2023届上海春季高考练习（含答案解析）

2023届上海春季高考练习

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.已知集合4={1,2},8={1,0,且A=B,则〃=.

2.已知向量£=(3,4),5=(1,2),贝1|£一%=.

3.若不等式|x-l|42,则实数元的取值范围为.

4.已知圆C的一般方程为丁+2》+/=0,则圆C的半径为

5.已知事件A发生的概率为P(A)=。5,则它的对立事件不发生的概率P(Q=

6.已知正实数。、6满足。+助=1,则他的最大值为.

7.某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm,最小值为154cm,根据身

高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5,且第一组下限为153.5,则组数为

8.设(l-2x)4=4+4x+“2x2+4x4,贝!J&+〃4=.

/、[log(x+l),x>0

9.已知函数/*)=2-*+1,且=9A。，则方程g(x)=2的解为

10.已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概

率为•

11.设不z?eC且马甘耳，满足匕-1|=1,则|z「Z2I的取值范围为.

12.已知空间向量次，而，反都是单位向量，且无i_LO反OW_L反,Oq与近的夹角为

60°,若尸为空间任意一点，且|。户|=1,满足|丽•反凶而・砺国而・西^iOP-OC

的最大值为.

二、单选题

13.下列函数中为偶函数的是()

A.y=cosxB.y=s\nx

C.y=x3D.y=2x

14.如图所示，下面是出口，上面是进口，下列选项叙述错误的是（）

2018-2021中国进出口总额统计图

B.从2018年开始，进出口总额逐年增大

C.从2018年开始，进口总额逐年增大

D.从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小

15.如图，P是正方体ABCO-AAGR边AG上的动点，下列哪条边与边族始终异面

C.D.B,C

16.已知数列｛%｝的各项均为实数，5„为其前〃项和，若对任意k>2022，都有瓦|>瓦」,

则下列说法正确的是（）

A.，。3'%,。2〃一1为等差数列,〃2,4，4,…,％〃为等比数列

B.《必，％…，％I为等比数列,生,〃4，。6,…，为等差数列

C.…，〃2022为等差数列,“2022，“2023,02024L,为等比数列

D.4,〃2，“3，”2022为等比数列，“2022，〃2023,%024L，〃〃为等差数列

三、解答题

试卷第2页，共4页

17.已知三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,ABA.AC,PA=AB=3,AC=4,M为BC

中点，过点M分别作平行于平面以8的直线交AC、PC于点E,F.

(1)求直线PM与平面ABC所成角的大小；

(2)证明：ME〃平面并求直线ME到平面上的距离.

18.在“3C中，角A,B,C对应边为a,b,c,其中8=2.

(1)若A+C=120。，且a=2c,求边长c；

(2)若A-C=15°,a=J^csinA,求AABC的面积".川.

19.已知S为正比例系数，定义：$=今，先为建筑物暴露在空气中的面积(单位：平方

米)，匕为建筑物的体积(单位：立方米).

(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H,求该建筑体的S(用尺”表示)；

(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长.已知了

为正比例系数，Z?与A成正比，定义：f=J建筑面积即为每一层的底面面积，总

A

建筑面积即为每层建筑面积之和，值为T.已知该建筑体推导得出5=、叵+L,"为

VT3n

层数，层高为3米，其中/=18,7=100000,试求当取第几层时，该建筑体S最小？

20.已知椭圆「：二■+二=1(机＞0,加工百).

m3

(1)若加=2,求椭圆r的离心率；

(2)设A，4为椭圆「的左右顶点，若椭圆「上一点E的纵坐标为1,且丽;•冤=-2,

求tn的值；

2'

(3)若尸为椭圆「上一点，过点P作一条斜率为6的直线与双曲线匚-三=1仅有一个

5"5

公共点，求胆的取值范围.

21.设函数/0)=0^_(a+1)%2+彳g*)=区+»1,其中匕/eR,若任意xw[0,l]

均有,f(x)Wg(x),则称函数y=g(x)是函数y=/(x)的控制函数”，且对于所有满足条

件的函数y=g。)在x处取得的最小值记为『(x).

(1)若a=2,g(x)=x,试问y=g(x)是否为y=/(x)的控制函数”；

(2)若。=0,使得直线y=〃(x)是曲线y=f(x)在x=!处的切线，证明：函数》=力(幻为

4

函数y=fW的控制函数，并求“7(目”的值；

⑶若曲线y=/(x)在*=%(与€(0,1))处的切线过点(1,0),且证明：当且仅

当C=Xo或C=1时，7(c)=/(c).

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.2

【分析】利用集合相等的定义求解即可.

【详解】因为A={l,2},3={l,a}且A=B，

所以集合4B中元素相同，

所以a=2,

故答案为：2

2.(1,0)

【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解.

【详解】因为2=(3,4)3=(1,2),所以:一々=(3,4)-2(1,2)=(1,0),

故答案为：(1,0)

3.[-1,3]

【分析】解绝对值不等式求得正确答案.

【详解】由|x-l区2,^-2<x-l<2-l<x<3,

所以实数x的取值范围是[T,3].

故选：[—1,3]

4.1

【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径.

【详解】Hx2+2x+/=0BP(.r+l)2+y2=l,

所以圆的半径为1.

故答案为：1

5.g##0.5

【分析】根据对立事件的知识求得正确答案.

【详解】依题意，P(A)=l-P(A)=l-0.5=0.5.

故答案为：!

答案第1页，共13页

【分析】由+,代入即可得出答案.

【详解】ab=-a-^b<—\a+^

4416

当且仅当"a=4b",即4=!力=!时取等，

28

所以"的最大值为上.

16

故答案为：-^―

16

7.7

【分析】求得各组的范围，从而确定组数.

【详解】第一组［153.5,158.5）；第二组［158.5,163.5）；

第三组［163.5,168.5）；第四组［168.5,173.5）；

第五组［173.5,178.5）；第六组［178.5,183.5）；

第七组［183.5,188.5］.

所以组数为7.

故答案为：7

8.17

【分析】利用二项式展开式的通项公式求常数项和/的系数即可.

【详解】二项式（1-2欠）4展开式的通项为却=中"（-2》严=（-2严（：3-，,

当4-r=0,即r=4时，/=（-2广4（：：=1,

4

当4一r=4,即r=0时，a4-（-2）"C*=16,

所以％+4=17,

故答案为：17

9.3

【分析】分类讨论x20和x<0,解方程g（x）=2的解，即可得出答案.

【详解】当xNO时，g（x）=bg2（x+l）=2,解得：x=3,

答案第2页，共13页

当x<0时，g(x)=/(-x)=2'+l=2,解得：x=0(舍去)，

所以方程g(x)=2的解为3.

故答案为：3.

10.g##0.5

【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可.

1

【详解】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率「=黄c公C?_4xl5_1

Jo120~2

故答案为：;

11.[o,2+V2]

【分析】判断出Z?对应点的轨迹，从而求得卜-Z?版取值范围.

【详解】设4=。+历*2=c+Ji,。,4adeR,

z2=c-dif则a+bi=i・(c-M)=d+ci,

[a=d

所以八,

[h=c

|z,-l|=|(a-l)+/?i|=^(a—l)2+/>2=1,所以(a—1)~+/?2=1,

即4对应点仅⑼在以(1,0)为圆心，半径为1的圆(x-iy+y2=i上.

z2=c+d\=b+a\,22对应点为(6,々)，

(3〃)与(b,a)关于y=x对称，

所以点传,a)在以(0,1)为圆心，半径为1的圆/+(y-1)?=1上，

%-Z2I表示(a,b)与(b,a)两点间的距离,

圆(X—|)2+y2=]与圆产+(k1)2=1相交，圆心距为应,如图所示，

所以卜-Zzl的最小值为0,最大值为0+1+1=2+&，

所以|z「Z21的取值范围为[o,2+a].

故答案为：[0,2+应]

答案第3页，共13页

【分析】以。为坐标原点，为z轴，0B为y轴，垂直于Z。），平面为X轴建立空间直角坐

标系，|丽•反国丽•丽凶丽•丽|由坐标表示得3/+且.+l.y24y24z2,画出可行域

424,

利用线性规划求解即可.

【详解】因为况_1砺，砺1元,O3nOC=O,所以O4JL平面BOC,

以。为坐标原点，。4为z轴，。8为y轴，垂直于zOy平面为X轴建立如图所示坐标系，

因为04,5反前都是单位向量，而与反的夹角即N8OC为60。，

(R1、

所以4(0,0,1),8(0,1,0),C，，5，。,

\/

设点P(My,z)，且f+y2+z2=1,

ULU____LILllUUU(6］、

则OP=(x,y,z),OA=(0,0,1),08=(0,1,0),0C=—,-,0,

k227

所以由|而•反国丽・砺KI丽・乐|得*x+g)Y|y|4|z|,

平方得+且孙+_Ly2<2<z2(

424-

由3丁+走封+,y24y2可得3x?+26孙-3y2=(7Jx+3y)(A-y)W0,

424

答案第4页，共13页

+3y>0Gx+3yW0

所以＜或，

yfix-y<0A/3X-y>0

由y2Wz?及f+y2+z2=]可得y2<]_工2_y2即/+？y2<1,

综上满足3/+y24y24[2的可行域如图所示,

由可行域可得z在E点取得最大值，在厂点取得最小值,

所以Zm”=警，

所以多+9的最大值为率,

故答案为：

7

13.A

【分析】对四个选项一一验证：

对于A：利用奇偶性的定义进行证明；

对于B：取特殊值否定结论;

对于C：取特殊值/⑴J(-1)否定结论；

对于D：取特殊值/1)否定结论.

【详解】对于A：y=cosx的定义域为R.

因为.f(-x)=cos(-x)=cosx=/(x),所以y=cosx为偶函数.故A正确；

对于B：对于y=sinx,=1不满足/(T)=f(x),

答案第5页，共13页

故丫=5皿*不是偶函数.故B错误；

对于C:对于"丁,/(l)=f=1,/(_1)=(_1)3=_1,不满足了(—x)=〃x),故y=》3不是

偶函数.故C错误；

对于D：对于y=2、，/(1)=2'=2,/(-1)=2-1=1,不满足x)=〃x),故y=2,不是

偶函数.故D错误；

故选：A.

14.C

【分析】根据进出口总额统计图，逐一分析选项即可；

【详解】从2018年开始，进出口总额依次是30.5,31.57,32.22,39.10,

□157—205^97?—S7

进出口总增长率依次是2019年x。035,2020年、0。2,2021年

30.531.57

39.10-32.22加灯—

-----------®0.213,选项ABD正确；

32.22

2019年进口总额比2020年进口总额小，选项C错误；

故选：C

15.B

【分析】根据异面直线的知识确定正确答案.

【详解】P在边AG上运动，则BPu平面ABG，

当产运动到AG的中点片时，研与。。相交，A选项错误.

AC〃AG，AC，G，A四点共面，

BPc平面ACGA=P,PiAC,所以BP与AC是异面直线，B选项正确.

当尸运动到点G时，与8。相交，所以CD选项错误.

故选：B

答案第6页，共13页

【分析】令/(n)=1S„l(5„是等差数列的前n项和)，由题意可得当n>2022时，心>单调递减,

结合二次函数的性质和选项逐一判断即可.

【详解】解：令洋〃)=1解120,由题意当”>2022时,八，”单调递减，

对于首项为％,公差为d的等差数列，

2

则前〃项和=nat+"2-«+(«)(不含常数项)，

此时/(〃)=1|斗£/2+(4-：)"，

由二次函数的性质知：当〃足够大时，八，”不可能为单调递减函数，

所以，A中奇数项及B中偶数项为等差数列均不合题意；

对于C,当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比qe(0』)时，满足

/(»)>/(«+1),故符合题意;

对于D,当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A、B分析：当“足够大

时，不满足/(〃)>/(〃+1),即不可能为单调递减函数，故不合题意

故选：C.

【点睛】方法点睛：等差数列的前〃项和5“是关于〃的二次二项式(不含常数项)，在研究有

关等差数列前〃项和的有关性质性，从二次函数的性质出发，能使问题得到简化.

17.(l)arcsin'J'

61

(2)2

答案第7页，共13页

【分析】（1）因为24,平面A8C,AB1AC,建立空间直角坐标系，分别求出直线PM的

方向向量与平面ABC的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案；

（2）由面面平行的性质定理可证得ME〃平面尸A8,再证明ACJ■平面248,即可求出答案.

【详解】（1）因为抬，平面ABC,ABJ.AC,建立如图所示的空间直角坐标系，

则4（0,0,0）,8（3,0,0）,C（0,4,0）,尸（0,0,3）,M（|,2,0）,E（0,2,0）,

所以产力=1|,2,-3）,设万=（0,0/口平面ABC,

（2）因为平面PA8//平面ERW,平面PABc平面PAC=B4,

平面EFMn平面R4c=所，所以RV/£F,

同理EM〃AB,M为BC中点，

所以E,F分别为AC,PC的中点，

因为&W〃A8,EA/Z平面Q4B,ABu平面R钻,

所以ME〃平面R4B,

因为PAL平面ABC,ACu平面ABC,所以B4LAC,

AB.LAC,A8cPA=A,A8,PAu平面丛8,

所以AC_L平面又因为ME〃平面

直线ME到平面2记的距离为|明=2.

答案第8页，共13页

Q）3-6

【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得J

（2）利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案.

【详解】（1）依题意，a=2c,

由正弦定理得sinA=2sinC,即sin（120。—C）=2sinC,

—cosC+-sinC=2sinC,tanC=—,

223

由于0。＜。＜120。，所以C=30°,贝I」干=90°,8=60。,

cbbsinC72G

由正弦定理得一7；=—^"=一丁=一/=一1.

sinCsinBsin83

T

（2）依题意，a->/2csinA，

由正弦定理得sinA=>/2sinCsinA»

由于150<Avl80。，sinA>0,所以sinC=之，

2

由于A—C=15°>0,所以。为锐角，所以C=45。，

则A=600,8=75。,

\/6+5/2

sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos300+cos45°sin30°=

-4

由正弦定理得M=—\，C=等=《^=釜7="耳工=2（有一1）,

sinCsinBsinBV6+V273+1IV3+11IV3-1j''

4

所以=^csinA=-^-x2x2^>/3-ljx^-=3--73.

（2）13或14

【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可;

（2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时"的值.

【详解】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：

22

Fa=2nRH+TiR,%=itRH,

答案第9页，共13页

F„_nR(2H+R)2H+R

所以S=

匕nR2HHR,

18〃13扃17

(2)由题意可得S=-------1----------1---，〃£N，

1000003〃5003n

3

3也__1__9扃3-1()00,

所以s，=令S'=。即96〃“1000=0,解得

1000〃3/一3OOO/72

理%356,

〃=

81

200000

所以s在1,：单调递减，在：，存单调递增,

81

所以s的最小值在〃=13或〃=14取得,

当〃=13时，35XI3

5=^+L工0.074,

5003x13

当〃=14时，s=3^^+^

x0.074,

5003x14

所以在第13或14层时，该建筑体S最小.

20.(1)1

(2)3

⑶(6同

【分析】(1)由椭圆的离心率定义即可得出答案;

(2)设4(-见0)，4(犯0),求出E点的坐标，表示出瓯，可，由数量积的定义求出可•冤,

即可求出，”的值；

(3)设该直线为/:y=Wx+"直线/与双曲线，-江=1仅有一个公共点，讨论直线/与

2222

双曲线上;-工=1的渐近线平行和直线/与双曲线匚-£=i的渐近线不平行结合尸为椭

5m"55m"5

圆r上一点即可得出答案.

22

【详解】(1)当加=2时，椭圆广：工+21=1,焦点在X上，

43

则6？=4,6?=3,c2=a2-b2=1,则e=£=」.

a2

(2)因为A，4为椭圆r的左右顶点，所以4(-〃?,0)，4(犯0),

令「小A中k则£+卜=在1=-±争

答案第10页，共13页

‘平皿],瓯=布)——761

若E-,EA.=tn----,

I3)373

V6]任L

EA^-EA、=-m----tnm----m+1=-29,

33)

解得：加=3.

(V6}—(V61

若Em,\,=-m-\------,EA="+——z?i,-l,

3?3

解得：m=3.

（3）若尸为椭圆「上一点，过点尸作一条斜率为6的直线，

22

设该直线为/:y=6x+b,直线/与双曲线g-,=l仅有一个公共点,

①直线/与双曲线£-《=1的渐近线平行时，

5m"5

则双曲线E-《=1的渐近线为：y=±侬，所以,”=6.

5m~5

因为P为椭圆「上一点，所以加>0,mr6,所以不满足题意.

22

②直线/与双曲线工-三=1的渐近线不平行时，

5m-5

22

尸.7

■5w25，贝IJ（3-%2）x2+2G法+〃-5〃?2=0,

y=也x+b

3-m2*0

2

则（/r\（22、，解得：从=5〃一1520，

△=（2屏）-4（3-m2）（Z>2-5m2）=0

解得：m2>3>因为ZM>0,〃7Hx/J,所以

工+匕=]

又因为P为椭圆「上一点，所以/3一，则（3+3m2）_?+2回加2了+（/-3）加2=0,

y=\[3x+b

则A=（2而病）2_4（3+3川）伊-3）病20,解得：h2<3/n2+3,

所以5济一15M3*+3,所以-3WmW3,综上所述：75<w<3.

答案第II页，共13页

则用的取值范围为：(若,3］

21.(l)y=g(x)是y=f(x)的控制函数

(2)证明见解析，/

(3)证明见解析

【分析】(1)令巩X)=/(X)-g(x),利用导函数求单调性进而判断双X)在［0,1］上的正负即可；

(2)利用导数的几何意义求得切线力⑶的方程,再利用导函数求单调性进而判断了(x)-g(x)

在［0,1］上的正负即可；

(3)设曲线y=f(x)在x=%(x0€(0,l))处的切线为“x),利用切线过(1,0)求出与与〃的关

系，再利用控制函数的定义求解即可；

【详解】(1)当a=2,g(x)=x时，々〃?(x)=/(x)-g(x)=2x;l-3x2,

所以，〃'。)=6》:!-6犬=6》。-1),令加(x)=0解得x=0或1,

所以m(x)在(0,1)单调递减,

又因为砥0)=0,所以，”⑶在［0,1］上小于等于0恒成立，

即/(x)4g(x)在［0,1］上恒成立，所以由题意y=g(x)是y=f(x)的控制函数.

(2)当a=0时，f(x)=-x2+x,f'(x)=-2x+l,

所以曲线y=f(x)在x=；处的切线为整理得人(x)=；x+/

令n(x)=/(x)-h{x)=-d+［x-上，贝U〃'(x)=-2x+(,

2lo2

令力x)=0解得x=所以〃(外在(0,；)单调递增，在单调递减，

又〃(；)=0，所以〃(功在0I1上小于等于0