空间向量的正交分解及其坐标表示

学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基知识点一空间向量基本定理1e1，e2a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有2答案不惟一梳理(1)三个不共面a，b，c和空间任一，使得a，b，c不共面知识点二空间向量的坐标表示思考 答案x轴，yi，j作为基底，ax，ya＝xi＋yjax，y惟一确定，我们把有序实数对(x，y)aa＝(x，y)xax轴上的坐标，yay轴上的坐标.设 思考 答案不同梳理O的三个两两垂直的单位e1，e2，e3Oe1，e2，e3轴，y轴，z的坐标，记作p＝(x，y，z)类型一例1 解a＋b，b＋c，c＋aλ、μ

∴a＋b，b＋c，c＋a不共面与感悟训练 a，bab答案 解析(2)①不正确；②类型二例

→＝

的中点，MCD′的中点，NC′DQCACQ∶QA′＝4∶1， 解→1→ 1 → AP＝2(AC＋AA)＝2(AB＋AD＋AA)＝2(a＋b＋c).→1→ A＝2AC＋AD)2(a＋2bc)2a＋b2c.→1―→ 1→→ → AN＝2(AC＋AD)2[(ABAD＋AA)＋(AD＋AA)]2a＋b＋c.

→4―→

4―→

1→4―→1

4―→AQAC＋CQ＝AC＋5CAAC＋5(AA－AC)＝5AC5AA＝5(ABAD)＋5AA＝5a＋ 与感悟中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.训练 ＝a＝b＝c.a，b，c表示向量解∵H为△OBC的重心，DBC∴→1

→2

1 又 →2 ∴

1

2→1 ∵ ∴→ 类型三，例 ，BC

→，

→＝

→

→

→＝→

→1

―→

→1

AA＋ →＝→

―→→1

→

1―→1

→

→1

→1

→1→1

→1 →1 {DA{DA，DC，DD}

解 → A＝A＋D＝D＋2DD＝(－1，2)， →

1 1 →1―→1 EF＝2DD2DC＝(02，2).与感悟训练

→

→

N为BC的中点，→在基底{a，b，c}下的坐标 答案解析∵OM＝2MAMOA ∴→＝

1

答案解析b、c共面，故只有①②正确 答案解析设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则β，γ的值分别为 答案 解析

22 则 AD1的坐标 ，AC1的坐标 答案 解析标为(0，2，1)的坐标为OABC中，＝a，＝b，＝c，DBC的中点，EAD的中点，则 .(a，b，c表示答案 解析

→1

→ 1→

→ ＝1→1→1→ 40分钟作 C.△ABC为直角三角形的充要条件是答案解析使用排除法.因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC角形并不一定是

→＝0，也可能是

可以有无数多组，故D不正确

0xy00x答案解析1外，还要求三个向量两两垂直MAMB 1

1→1

答案

D解

→＋

→→→

答案解析＝1

a，b ∴a，b共面，a，b不能构成一组空间基底i、j、kOxyz的坐标向量，并且→＝－i＋j－kB D.答案解析向量→B点的坐标不同AB点坐标OABC是四面体，G1是△ABC的重心，GOG1OG＝3GG1

答案

解析如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC→＝1→＝1 2→1

∵ ∴→3 3 ＝3→1→2→1＝1→1→1的坐标 ，→1的坐标 ，→的坐标答案 解

{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x＝ 答案 解析x，y，z0x≠0a＝－y－zc，∴a，b，c共面

ABCD中，→＝a－2c＝5a＋6b－8cAC，BD F，则→＝ 答案解析BCG则

→1

1→1

1→ 的坐标 答案解析ABCD是平行四边形知＝D(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)

，解得 D点坐标为pa，b，c下的坐标是(2，3，－1)p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下解

解得ABCD－A1B1C1D12的正方体，E，FBB1DC 解x，y，ze1，e2，e3，则

DB＝DA＋AB＋BB1＝2e＋2e＋2e∴∴∵ →∴ 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D