2021-2022学年河南省郑州四十七中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省郑州四十七中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（3分×10＝30分）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝2：3：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：23．下列说法错误的是（）A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+24．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．5．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（）A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点6．如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（）A．x＜ B．x＜2 C．x＞ D．x＞27．在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（）A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3）8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（）A．4 B．5 C．6 D．89．如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（）A．BE＝4 B．∠F＝30° C．AB∥DE D．DF＝510．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（）A．（28，4） B．（36，0） C．（39，0） D．（，）二、填空题（每小题3分，共15分）12．如果不等式组无解，则a的取值范围是．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝°．14．某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打折．三、解答题（8题，共75分）16．解不等式组并求它的所有整数解的和．17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2，成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．18．阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB＝AC．小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD＝∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD＝CD，加上公共边的条件AD＝AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B＝∠C，可证出AB＝AC成立．小芳的方法是用角平分线的性质得到DE＝DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论．请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明．（可以与小明和小芳的方法不同）19．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M．（1）若∠A＝40°，则∠NMB为度；（2）如果∠A＝α°（0°＜α＜180°），其余条件不变，求∠NMB的度数；（3）补全规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与相交所成的锐角等于．20．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．（1）求y甲、y乙与x的关系式；（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．22．阅读材料：对于两个正数a、b，则a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）．当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值．例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值．解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．根据上面的阅读材料回答下列问题：（1）已知x＞0，若y＝4x+，则当x＝时，y有最小值，最小值为．（2）已知x＞3，若y＝x+，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？

参考答案一、选择题（3分×10＝30分）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝2：3：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c＝2：3：4∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∵∠A＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．故选：B．3．下列说法错误的是（）A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+2【分析】根据不等式的性质进行判断．解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；B、若＞，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；故选：C．4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式用数轴表示即可．解：，解①得x≥1，解②得x＜2，利用数轴表示为：．故选：B．5．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（）A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，故选：D．6．如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（）A．x＜ B．x＜2 C．x＞ D．x＞2【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式ax+4＜2x解集即可．解：∵函数y＝2x过点A（m，3），∴2m＝3，解得：m＝，∴A（，3），∴不等式ax+4＜2x的解集为x＞．故选：C．7．在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（）A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3）【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．解：平移后的坐标为（5﹣3，2﹣2），即坐标为（2，0），故选：A．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】由线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质以及三角形的面积公式即可得到结论．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，∵∠ACE＝90°，AC＝2，∴AE＝BE＝2AC＝4，∴S△ABE＝BE•AC＝，故选：A．9．如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（）A．BE＝4 B．∠F＝30° C．AB∥DE D．DF＝5【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，∴CF＝BE＝4，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，AB∥DE，∴A、B、C正确，D错误，故选：D．10．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（）A．（28，4） B．（36，0） C．（39，0） D．（，）【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，然后根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合，所以，第10个图形的直角顶点与第9个图形的直角顶点重合，然后求解即可．解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）12．如果不等式组无解，则a的取值范围是a≤1．【分析】根据不等式组解集的定义可知，不等式x﹣1＞0的解集与不等式x﹣a＜0的解集无公共部分，从而可得一个关于a的不等式，求出此不等式的解集，即可得出a的取值范围．解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，解不等式x﹣a＜0，x＜a．∵不等式组无解，∴a≤1．故答案为：a≤1．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝36°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝FC，得到∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，计算即可．解：∵∠BAC＝108°，∴∠B+∠C＝72°，∵DE、FG分别垂直平分线段AB、AC，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，∴∠DAE+∠FAC＝72°，∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠DAE+∠FAC）＝36°，故答案为：36．14．某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打8折．【分析】设打x折，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．解：设打x折，根据题意得：100（1+50%）•x≥100（1+20%），解得：x≥8，即至多打8折，故答案为：8．三、解答题（8题，共75分）16．解不等式组并求它的所有整数解的和．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．解：，由①得x≥﹣3，由②得x＜2，所以不等式组的解集是﹣3≤x＜2，所以它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，所以所有整数解的和为﹣5．17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2，成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；（3）连接B1B2、C1C2、A1A2，它们相交于一点，则这个点为对称中心．解：（1）如图，△A1B1C1；为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形．对称中心的坐标为（，）．18．阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB＝AC．小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD＝∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD＝CD，加上公共边的条件AD＝AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B＝∠C，可证出AB＝AC成立．小芳的方法是用角平分线的性质得到DE＝DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论．请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明．（可以与小明和小芳的方法不同）【分析】对小明和小芳的证明思路分别分别进行判断即可．解：∵∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，AD＝AD，不能证明△ABD和△ACD全等，∴小明的证明思路不正确，小芳的证明思路正确，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，如图所示：∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD，∴AB×DE＝AC×DF，∴AB＝AC．19．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M．（1）若∠A＝40°，则∠NMB为20度；（2）如果∠A＝α°（0°＜α＜180°），其余条件不变，求∠NMB的度数；（3）补全规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB＝90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB＝90°﹣∠B即可．（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB＝90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB＝90°﹣∠B即可．（3）由（1）（2）发现规律即可．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝70°，∵MN是AB的垂直平分线，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝90°﹣∠B＝20°．故答案为20．（2）∵AB＝AC，∠A＝α°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α°，∵MN是AB的垂直平分线，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝90°﹣∠B＝．（3）由（1）（2）发现规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半，故答案为底边的延长线，顶角的一半．20．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【分析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意可知，z≥（30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根据一次函数的性质，即可求解；解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意，得，∴，∴A的单价30元，B的单价15元；（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，由题意可知，z≥（30﹣z），∴z≥，W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，当z＝8时，W有最小值为570元，即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；21．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．（1）求y甲、y乙与x的关系式；（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家书店y与x的函数关系式；（2）根据（1）的结论解答即可；（3）结合图象解答即可．解：（1）由题意可得，y甲＝0.8x；乙书店：当0≤x≤100时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.6＝0.6x+40，由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；（2），解得，∴A（200，160），点A的实际意义是当买的书