2020-2021学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3直线与平面垂直的性质

PAGE课时分层作业(十五)直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质(建议用时：45分钟)一、选择题1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．相交或平行B[由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．]2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥n))⇒n∥α；②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m⊥β,n⊥β))⇒m∥n；③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥β))⇒α∥β；④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m⊂α,n⊂β,α∥β))⇒m∥n.其中正确命题的序号是()A．②③ B．③④C．①② D．①②③④A[①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A.]3．如图所示，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A.EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FHB[因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.]4．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是()A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥αB[A中α，γ可以相交；C中如图：a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.]5．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是()A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PADD[因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.]二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．6[因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.]7．已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．a∥b[因为直线a⊥m，a⊥n，直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，所以a⊥α，同理可证直线b⊥α.所以a∥b.]8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．45°[如图，过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.]三、解答题9．如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，经过A且垂直于PC的平面分别交PB，PC，PD于E，F，G，求证：AE⊥PB.[证明]因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂面PAB，所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE，因为PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.10．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，[解]连接BC.∵α⊥β，α∩β＝AB，BD⊥AB，∴BD⊥平面α.∵BC⊂α，∴BD⊥BC，在Rt△BAC中，BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(32＋42)＝5，在Rt△DBC中，CD＝eq\r(BC2＋BD2)＝eq\r(52＋122)＝13，∴CD长为13cm1．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B[取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝eq\r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝eq\f(\r(3),2)，CP＝eq\f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up10(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up10(2)＋22＝7，得BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.]2．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．eq\r(6)