2019年数学（理）课时作业加练一课（5）空间几何体与球的切﹑接问题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精加练一课(五）空间几何体与球的切﹑接问题一、选择题（本大题共9小题，每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该正四棱锥的高为4,底面边长为2，则该球的表面积为 ()A。81π4 B。16π C.9π D2。一块石材表示的几何体的三视图如图L5—1所示,将石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径为 （）A.1B.2C.3D.4图L5-13.［2017·山西三区八校二模]在矩形ABCD中,AC=2,现将△ABC沿对角线AC折起，使点B到达点B'的位置,得到三棱锥B’—ACD，则三棱锥B’-ACD的外接球的表面积是 (）A.π B。2πC.4π D.与点B'的位置有关图L5—24。若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图L5-3所示，其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 （)A。133π B.17C.193π D.22图L5-35。四面体A—BCD的四个顶点都在球O的球面上,AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2，则球O的表面积为 (）A.12π B。16π C.32π3 D6.[2017·马鞍山质检］某几何体的三视图如图L5-4所示,则该几何体的外接球的表面积为（）图L5—4A。25π B。26π C。32π D.36π7。空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,E,F分别是AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB=8，CD=EF=4,则该球的半径为 （)A。65216 B。6528 C.658.［2017·黄冈质检］某一简单几何体的三视图如图L5-5所示，则该几何体的外接球的表面积是 (）图L5-5A.13πB。16πC。25πD.27π9.［2017·湛江二模]底面是边长为1的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为（）A.2π3 B.3π3 C。3二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在题中横线上）10。若正方体的外接球的表面积为6π,则该正方体的表面积为.

11。设正三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别是AB,BC的中点，EF⊥DE,且EF=1,则球O的表面积为。

12.[2017·洛阳三模]已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=3,AC=4,AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为。

13。[2017·唐山三模］直角三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，AB=AC=2,若球O的表面积为12π，则球心O到平面ABC的距离等于。

14.球O内切于棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,以A为顶点,以平面B1CD1被球O所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为.

15.[2017·宁德二检］已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°。沿对角线BD将该菱形折成锐二面角A-BD-C,连接AC。若三棱锥A-BCD的体积为2723,则该三棱锥的外接球的表面积为16。［2017·山西大学附中二模]正三棱锥的高为1，底面边长为26,正三棱锥内有一个球与其四个面都相切,则该球的表面积是,体积是.

加练一课（五)1.A［解析]由题意易知，球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R，则(4—R）2+(2）2=R2，解得R=94，所以该球的表面积为4π×942=814π2.B［解析]由三视图可得该几何体为三棱柱,能得到的最大球为三棱柱的内切球,球的半径为正视图中直角三角形内切圆的半径r.由切线长的性质，得（8—r)+(6-r)=62+82,得r=23。C[解析]三棱锥B'—ACD中，△AB’C和△ACD是有公共斜边AC的直角三角形,取AC的中点O,则有OB’=OA=OC=OD,∴O为三棱锥B’-ACD的外接球的球心,外接球半径R=OA=1,则三棱锥B'—ACD的外接球的表面积是4πR2=4π,故选C.4。C［解析］由正视图知，三棱柱的底面边长为2,高为1.易知外接球的球心O在上、下底面两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的线段长即为球O的半径，则R2=122+2332=1912(其中R为球O的半径)，则球O的表面积S=4πR2=4π×19125.B[解析]将四面体A-BCD补形成正三棱柱，则其外接球的球心为上、下底面的中心连线的中点。易得△BCD的外接圆半径为3,所以外接球球O的半径R=(3)2+AB22=2，所以球O的表面积S=4πR6。C[解析］由三视图可知,该几何体是以俯视图为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥，如图中三棱锥A—BCD所示,设该几何体外接球的球心为O。由勾股定理可得CD=12+(3)2=2,tan∠CBD=33，即∠CBD=30°。由正弦定理可得△BCD的外接圆直径2r=2sin30°=4.设球O的半径为R，易知O为AD的中点，则由勾股定理得4R2=AB2+4r2=32，所以该几何体的外接球的表面积S=4πR7.C[解析］由已知条件可得球心O在EF上，设球O的半径为R，OF=x，则OE=4-x,得x2+22=8.C[解析］由三视图可知该几何体为一个正四棱柱，底面正方形边长为22,侧棱长为3,外接球球心为上、下底面中心连线的中点,外接球半径R=22+322=52，则该几何体的外接球的表面积S=4π×59.A[解析］如图所示，四棱锥P-ABCD为正四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形.设正方形ABCD的中心为O，连接OP,OA,易知底面正方形ABCD外接圆的半径是22，即AO=22，则PO=1-12=22，∴四棱锥的外接球半径为22，∴四棱锥的外接球的体积为43π·10。12［解析]设正方体的棱长为a，外接球的半径为R.因为正方体的体对角线长就是正方体的外接球的直径，所以2R=3a。由正方体外接球的表面积为6π，得3πa2=6π，即a2=2，故该正方体的表面积S=6a2=12.11.12π[解析］∵E，F分别是AB，BC的中点,∴EF∥AC，又EF⊥DE,∴AC⊥DE,取BD的中点O，连接AO，CO.∵三棱锥A—BCD为正三棱锥,∴AO⊥BD,CO⊥BD,∴BD⊥平面AOC,又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD，又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB.同理可知,正三棱锥以A为顶点的三条侧棱两两互相垂直。∵EF=1，∴AC=AB=AD=2，即侧棱长均为2.将正三棱锥补形为棱长为2的正方体,正方体的体对角线长即为外接球的直径，因此外接球半径R=232=3,所以球O的表面积为4πR2=12。33π［解析]将三棱柱补形为长方体，长方体的体对角线长为9+16+4=29，∴外接球的半径为292，∴外接球的表面积为29π。易知△ABC的内切圆的半径为3×43+4+5=1，∴该三棱柱内切球的表面积为4π,∴该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为29π+4π=13.1［解析］直角三角形ABC的斜边CB为△ABC所在截面圆的直径,则该截面圆的半径r=2。由球O的表面积为12π，可得球O的半径R=3，所以球心O到平面ABC的距离d=R2-r14.π[解析］作出正方体的截面B1CD1，各边与球O相切于点E,F，G,则E,F,G分别是B1C，B1D1，CD1的中点，连接EF,EG,FG。因为正方体的棱长为2,所以B1C=B1D1=CD1=2，所以EF=FG=EG=1.易得截面圆的半径为33，圆锥的母线长为AE=(2)2+12=3，所以以A为顶点,以平面B1CD1被球O所截的圆面为底面的圆锥的侧面积S=π15。52π［解析］如图①，取BD的中点E,连接AE，CE,则BD⊥AE，BD⊥CE，得BD⊥平面ACE，则三棱锥A-BCD的体积V=13·S△ACE·BD=2723，得S△ACE=2743,又易得AE=CE=33，所以sin∠AEC=32,则∠AEC=60°。由BD⊥平面ACE,得平面ACE⊥平面BCD,则三棱锥A-BCD的外接球的球心O在平面ACE内,如图②.因为AE=CE,所以OE垂直平分AC，设O1为△BCD的外接圆的圆心，则O1O⊥CE,且CO1=2O1E=23，∴O1O=O1E·tan30°=1,∴OC=CO12+O1O2=13,即三棱锥A-BCD的外接球的半径为13,故三棱锥A16。8（5—26）π43π(6—2）3［解析]如图，球O是正三棱锥P-ABC的内切球，球心O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R.设PH是正三棱锥的高，即PH=1.设E是BC边的中点，则H在AE上.∵△ABC的边长为26，∴HE=36×26=2,∴PE=3，∴S△PAB=S△PAC=S△PBC=12BC·PE=32，S△ABC=34×(26）2=63。由等体积法可知,VP-AB