高三数学五次模拟考试试题文新人教A版

高中第五次模拟考试

数学试卷（文科）

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的。

1.集合A={x|y=j3_x2,xeR},3=3y=x2_m},则4口8=（）

A.{(-x/2,l),(V2,l))B.{z|l<z<V3}

C.{z|-l<z<V3}D.{z|O<z<\/3}

2.下列命题正确的是（）

A.单位向量都相等B.若。与匕共线，b与c共线，则。与c共线

C.若|。+力1=1。一〃|,则a・b=OD.若〃与人都是单位向量，则。/=1

3.函数y=2sin2（?7）-1是（）

A.最小正周期为"的奇函数B.最小正周期为"的偶函数

7TTT

C.最小正周期为一的奇函数D.最小正周期为一的偶函数

22

4.已知三棱锥底面是边长为1的正三角形,侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值

为（）

C心D.史

36

5.设p:log2X<0;q:（5）*T>1,则p是4的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.已知4（2,4）、8（—1,2）、C（1,O）,点P（x,y）在AA6c内部及边界运动，则2=%一丫的

最大值及最小值分别是（）

A.-1,—3B.1,—3C.3,—11）.3,1

7.抛物线V=8x的焦点到双曲线'—5=1的渐近线的距离为（）

A.1B.百C.乎D.半

8.与圆f+（y—2）2=1相切，且在每坐标轴上截距相等的距离有（）

A.2条B.3条C.4条D.6条

9.函数/(x)的定义域为R,且满足：/(x)是偶函数，/(X—1)是奇函数，若/(0.5)=9,

则/(8.5)等于()

A.—9B.9C.—3

10.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等

腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于()

624twm18授图

11.定义方程/(X)=/'(X)的实数根/叫做函数/(X)的“新

驻点”，若函数g(x)=x,/z(x)=ln(x+1),e(x)=d_1的"新

驻点”分别为a,⑸7,则a,的大小关系为()

A.a>(3>yB.(3>a>y

C.y>a>(3I)./3>y>a

12.已知集合集={1,2,3},N={1,2,3,4},定义函数若点A(1J⑴)、

8(2,/(2))、C(3,/(3)),AABC的外接圆圆心为。，且方+反=4而(/twR),则满

足条件的函数/(处有()

A.6个B.10个C.12个D.16个

第II卷(非选择题共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分,第13题〜第21题为必考题,每个试题考生必须作答,

第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答。

【早＞I

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的〃的值是。

14.设/是实数，且一V+上叵是实数，则工=»

1-V3/2

15.某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽

出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2X2的列

联表，根据列联表的数据，可以有%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高

和体重之间有关系。

超重不超重合计

偏高415

不偏高31215

合计71320

独立性检验临界值表

P(K2>ko)0.0250.0100.0050.001

ko5.0246.6357.87910.828

独立性检验随机变量K2值的计算公式：K2=-------"'--------

(。+b)(c+d)[a+c)(b+d)

16.以下命题正确的是o

①把函数y=3sin(2x+工)的图象向右平移巳个单位，得到y=3sin2x的图象;

②一平面内两条曲线的方程分别是/(x,y)=O,&(x,y)=O,它们的交点是2(毛,%)，

则方程/；(%y)+力(工,丁)=0表示的曲线经过点/\

③ABCZX为长方形，AB=2,BC=1,0为AB的中点，在长方形ABC。内随机取一

点，取得的点到。距离大小1的概率为1-三；

2

④若等差数列｛4｝前n项和为S„,则三点(10,^),(100,^),(110,^)共线。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

在AABC中，4,3,C的对边分别是a,〃,c,已知3acosA=ccos8+bcosC.

(1)求cosA的值;

2C

(2)若a=1,cos3+cosC=----,求边c的值.

3

18.(本小题满分12分)

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种

乙)进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成〃小块地，在总共2〃小块地中，随

机选〃小块地种植品种甲，另外〃小块地种植品种乙.

(I)假设比2,求第一大块地都种植品种甲的概率；

(II)试验时每大块地分成8小块，即止8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块

地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：

品种甲403397390404388400412406

品种乙419403412418408423400413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为

应该种植哪一品种？

附：样本数据…,的的样本方差S?-X)2+(/-x)2+…+(x“-x)2],其

中元为样本平均数.

19.(如图，四棱锥P—A3CD中，底面ABCD为平行四边形，NZM3=60°,AB=2AD,

底面ABCD.

(I)证明：PAYBD-,Pf.

(H)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高./]

20.(本小题满分12分)

已知点A(2,0),B、C在y轴上，且|BC|=4,

(1)求AABC外心的轨迹S的方程；

(2)若P、Q为轨迹$上两点，求实数X范围，使中=2湎，且|PQ|>3追。

21.(本小题满分12分)

设函数/(x)=—x3+2ax2-3a2x+1,0<a<\„

(1)求函数f(x)的极大值；

(2)若—。,1+例时，恒有—a4/'(x)Wa成立(其中/(幻是函数/(x)的导函

数)，试确定实数。的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多作，则按所作第一题记分。

22.(本小题满分10分)选修4一1：几何证明选讲

如图所示，AB为。。的直径，BC、CD为。。的切线，B、D为切点。

(1)求证：AD//OC；

(2)若。。的半径为1,求AD・0C的值。

23.(本小题满分10分)选修4一4；坐标系与参数方程

,4

X=1H----1

5c（1为参数），若以。为极

在直角坐标第中，直线/的参数方程为：<

13

y=—1—t

.5

点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线。的极坐标方程为0=夜85(。+巳)，求直

4

线/被曲线C所截的弦长。

24.(本小题满分10分)选修4一5：不等式选讲

已知关于x的不等式|x—3|+|x—4|<a。

(1)当a=2时，解上述不等式；

(2)如果关于x的不等式|x-31+|X-41<a的解集为空集，求实数。的取值范围。

辽宁省实验高中第五次模拟考试

数学答案(文科)

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

个是符合题目要求的.

CCADBBACBACC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.414.215.97.516.①②④

三、解答题：

17.解：(1)由3acosA=ccos5+Z?cosC正弦定理得：

3sinAcosA=sinCcosB+sin3cosc=sin(B+C)

及：3sinAcosA=sinA所以cos4=-。

2h

(2)由cosB+cosC-----

3

2n

cos(zr—A—C)+cosC=----展开易得:

3

[7

cosC+V2sinC=V3=>sinC=——

3

正弦定理：-----=-----=>c=——

sinAsinC2

18..解：(I)设第一大块地中的两小块地编号为1,2,第二大块地中的两小块地编号为3,

4,令事件A二“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事

件共6个；

(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).

而事件A包含1个基本事件：(1,2).

所以P(A)=[.............6分

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

焉=,(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,

8

5甲+(—3)2+(—10)2+42+(-12)2+02+122+62)=57.25.

8

............8分

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

X乙=—(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,

8

S：=L(72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+F)=56.

8

............10分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种中的样本平均数，且两品种的样本

方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

,h

20.解：(I)f'(x)=1+2ax+-.........2分

X

"⑴=0,=」1+。=0,

由已知条件得即4

/⑴=2.[1+2。+/?=2.

解得。=—1力=3.............5分

(II)/(x)的定义域为(0,+8),由(I)f[x}=x-x2+31nx.

设g(x)—/(x)—(2x-2)=2-x—x2+31nx,则

7、1-3(x-1)(2%+3)

g(x)=1——2x+-=--------------.

xx

当0<x<1时,g'(x)>0;当x>1时,g'(x)<0.

所以g(x)在(0,1)单调增加在(1,e)单调减少.

而g⑴=0,故当x>00寸,g(x)<0,即/(幻<2x-2.............12分

19.解：

(I)因为/。，钻=60°,48=24。，由余弦定理得3O=6A。

从而AB：故应

又如_L底面4及力，可得劭_L如

所以加L平面月1〃故PA1,BD

(II)如图，作DE1PB,垂足为E。已知PD_L底面ABCD,则PDJ_BC。由(I)^IBD1AD,

又BC〃AD,所以BC_LBD。

故BC_L平面PBD,BC1DE,

则DE_L平面PBCo

由题设知，PD=1,贝IJBD=百，PB=2,

根据BE•PB=PD•BD,得DE=E,

2

即棱锥D—PBC的高为

2

20.解:(1)设AABC外心为G,且G(x,y),B(0,«),C(0,a+4)

由G点在BC的垂直平分线上知y=a+2

2

由|GA11GB12,得(x-2>+/-x+()一。>

故(x—2)2+y2=x2+22

即点G的轨迹S为：y2=4x……4分

1,1,

(2)设点P(1K，y),Q。，；，%)

则方=(2—；犬,一乂)，AQ=(^yl-2,y2)

.2y；=4%-2)

•・144.......o7T

—y=丸%

因为点A在抛物线丁=©内，所以2>0

8.------?、5

.•.弁=84只=:，不妨取y=2后,%

则1PQ|二一;y；)2+(/_%)2=J(2/l—宁+(2A/5J+

=^4(/12++8(/1+—)+8=2+—)2+2(24--).......10分

由|PQ|>36及;1>0得;1+'>』，二/1>2,或0<2<，

222

故4的取值范围是{幻/1>2,或0<4<g}

12分

21.解：(1)*.*f\x)=~x~4-4-cix-3ci~,且0va<l,1分

当了'(x)>0时，得QVXV3Q；当/'(x)v0时，得xvq必>3a；

/(x)的单调递增区间为(a,3a)；

/(%)的单调递减区间为(一8,a)和(3a,+8).3分

故当x=3。时，/(幻有极大值，其极大值为/(3a)=L……4分

(2)J'(x)=—+4ctx—3a~——(x—2a)~+,

①当0<a<一时，l-a>2a,

3

:./"'(X)在区间［1-a,l+a］内是单调递减.

••［/(切2=/'(1-。)=-8"+6。一1,"3"=f，(1+a)=为一1.

Scr+6a—14a,

-a<fr(x)<a,

2a-1>-a.

此时，a不存在.7分

②当;Ka<l时，［仆〃停=/3)=«2."但niin=niin{r(l_a"(l+a)}

2

a<a.0<a<l,

*/-a<f'(x)<a,2a-\>-a,即1

心了

-+6。-12—ci.

7-V17^7+V17

------<a<------

1616

此时,10分

316

综上可知，实数a的取值范围为，,7+历

.......12分

316

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分.

22.选修4—1：几何证明选讲

解：(1)如图，连接BD、0D.

・.・CB、CD是。。的两条切线,

ABD10C,.,.Z2+Z3=90°.......2分

又AB为。0直径，/.ADIDB,Zl+Z2=90°,

，Nl=/3,.,.AD/ZOC.......5分

(2)A0=0D,则Nl=/A=/3,...□△BADsRt/XODC,AD-OC=AB・OD=2.......10分

23.选修4—4：坐标系与参数方程

解：将方程1%C为参数），化为普通方程3x+4y+l=0……3分

将方程夕=血cos（9+巳）化为普通方程x2+y2-x+y=Q,……7分

4

表示圆心为半径为正的圆，则圆心到直线的距离

22210

弦长=2Jr?一力=2./——=—.......10分

V21005

24.选修4—5：不等式选讲

解：⑴原不等式上—3|+上一4|<2

当x<3时，原不等式化为7—2%<2,解得X>3,;.*<X<3

22

当3WxW4时，原不等式化为1<2,.•.3WxW4

QQ

当x>4时，原不等式化为2x—7<2,解得x<3，.•.4<x<1

22

综上，原不等式解集为[x9<x<2]……5分

22]

若使|x—3|+|x-[<a解集为空集只须y=|x—3|+|x—4|图象在y=a的图象的上方,

或y=a与y=1重合，/.a<1

所以，a的范围为（—8,1]……10分

2x-7x>4

另解：y=|x-3|+|x-4|=<13<x<4

7-2xx<3

当xN4时，y>l

当34x<4时，y=i

当x<3时，y>1

综上yNl,原问题等价为。<[,一3|+上一4||而°

:.a<\...10分

另解：•.[x-3|+|x—4|3x—3—x+4|=l,当且仅当0—3）（》—4）40时，上式取等号

高三强化训练（二）

数学（文）试题

一.选择题（每小题5分，共60分）

1.复数z满足z（l+i）=2i,则复数z的实部与虚部之差为（）

A.0B.-1C.-3D.3

2.观察下列各式：515,52=25,53=125,5'=625,5=3125,56=15625,57=78125,…，则520n

的末四位数字为（）

A.3125B.5625C.0625D.8125

3.数列｛aj是等差数列，其前n项和为S.，若平面上的三个不共线的向量而，历,无满足

丽=为方+牝012反，且A、B、C三点共线，则S2S2=（）

A.1006B.1010C.2006D.2010

TT

4.不等式log.x>sin2x(〃>0且。w1)对任意xe(0,-)都成立，则a的取值

范围为()

A.(0,f)B.［—-,1)C.(-)D.(0,1)

4442

5.已知向量〃=(sin(a+马,1),。=(4,4cosa-百)，若a~Lb,则sin(a+包等于()

63

「皂B.-1C.叵D,1

4444

6.在区间［0,2］上任取两个实数a,b,则函数/(幻=/+依-8在区间［-1,1］上有且只有

一个零点的概率是()

A.1B.1C.3D.1

8448

7.等比数列｛a“｝中，4=2,0g=4,函数/(x)=x(x-aJ(x-a2)L(1一为)，则(°)=

()

A.26B.29C.212D.2'5

8.下图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人

数依次记为4、A,、…、A.［如A?表示身高(单位：cm)在［150,155］内的学生人数］。图b

是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160〜180cm

(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

()

A.i<9B.i<8C.i<7D.i<6

9.定义：数列｛《,｝,满足吐-.=d(〃eN*)d为常数，我们称｛凡｝为等差比数列,

a

«,.+i,.

己知在等差比数列｛%｝中，%=々=，。则咏的个位数

13=2,)

。2006

A,3B,4C,6D,8

10.已知抛物线=4px（p>0）与双曲线二—马•=力有相同的焦点F,点A

a2b2

是两曲线的交点，且AF，x轴，则双曲线的离心率为()

A.0+]B.5/2+1C.y/3+1D.2—+1

22

11.y=/（x-l）的图像关于（1,0）对称，且当无«-8,0）时,/(x)+VXx)<0(其中

/（X）是/（X）的导函数），若a=（3°3）.f（3°3）力=（log/3）-f（log.3）,

=(log3H/("£)，则a,。,c的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

12.在直角坐标平面上的点集=

M（"叶一9—

N{(")|d+r<2},那么MAN的面积是

A.三B.2C.71

42

D.2乃

二.填空题（每小题5分，共20分）

■R阳

13.在aABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、

c成等差数列，则空sA+cgsC=___________。

1+cosAcosC

14.已知某个几何体的三视图如右图所示，

根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个

3

几何体的体积是cmo

15.已知抛物线y=/上有一条长为2的动弦AB,则AB中点M到x轴的最短距离为

16.已知函数/（x）=ar3+云2+cx+d（aNO）的对称中心为M（Xo，yo）,记函数/（x）

的导函数为了/（X）,/lx）的导函数为/”（x）,则有了"。0）=0。若函数

12J4022J4023

/(X)=X3-3X2,则可求得：f〔2012

20122012<2012

三、解答题，本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

设△A8C的内角AB,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB—8cosA=23(?.

5

/,、一.tanA

(1)求-----的值;

tan8

(2)求tan(A-B)的最大值。

18.(本小题满分12分)

如图，四棱锥尸一4a®的底面是直角梯形，NDAB=NABC=90”,

*_L底面力及力，PA=AB=Ag2,BC=\,£为阳的中点.

(1)求证：CE〃平面P4B；

(2)求为与平面1四所成角的正弦值；

19.(本小题满分12分)

由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今

年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对

此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”

态度的人数如下表所示：

支持保留不支持

20岁以下800450200

20岁以上(含20岁)100150300

(I)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取“个人，已知从“支持”态度的

人中抽取了45人，求〃的值；

(II)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5

人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率

20.(本小题满分12分)

2

设片、鸟分别是椭圆?+V=1的左、右焦点.

(1)若尸是该椭圆上的一个动点，求2片-PK的最大值和最小值;

(2)设过定点M(0,2)的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,且NAOB为锐角(其中。

为坐标原点)，求直线/的斜率攵的取值范围。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=ex-l-x

(1)求y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程;

(2)当x20时，f(x)2f'2恒成立，求，的取值范围。

请从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对

应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂,

按本选考题的首题进行评分。

22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图，AA5C是内接于。0,4—1C,直线MN切。。于点C,弦

4c与BO相交于点E.

(1)求证：AABEAACD；

⑵若AI^>,，求AE。

23.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点。为极点，X轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标

(1,-5),点M的极坐标为(4,工)，若直线/过点P,且倾斜角为工，圆C以M为圆心、

23

4为半径。

(1)写出直线/的参数方程和圆C的极坐标方程：

(2)试判定直线/和圆C的位置关系。

24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数J'(x)=|2x-a|+ao

(1)若不等式/(x)W6的解集为{x|—2WxW3},求实数。的值;

(2)在(1)的条件下，若存在实数〃使-成立，求实数m的取值范围。

参考答案

—,选择题1.A2.D3.A4.B5.B6.D7.C8,B9.C10.B11.C12.C

二.填空题13.-,14.则2,is.2,16.-8046

534

三、解答题

17.解析：(1)在△ABC中，由正弦定理及acosB—bcosA=—c

5

,3333

可得sinAcosB-sinBcosA=—sinC=—sin(A+B)=—sinAcosB+-cosAsinB

5555

।■分n/A

即sinAcosB=4cosAsin8,则-----=4;

tanB

(2)由tanAcot8=4得tanA=4tan8>0

-八、tanA—tan83tanB3.3

tan(A-B)=-----------------=--------------=-----------------W-

1+tanAtanBl+4tan-BcotB+4tanB4

当且仅当4tanB=cot8,tan8=—,tanA=2时，等号成立，

2

13

故当tanA=2,tan8=—时，tan(A-B)的最大值为一.

24

18.解(1).证明：取力的中点尸，连结於FB,则

FE//BC,且为，A8C,...比跖是平行四边形，

CE//BF,而呢平面PAB,：.贬〃平面PAB.

(2)解：取力〃的中点G,连结皮，则皮〃4尺问题转为求而与平面4四所成角的大小.

又设点G到平面“F的距离为GII,〃为垂足，连结£7/,则/戚为直线房与平面所成

的角.现用等体积法来求。力

*/VE-AGC=-S^AGC•EG=~,又4E=y[i,AC=CE=y[5f易求得&叱=5，

1312

GXXEAGC/.GH=-

V-AEC=J--乙GH=«JV-=-,o

HG22

在Rt△夕照中，sinNGEH=——=-,即为与平面/位所成的角正弦值为不

GE33

19.解：(2)设所选取的人中，有加人20岁以下，则一20竺Q一=；77竺，解得加=2.....6

200+3005

分

也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A”Az；B„B2,B；S,

则从中任取2人的所有基本事件为(A,,B.),(Ai,B2),(A,,B3),(A2,Bi),(A2,B2),

(A2,B3),(A.,A2),(Bi,B“，(B2,B3),(B,,B3)共10

个......8分

其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A,,B.),(A.,B2),(AI,B3),(A2,B.),

(A2,B2),(A2,B3),(AbAJ,........10

分

7

所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为一...........12

10

分

20.解：(1)解法一：易知。=2/=l,c=G

所以耳卜百百,0),设P(x,y),则

P^-M=(-V3-A:,-J；),(A/3-X,->')=X2+/-3=x2+l-y-3=^-(3x2-8)

因为xe[-2,2],故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，西•%有最小值一2

当％=±2,即点P为椭圆长轴端点时，西•%有最大值1

解法二：易知a=2,0=l,c=G，所以£卜6,0）,乙（省,0）,设P（x,y）,则

冏2+访\居2

所.至=|丽川丽卜05/6尸8=|丽

2冏.因

=-(X+V3)2+/+(^-V3)2+/-12=X2+/-3(以下同解法一)

2__

（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线/:丁=履+2,4（阳，•％）,3（工2，%），

y-kx+2

2

联立4/，消去y,整理得:k+^X2+4kx+3=0

——+y=1

I4

.4k3

=

••%i+x27，彳]•尤2=7

k2+-k2+-

44

或人＞一立

由A=(4G2一4(%2+_1)乂3=442一3〉0得：k<—

422

又0°<ZA0B<90°<=>cosZAOB>00诉砺>0

OA-OB二百冗2+M%>0又

3k?-Sk2-k2+i

=(例+2)(仇+2)=2+x)+4-----+44=------

y}y2kx}x2^-2k[x]2k2+-+

k2+-k2+-

444

3+1

-----+------>0,即22