江苏省常州市联盟学校2022-2023学年高二下学期3月学情调研数学试卷及参考答案

常州市联盟学校2022—2023学年度第二学期学情调研高二年级数学试卷本试卷共22大题满分150分考试时间120分钟选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若向量，且，则（

）A．2 B． C． D．2.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（

）A． B．C． D．3.已知点关于平面的对称点为，而点关于轴的对称点为，则（

）A． B． C． D．84.若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A．B．C． D．5.已知空间向量，，若，，共面，则实数的值为（

）A．3 B． C． D．6.直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为（

）A． B． C． D．第8题图7.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且M，N，分别为PC，PD上的点，且则（

）第8题图A．B．C．D．18.如图，已知正方体，E，F，G分别是AB，，的中点，则（

）A．直线平面EFGB．直线与直线EG相交C．直线平面EFGD．直线与平面EFG相交二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．空间中三点是坐标原点，则（

）A．B．C．点关于平面对称的点为D．与夹角的余弦值是10.下列结论正确的是（

）A．若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底B.直线l的方向向量＝(0，3，0)，平面α的法向量是＝(0，－5，0)，则l∥αC．若，则点在平面内D．若向量垂直于向量和，向量且，11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体。若图3中每个正方体的棱长为1，则（

）A． B．C．点到直线CQ的距离是 D．异面直线CQ与BD所成角的正切值为12.在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则(

)A．当时，有且仅有一点P满足；B．若与平面所成角的大小为，则x+2y的最大值为；C.当时，满足到直线的距离与到平面ABCD的距离相等的点P有两个；D．E、F分别为的中点，若存在λ、μ∈R，使成立，则点P的轨迹长度为．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点M在平面ABC内，对空间平面ABC外的任意一点O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则x=______．第15题图14.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为__________．第15题图15.如右图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为__________．16.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则平面的一个法向量为__________，直线l与平面所成角的正弦值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱且，，点M为BD中点，设，，；用向量，，的线性组合表示向量；(2)求MN的长.第1第17题图18．已知．(1)求AB与y(2)已知点在直线上，求的值；(3)若与分别是平面与平面的法向量且，求的值.第19题图19．如图，正方体，的棱长为2，点为的中点．第19题图（1）求点D到平面的距离为d；（2）求到平面的距离．第20题图20.直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为CD的中点．第20题图(1)求证：EF//平面ABC；(2)求直线BE与平面所成角的正弦值；(3)求平面A1CD与平面CC21．如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点，为正三角形，平面平面.(1)求点B到平面的距离；(2)在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.第第21题图22．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点P为圆弧（包括端点）上的动点．(1)若时，求点P与的最短距离．第22题图(2)若，当点P在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围．第22题图常州市联盟学校2022—2023学年度第二学期学情调研高二年级数学答案选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B2．C3．B4．C5.A6.C7.B8．D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．AB10.AC11．BCD12.BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．eq\f(1,3)14．515.eq\f(2,5)16．(3,−2,1)1421解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解：连接AM，∵………5分∴∴…………10分18.（1），y轴正方向的方向向量n=0,1,0……2AB=5,AB⋅n=2（2）因为点在直线AC上，∴AP与AC共线，则存在μ∈R使得，即，…6分∴−4=μm−2=μn=3μ，解得；…（3），∵α⊥β∴AB与AB+λAC垂直,，，时，AB与AB+λAC垂直．…12分第19题图xyz19.(1)以D为原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z第19题图xyzAE=(0,2,1),AD1设平面AD1E的一个法向量为n平面AD1E所的法向量为n=2,−1,2D点D到平面AD1E的距离d=n（2）由（1）可得平面AD1E∵B2,2,0,C1(0,2,2)，∴B∴BC1⋅n=0∴所以到平面AD1E的距离可以转化为点B到平面AAB=0,2,0，d=n20.（1）证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A以点A1为坐标原点，A1A、A1B1、A1则A2,0,0、B2,2,0、C2,0,2、A10,0,0、B10,2,0、C10,0,2、D0,1,0、易知平面ABC的一个法向量为m=1,0,0，则EF⋅∵EF⊄平面ABC，故EF//平面ABC.…4（2）解：C1C=2,0,0，设平面CC1D的法向量为u取y1=2，可得u=0,2,1cos<因此，直线BE与平面CC1D夹角的正弦值为45（3）解：A1C=设平面A1CD的法向量为v=取x2=1，可得v=1,0,−1，则cos<u因此，平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为1021.（1）连接PD，∵△PBC为正三角形，又D为BC中点，∴PD⊥∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面，PD⊂平面PBC，∴PD⊥平面ABC，又DB,DE⊂平面ABC，∴PD⊥因为∠ABC=90°，D，E分别为BC，AC的中点，所以DE//AB，AB⊥BC，∴BC⊥DE，…………∴如图，以D为原点，DB,DE,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，∵AB=BC=4，则D0,0,0设平面PAC的法向量为n=x,y,z，∵则PC⋅n=0AC又PB=2,0,−23，则点B到平面PAC的距离为PB⋅（2）由（1）可知n=−3由题可设PM=λPC，且λ∈0,1∴DM=设平面MDE的法向量为m=a,b,c，由于则DM⋅令c=λ，则m=3−3λ,0,λ∴，整理得2λ2−3λ+1=0，解得λ=1故存在点M，使得平面PAC和平面MDE夹角的余弦值为77，此时M为PC中点.…………1222.（1）如图，以D为原点，以DA,DC,DD2z轴的正方向建立空间直角坐标系D−xyz，设DD1=则D(0,0,0),DDB∵DDB1⋅ED