，:/(x)为偶函数，・•・〃?=(),故人此=；.1+内+2,=/(1)=；+

〃+2=一本・,・〃=—3.・,&)=$—3x+2,则/(*)=./-3.故g(x)=er(.F-3),则/(人尸式*—3+2t)=elL1)G

+3).据此可知函数g(x)在区间［0,1)上单调递减，在区间(1,2］上单调递增，故函数g(x)的极小值，即最小值为g(l)

=e'-(l2—3)=—2e.

(4)已知函数J(x)=2sinx+sinZr,则)U)的最小值是.

答案一挈解析TAv)的最小正周期7=2元,...求犬x)的最小值相当于求£x)在［0,2可上的最小值./«)=

2cos.v+2cosZv=2cos,r+2(2COS2A—1)=4COS2A-|-2COS.V—2=2(2COS.X—1)(COSX+1).令/(x)=0,解得COSA，=5或cos.v=

—1,xG［0,2n］..,.由cosx=-1,得x=7t；由cosx=*得或工=/丁函数的

最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，刎=2siim+sin27t=0,昭)=2sin^+sin,二^^/伟)=—,

犬0)=0,122=0,，凡目的最小值为一挈.

|n~v

(5)设正实数心则火.0=苛的值域为.

答案[°'e]解析令lnx=f,则x=巩"(/)=，令产=/〃，w>0,.♦・〃(m)=吗「“，,令"(zw)

=0,解得m=l,当0Sm<l时,俏⑼>0,函数力(⑼单调递增，当论1时,h\m)<0,函数〃(/”)单调递减，.•.〃(⑼鹏

=/?(1)=[VA0)=0,当"i+co时，力(加)一>0,・；危)=*4的值域为[o,5].

(6)已知函数火x)=chir和g(x)=x+l的图象与直线.y=〃i的交点分别为P(xi，yi),Q(.»yi),则x】一心的取值范

困是()

A.[1,+8)B.[2,+8)C.伎,+8)D.[1,+8)

答案A解析由题意知J(xi)=g(x2),所以eln为=M+1,即12=eln修一1,则xi—*2=xi—clnxi+l,xi>0.令

A(x)=r-eln.v4-l(x>0),则如)=1一旨〒.当.r>e时，/(x)X),当0<x<e时，h\x)<0,所以恤)在(0.e)上单调递

减，在(e.+8)上单调递增，所以力(x)min=/?(e)=l.又当XT0,时，〃(X)T+CO,当*—+8时，/心)一+8，所以A(x)

在(0,+8)上的值域为[1,4-co),所以即一也的取值范围为[1,4-co).

⑺已知不等式次x+hu•对于任意的x£(0,+oo)恒成立，则上的最大值为.

—I—Inr

答案e—1解析VxW(0,+s),不等式e。一INH+Inx恒成立，等价于Vx£(0,+a>),k<-------------H■亘成立，

g,1—।—]nxe'(x-|)+lnx

令0(x)=--(.¥>0),则d(x)=-:当x£(0,1)时，"(x)<o,当xW(l,+8)时，“(x)>0,，w(x)在

(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，.•.w(x)min=w(l)=e-l,・••仁e—1.

x+e"

(8)(多选)设函数凡i)=，阴，则下列选项正确的是()

A.久0为奇函数B.4x)的图象关于点(0,1)对称

C.J(x)的最大值为5+1D.火工)的最小值为一；+1

答案BCD解析兀0=亩+1,不满足逐一幻=一段)，故A项错误；令g(x)=A则g(—x)=U="3^=一

j?(x),所以g(x)为奇函数，则_/(x)关于点(0,1)对称，B项正确；设风()=由+1的最大值为则g(x)

的最大值为M—1,设危)=击+1的最小值为N,则g(x)的最小值为N—1,当0时,g(.r)=去所以g'(%)=一六

当0<vVl时，g<x)>0,当K>1时，gQ)VO,所以当OVxVl时，g(x)单调递增，当％>1时，g(x)单调递减，所以

g(x)在x=l处取得最大值，最大值为g(l)=:，由于g(x)为奇函数，所以g(x)在X=-1处取得最小值，最小值为g(一

1)=-1,所以兀I)的最大值为M=：+l,最小值为N=-5+l,故C、D项正确.故选B、C、D.

［例2］已知函数/U)=ercosx—x.

(1)求曲线y=Ar)在点(0,40))处的切线方程：

(2)求函数启)在区间［o.引上的最大值和最小值.

解析(1)因为贝九)=6七0$'一.1,所以/(x)=e*(cosx-sinx)—1,/(0)=0.

又因为,40)=1,所以曲线丫=其0在点(0,以0))处的切线方程为y=I.

(2)设//(.¥)=ex(cossin.v)—1,贝UA'(.x)=e\cosx—sinA-sinx—cosx)=_2e'sinx.

当xe(0,1时,A'(x)<0,所以八(x)在区间［o,外上单调递减.

所以对任意上e(0,升有心)<以0)=0,即/(*)V0.所以函数,肛)在区间［o,t上单调递减.

因此外)在区间［。，雪上的最大值为用))=1,最小值为府)=甘.

［例3］(2017•浙江)已知函数/(*="一72\—1把一勺三分

(1)求儿目的导函数；

(2)求贝x)在区间+8)上的取值范围.

解析(1)〃—=/一寸土一1)'e'+('—卜2丫一l)(e

=(一南r+Q｝『T—W

(2)令/(X)=(l—X)(l-也；-］｝r=0,解得X=\

当X变化时,/),/(X)的变化如下表:

15

X1

2<2'b[I)21+£

/(A)—0+0—

1115

4X)5-02e-2

又4）=5一/川）=67（2）=2e-2,则於）在区间［士，+8）上的最大值为:e-/

又）x）=（x—yj2x_1）eT=2（A/2V—1—l）2ev>0.

综上，段）在区间仕，+oo）上的取值范围是［。，

3-2x

［例4］（2021•北京）已知函数兀0=百牙

⑴若。=0,求），=危）在（1,川））处的切线方程;

⑵若函数儿。在工=一1处取得极值，求«x）的单调区间，以及最大值和最小值.

An”,3~2x_.A/（—2）—（3—2x>2x2x—6

解析（1）当。=0时，风》）=-^—,则/（x）=------------『----:-=~^一•

当尸1时，川）=1,/（1）=-4,

故y="t）在（1.・川））处的切线方程为卜一1=一4（工一1）,整理得4x+.v—5=0.

3—2T

(2)已知函数«x)=EW，则/(')=-(F+a)?=(F+aF'

2（4—。）

若函数大外在x=—1处取得极值，则/（—1）=0,即《；+1）3=0,解得。=4.

经检验，当。=4时，x=-l为函数凡t）的极大值，符合题意.

3—2/2(x—4)(x+l)

此时火x）=；2+；,其定义域为R,f（x）=~~(?+4)2-,

令/（x）=0，解得M=-I，处=4.九0—（*,）随x的变化趋势如下表:

X(—8,—1)-1(T，4)4(4,+co)

f(x)+0—0+

凡。7极大值X极小值/

故函数4X）的单调递增区间为（一8,-I）,（4,+8）,单调递减区间为（一1,4）.

由上表知人x）的极大值为人-1）=1,极小值为<4）=一］.

又因为x<|时，段）>0；x号时，府）<0,

所以函数人r）的最大值为火-1）=1,最小值为7（4）=—£

――y,

[例5]己知函数儿》）=

,a\nx,x>\.

（1）求凡0在区间（-00,1）上的极小值和极大值:

4

⑵求心）在［-1，e］（e为自然对数的底数）上的最大值.

解析（1）当x<l时，/（.¥）=-3JT+2X=-.¥（3A—2）,

2

令/（x）=0，解得x=0或

当x变化时，/（x）,K0的变化情况如下表：

2

X(-00,0)0

(M)3(1•')

/（X）—0+0—

/）极小值极大值

故当x=0时，函数加）取到极小值，极小值为外0）=0,

当八号时，函数/U）取到极大值，极大值为娟=今

（2）①当一1与<1时，根据⑴知，函数知在［-1,0）和俘，1）上单调递减，在［（）,|］上单调递增.

因为1-1）=2,嫦=掾的）=0,所以/U）在［-1，1）上的最大值为2.

②当lSx<e时.M=a\nx,当a<0时，小闫）；

当。>0时，危）在［1,e］上单调递增.则—在［1,e］上的最大值为«e）=a.

故当。工2时，凡6在［-1,e］上的最大值为a：

当〃<2时，府）在［-1,e］上的最大值为2.

【对点训练】

1.函数尸也在［0,2］上的最大值是（）

A-B-iC.。D.也

1.答案A解析易知了=宁，x£［0,21，令），'>0,得必VI,令yvo,得IV烂2,所以函数y

4在［O,1］上单调递增，在（1，2］上单调递减，所以.尸志在［0,2］上的最大值是鹏=5，故选A.

2.函数艮x）=2x~\nx的最小值为.

2.答案l+ln2解析贝x）的定义域为（0,+8）,/（x）=2-5=2im，当时，/（*）<（）；当.号时，

/（x）>0.・•次0在（0,上单调递减，在&+8）上单调递增，••ja）min=/Q）=l—ln£=I+In2.

3.已知,几¥）=2?一西+帆（“为常数）在［-2,2］上有最大值3,那么此函数在［-2,2］上的最小值是（）

A.-37B.-29C.-5D.以上都不对

3.答案A解析•••/(外=&2-1标=6耳工-2),・\/5)在(一2,0)上单调递增.在(0,2)上单调递减，・•・

x=0为极大值点，也为最大值点，二加尸刑=3,：.m=3.・；/(-2)=-37,火2)=—5.二最小值是一37.故选

A.

4.已知函数/Cr)="+2sinx,*£［0,2兀］,则及目的值域为()

A.胃一小,专+小］B.［。，专一小］C亨+小,2几］D.［0,2n］

4.答案D解析/(x)=I+2cosx,上£［0,2元］,令/住)=0,得cost=—.,.*=号或1=笔又f(专)

普+3,/售)=竽一小,<0)=0.兀)=2%,/伴)一/图=号一2小<0,.；/(0)4用勺停卜火2n)，；.危)2

=J(2n)=2n,凡％加=/(0)=0,・\/(K)的值域为［0,2n］.

2-c,OSr

5.设(KETC,则函数y=s.J的最小值是.

小—r*nj.r-sin2.r—(2—cosx)cosxI_2cosJC.“，、,n,n

5.答案由解析y=--------而黑-------=―而石一.因为oosm所以当？<v<7c时，y>o；当o<&<j

时•产0.所以当X=鼻时，ymin=小.

6.若曲线y=xe，+*Y(x<-D存在两条垂直于y轴的切线，则用的取值范围为.

6.答案(一号，0)解析由题意可得，片(.—尚产0,即〃f+1那在(一孙一1)上

有两个不同的解.设Ax)=a+l)3e©y—l),/a)=(x+l)%Yx+4).当K-4时J(x)<0；当一48—1时,/(x)>0.所

以凡“1m=逐-4)=一去，当尤v—1时，j(x)<0,故m£(—¥，0).

7.已知实数工，y满足4，+9、,=1,则2门++门的取值范围是.

7.答案(2,<13]解析由41+少'=1得22，+3"=1,3>=11—2巴其中2入£(0,I),所以2、£(0,

1),2x+14-3>,+1=2x2'+3x3>=2x2x+3A/1-21V,令f=21则用)=2f+34l—产(0</<1),则/⑺=2—^^,

令/⑺=2-］当=°得1=喈，所以函数大，)在(0,嗜)上单调递增，在(喈，I)上单调递减，且40)=3,

,(3里)=仃，<1)=2,所以2i+3>”的取值范围为(2,V13J.

8.已知函数人x)=hu—ai,其中x£［l，+8),若不等式AY)W0恒成立，则实数。的取值范围为()

A.[L+0°)B.(一8,I--D.[0,+8)

8.答案C解析当工亡口，+8)时，不等式At)W0恒成立等价于乎在［I.+8)上恒成立,

令g(x)=3=则g'(x)=lF'.当0<E<e时，g'(x)>0;当x>e时，g，(x)<0；所以8(.5皿=8七)=看所以.故

选C.

9.已知函数式幻=/一3<一1,若对于区间［-3,2］上的任意即，刈，都有人⑴-WM)|W，，则实数/的最小

值是()

A.20B.18C.3D.0

9.答案A解析因为/。)=3/-3=3(工一1)(1+1),.1£［—3,2］,所以#x)在［-1,1J上单调递减，

在［1,2］和［-3,—1］上单调递增.五—3)=—19,大-1)=1,_/0)=—3,购=1,所以在区间［-3,2J上，/)m

=hA')min=-19,又由题设知在［-3,2］上网q)-/(K2)|W"壮皿-Ax)min=20,所以fN20,故选A.

10.(多选)已知函数<》)=乎，g(x)=xe~x,若存在即£(0,+co),使得«盯)=8(&)=4AVO)成立，

则下列结论正确的是()

A.Inxi=X2B.In(-M)=­M

C.住*的最大值为刍D.(胃eA的最大值为土

10.答案AC解析由&xi)=g(X2)=%(k<0),得呼=Me—x2Vo(*).^0<x［<itx2<0.由(*)可得

-*"=-X2C—也>0,两边同时取对数可得ln(—Inxi)—ln,*=ln(一也)一X2.,•,函数1y=lnX+.r在(0,+QO)上为

增函数，，-lnxi=一孙，111.灯=如，器二号^鼠故管｝•g—e”.设力(%)=—心伙<0),，〃伙)=1(炉+

2A),由一伙2+2肪>0,可得&V-2,故抑女)在(一8,-2)上单调递增,在(一2,0)上单调递减，故力(&)皿、=〃(一

2)=4,因此(言)％«的最大值为3.综上，AC正确.

11.设函数J(x)=f+1—Inx.

(1)求人r)的单调区间；

(2)求函数g(x)=_/(x)r在区间仕，小的最小值.

11.解析(1)易知兀6的定义域为(0,+8),/(x)=2x-g

由/(x)>0,得x>乎，由/(x)V0,得OVxV堂.

・•・•儿0的单调递减区间为(0,乎)，单调递增区间为俘，+oo).

।HH*A->.1(2A+1)(x—1)

(2)由题意知g(x)=.v+1—Inx-x,1=--------x--------，

由gQ)>0,得力>1,由g'(©WO,得OVgl,

・,.g(x)在［；,1)上单调递减，在(1,2］上单调递增，，在［；,21上，g(x)的最小值为g(l)=l.

al+力r+('

12.已知函数兀0=—官一标乂))的导函数/(幻的两个零点为一3和0.

(1)求凡6的单调区间:

(2)若40的极小值为一9，求儿0在区间［-5,+8)上的最大值.

(2ax+))e'—(av2+bx+c)e'—亿v2+(2。一/».r+b-c

12.解析(1)「(*)=,⑹)：

令g(x)=-or2+(2a-b)x+b-c,

因为e、>0,所以/(x)的零点就是—垃t+b-c的零点，且/(»与g(x)符号相同.

又因为〃>0,所以当-3<*<0时，g(.r)>0,即/。)乂)，

当a<-3或x>0时，g(x)<0,即/(x)<0,

所以1丫)的单调递增区间是(一3,0),单调递减区间是(一8,—3),(0,+8).

⑵由(1)知,x=-3是./U)的极小值点，

\、、9a-3/，+c,

4-3)=--1-=-e3

所以有4

g(0)=b—c=0,

<g(—3)=—9a—3(2a—b)+b—c=0,

d+5t+5

解得a=l,b=5,c=5,所以贝外二:—3一

由(1)可知当x=0时凡v)取得极大值贡0)=5.

故火x)在区间［-5,+oo)上的最大值取火一5)和/(0)中的最大者.

而y(—5)=5e5>5=y(0),

所以函数兀［)在区间［—5,+刃)上的最大值是5e5.

13.(2019•全国III)已知函数危)=2F—磔

(1)讨论逃工)的单调性；

(2)当(Xa<3时，记<*)在区间［0,I］的最大值为M,最小值为加，求"一阳的取值范围.

13.解析(1)/U)的定义域为R,/(x)=&F-2dx=ZH3x—a).令/(x)=0,得x=0或*=*

若aX),则当工£(一8,0)瑶，+a)时，/⑴乂)，当x£(0,§时，/(x)<0,

故凡r)在(一8,0),(争+8)上单调递增，在(0,§上单调递减；

若4=0,则/)在(一8,+8)上单调递增；

若a<0,则当xe(—8,纵(0,+8)时,f(x)X),当0)时，/(x)<0,

故1Ax)在(一8,(0,+oo)上单调递增，在俘，0)上单调递减.

(2)当0<°<3时，由(1)知，_/(%)在(0,§上单调递减，在g，I)上单调递增，所以凡。在1°，”的最小值为f(1)=

一六+2,最大值为犬0)=2或<1)=4—a.

|4—rz,(Xa<2,0<a<2,

于是m=一1+2,M=\所以。3

[2,2<a<3.另2R<3.

①当0<a<2时，可知y=2-a+W单调递减，所以“一机的取值范围是缁，2).

②当2M<3时.¥=吗单调递增，所以M一加的取值范围是［今，1).

综上，M一m的取值范围是［捺，2).

考点二已知函数的最值求参数的值(范围)

【例题选讲】

［例1］(1)函数式x)=V-3f—9x+6在区间［-4,4］上的最大值为10,则其最小值为.

答案一71解析/(A)=3A2-6A—9=3(X-3)(A+1).由/(幻=0得％=3或x=-1.又|-4)=2—76,直3)=2

-27,f(-\)=k+5,44)=A一20.由段)4=&+5=10,得2=5,.\Ax)min=Jt-76=-71.

(2)若函数<x)=asinx+/in3x在*=］处有最值，则。等于()

A.2B.IC.茅D.0

答案A解析:式外在尸鼻处有最值，，尸力是函数4r)的极值点.又/(*)=485工+853工，.\f^=acosJ

+cos7t=0,解得a=2.

(3)函数4x)=3x—V在区间(02—12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是.

答案(-1,2］解析/(x)=3-3F=-3(x+l)(x-l),令/(x)=0,得由=-1,及=1.当x变化时，/。)，兀丫)

的变化情况如下表：

X(-00,-1)-1(—1,1)1(1,+oo)

/(X)—0+0—

於)4极小值一2极大值24

又由3x-./=-2,得(x+l)2(x—2)=0.，心二一1,x»=2.；/U)在开区间(<?—12,“)上有最小值，，最小值一

［a2—\2<—\<a,

定是极小值.・•・〜解得一1<方2.

忆，

(4)己知函数1/(x)=］n.r—av存在最大值0,则a=.

答案|解析M=\-a,x>Q.当cEO时，/(x)=5一a>0恒成立，函数人.0单调递增，不存在最大值；当

。>0时，令/(.0=:一。=0,解得x=：.当0VxV5时，/(x)>0,函数火*)单调递增；当时，/(用〈0,函数,/U)

单调递减.JU)max=/6)=In5-1=0,解得a=1.

(5)(多选)若函数Ac)=2.P—加(aVO)在皇)上有最大值，则〃的取值可能为()

A.-6B.-5C.-4D.—3

答案ABC解析令/(x)=2x(3x—a)=0,解得莺=0,4=*。<0),当卜“<0时，/(x)V0;当工号或x>0

时，八.0>0,则贝幻的单调递增区间为(一8,(0,+ao),单调递减区间为g,0),从而儿0在处取得极大值

，埼=-券由於)=_等得［_吩3+§=(),解得户玄或*=_?,又危)在像c，i上有最大值，所以］

<-1,解得好一4.所以选项A,B,C符合题意.

(6)设函数外外二廿一cosx—2a,g(x)=x,若存在用，*2e［0，兀］使得人口)=8。2)成立，则由一川的最小值为1时，

实数a=()

A.—1B.—C.D.1

答案B解析令尸(%)=«¥)—g(x)=et—cosx—x—2z7,由於i)=g(*2)得照=当一COSXL2a,则切一莺=6'一

cosxi-xi-2fl,则a一二的最小值即尸(1)在［0,句上的最小值.•・•尸(x)=e'+sin.LlN)恒成立，x£［0,可,/.F(x)

在［0,句上单调递增.，”(现函=尸(0)=一加=3—Xl)min=l，

【对点训练】

1.已知函数-AZP-Gd+a在［-2,2］上有最小值一37,则a的值为,加)在［一2,2］上

的最大值为.

1.答案33解析f(x)=6jr-12x=6x(A—2).由/。)=0,得x=0或x=2.当x变化时，/(x),凡丫)

的变化情况如下表:

10

X-2(一2,0)0(0.2)2

f(x)+0—0

危)-40+a极大值a-8+a

所以当了=一2时，Av)min=-40+«=-37,所以a=3.

所以当x=0时，儿丫)取得最大值3.

2.若函数尸？+%+用在[-2,1]上的最大值为小则利等于()

5

OB2D-

2

2.答案C解析y=3F+3x=3x(x+l),易知当一1<X<O时，y<0,当一20<—1或陵<1时，J>0.

所以函数尸叶学+“在(-2.-I),(0,1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减，又当尸一1时，尸

59

-=-

当K=1时，y=m+-z,所以最大值为机22

2.已知函数式.r)=V+3.F—9x+l,若/U)在区间伙，2]上的最大值为28,则实数4的取值范围为()

A.[13,+oo)B.(一3,+oo)C.(―oo,—3)D.(—8,—3]

2.答案D解析由题意知了(1)=3/+3:-9,令/(x)=0,解得x=l或X=-3,所以/(x),贝x)随x

的变化情况如下表：

X(-8,-3)-3(—3,1)1(1,+<»)

+0—0+

於)极大值极小值

又人—3)=28,火1)=-4,贝2)=3,人冷在区间伏，2]上的最大值为28,所以七一3.

3.若函数KOu/X+F-号在区间(a,a+5)上存在最小值，则实数"的取值范围是()

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(一3,0)

3.答案C解析由题意，/(X)=.F+2X=X(X+2),故/(x)在(一8,—2),(0,+8)上是增函数，在(-2,

—

。)上是减函数,作出其图象如图所示.桔VI+xH?一孤2”=°或尸-3,则结合图象可知,\"+35<><7°<,0,

得。£[-3,0),故选C.

解析(I)由已知，得/(x)=x—(a+l)+£(x>0),又由题意可知y=/(x)在(2,1A2))处切线的斜率为I,

所以/(2)=1,即2—(〃+1)+?=1,解得。=0,此时/2)=2—2=0,故所求的切线方程为y=x—2.

,a『一(a+lM+a(x-l)(x—a)

(2»(X)=LS+1)+二一—=-~~-(A>0).

4.已知函数大幻=111.1一；(〃1£10在区间［1,e］上取得最小值4,贝IJ/〃=.①当OVaVl时，若K£(0,a),则/(x)>0,函数儿0单调递增；若x£(a,1),则/(QVO,函数兀r)单调递减；

若x£(i,4-oo),则/v)>o,函数人工)单调递增.此时x=a是兀6的极大值点，x=i是凡外的极小值点，函数yu)

4.答案一3e解析了(x)=《+§=W^,若*0,/。)>0,段)在［1,e］上为增函数，有段)min=_/U)=

的极大值是贝。)=-l^r+alna,极小值是川)=—今

一6=4,/〃=—4,舍去.若m〈O,令/(x)=0,则％=一加，且当x<一/〃时，/(x)<0,贡>)单调递减，当x>一/〃时，

/(x)>0,/(.r)单调递增.若一机01,即〃巨一1时，_/(x)Ein=/U)=一加0，不可能等于4；若1<—〃区e,即一eWm<一②当。=1时，/a)=J^4o,所以函数火上)在定义域(0,+8)内单调递增，

1时，J(x)min=逐一⑼=ln(—〃。+1,令ln(—/”)+1=4,#m=—e3€［—e,—I)；若一/心e,即/n<—e时，贝x)min

此时贝%)没有极值点，故无极值.

=/(e)=l—p令1—£=4,得利=—3e,符合题意.综上所述，/n=-3c.③当时，若汇仁(0,1),则/a)>o,函数儿0单调递增；

5.已知函数人幻=不*-(〃>0)在［1,+8)上的最大值为坐，则。的值为()若“W(l,a),则/(x)VO,函数人0单调递减；若XWQ,+/),则/(x)>0,函数人0单调递增.

此时x=l是的极大值点，x=a是人工)的极小值点，

34

B-C-

43函数.信)的极大值是贝1)=一；,极小值是仙)=一前+alna.

5.答案A解析由儿*)=£工，得了(▲)=(1十二)2,当。>1时，若则力。单调递减，若综上，当OVaVl时，,/U)的极大值是一%2+aina,极小值是一/当a=1时，/)没有极值；当a>1时人工)的

|<(口，则/“)>0,凡。单调递增，故当x=5时，函数7W有最大值赤=坐,解得"=/1,不符合题意.当。极大值是一)极小值是一%+alna.

［例2］已知函数J［x)=\nx-ax(aGR).

=1时，函数次处在口，+8)上单调递减，最大值为<1)=3，不符合题意.当0<«<1时，函数/)在［1,+°°)±

(1)当a=£时，求凡M)的极值：

单调递减.此时最大值为火1)=本=率，解得。=巾一1,符合题意.故a的值为由一1

(2)讨论函数./(X)在定义域内极值点的个数.

解析(1)当a=£时，yU)=lnx-%,函数的定义域为(0,+8)且/。)=：一；=行\

专题10含参函数的极值、最值讨论

考点一含参函数的极值

【例题选讲】

［例1］设。>0,函数凡6=22—3+1江+。(1+111工).

⑴若曲线尸危)在⑵92))处的切线与直线产一1+1垂直，求切线方程.

⑵求函数40的极值.