2020年小升初尖子生拓展提高-计数问题-1

2020年小升初尖子生拓展提高-计数问题-1

填空题（共8小题）

1.六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种，至少有

名学生订阅的杂志种类相同.

2.六年级共有学生380人，其中至少有2人是同天出生的..

3.从1,2,…，2006中，至少要取出个奇数，才能保证其中必定存在两个数，他

们的和为2008.

4.青山小学四、五、六年级开展植树劳动，其中有39棵不是五年级种的，有42棵不是四

年级种的，现在知道四、五年级共种树31棵，那么六年级种了棵.

5.10个人分一堆糖果，一定有一人至少分到5个糖果，这堆糖果至少有块.

6.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里，为了保证一次能取到2颗颜色相

同的珠子，一次至少取颗.

7.口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球，由若干个人轮流从袋中取球，每人取3个.若

要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有人取球.

8.30名学生中，8人学法语，12人学西班牙语，3人既学法语又学西班牙语.问：有名

学生两种语言都不学.

二.解答题（共32小题）

9.清江外校是小班额教学，每班人数是40多，在新学期开始该校7年级1班共有43人投

票选举班长，每人只能选1人，候选人是乐乐、喜喜、欢欢，得票最多的当选.开票中

途票数统计如图，乐乐至少还要得多少票，才能保证一定当选？

直直

候选人乐乐口r=i欢欢

票数12108

10.学校运动会上，六（1）班同学有22人参加拔河比赛，有12人参加迎面接力赛跑，有

10人参加集体跳绳.其中有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有8人既参加了

迎面接力赛跑又参加了集体跳绳.六（1）班同学一共有多少人参加了比赛？三项比赛都

参加的同学至少有多少人？

11.把红黄两种颜色的小棒各4根捆在一起，每次最少抽出5根小棒就可以保证一定有不同

色的小棒..

12.小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的55%.有弟弟

的学生是全班学生人数的50%.既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的25%.既没

有哥哥，又没有弟弟的学生有8名.根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？

13.2006年世界杯足球赛在德国举行.共有32支球队参加，平均分成8个小组.每个小组

内进行循环赛（即每支球队都要同另外3支球队进行一场比赛），小组积分前两名进入16

强；这16强进行淘汰赛（即一场比赛决胜负，胜者进入下一轮比赛，负者被淘汰），决

出8强；再进行淘汰赛，产生四强；四强仍进行淘汰赛，两支负队争夺第三名；获胜的

两支球队进入决赛，进行大决战，最终获胜的球队将捧起世界杯足球赛的金杯--大力

神杯.本届世界杯一共要举行多少场比赛？

14.①一辆大巴车在重庆成都之间往返经营（如图）

如果你是大吧的主人，你将准备车票.已知每两站的往返车票价相同，那么这些

车票的价格有种.

配_资阳成都

--------------------

②一种饮料瓶如图所示，现装有360毫升的饮料，正放时饮料高16C777,倒放时瓶中空余

部分高是4cvn.毫升.（1毫升=1立方厘米）

15.某小学六（2）班要选两名体育委员（不分正副），投票规则是每个同学只能从4名候选

人中挑选2名.如果必须有9名或9名以上的同学投了相同的2名候选人的票，这个班

至少应有多少个同学？

16.有99个单人间，有100个旅客入住，这100名旅客每次有99个人同时入住，管理员给

每人配了一些钥匙，他想让每人都能入住，且不用找别人借钥匙，问他至少一共需要配

多少把钥匙？

17.有13个箱子，现在往里面装苹果，要求每个箱子里装的苹果都是奇数个，无论这些苹

果怎么放，总能找到4个箱子的苹果个数是一样的，问：最多有多少个苹果？

18.某次考试共有5道题，考试结果统计如下：做对第一道题的占总人数的80%,做对第

二道题的占总人数的95%,做对第三道题的占总人数的85%,做对第四道题的占总人数

的79%,做对第五道题的占总人数的74%,如果做对三道以上（包括三道）题目为及格，

那么这次考试的及格率至少是百分之几？

19.有红、黄、白三种颜色的小球各10个，每个人从中任意选择两个，那么至少需要几个

人选择小球，才能保证必有两人或两人以上选择的小球的颜色完全相同？

20.小明家在一幢三层楼里，他想了解这幢楼里共住了多少人，他向管理员了解到以下信息:

第一层住了20人，男孩有2人；成年男人第三层有7人，第二层有8人；成年女人第三

层有5人，第一层有7人；第二层楼里女孩2人，第三层里有男孩4人，女孩2人，第

一层里有男孩2人，女孩6人；且成年男子总数与成年女子总数一样多，女孩总数比男

孩总数多3人.第二层里住了多少人？这幢楼里共住了多少人？

21.7个小朋友乘6只小船游玩，至少要几个小朋友坐在同一只小船里？

22.一个盒子里装有黑白两种颜色的跳棋各10枚，从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色

相同？从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？

23.有50名学生参加联欢会，第一个到会的女生和全部男生握过手，第二个到会的女生只

差1个男生没有握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，如此等等，最后一

个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生？

24.花店的张阿姨要把50枝百合花插到4个花瓶中，总有一个花瓶里至少有多少枝百合花？

25.如图列出甲、乙和丙之间的交通方法，现在由乙出发，再回乙，途中需经过甲但不可

经过乙，又不准走重复的路线，问共有多少种不同的去法？

（乘J兼火羊、、

乘又**乙'乘T!■点

26.某班别共有学生40人，其中25人中文及格，28人英文及格，30人数学及格，问最少

有多少个学生三科均及格？

27.有水果篮50个，盛有橘子的有25个，当中16个还放有苹果；8个水果篮是空的，余

下的只放有香蕉.问只放有一种水果的水果篮有多少个?

28.有一栋居民楼，每家都订了2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中，中国电

视报34份，北京晚报30份，参考消息22份，那么订北京晚报和参考消息的共有多少家？

29.某中学举行乒乓球比赛，小明他们班有5人进行淘汰赛，选出1人参加学校的决赛，班

主任杨老师计算一下比赛的次数：“由于5是奇数，所以第一论有一个队员落空，第2轮

还得出现一次落空，一共需要进行4场比赛.”选拔出一个队员后，学校共有37个班级

参加决赛，也采用淘汰赛，你知道共有多少轮空的次数吗？

30.六（1）班一次数学测试，语文及格率是90%,数学及格率是94%,4%的人语、数都不

及格，语、数两科都及格的有44人，六（1）班共有多少名学生？

31.六（1）班有个书架，40名同学可以任意借阅，试问书架上至少要多少本书，才能保证

至少有一名同学能借到两本或两本以上的书？

32.一把钥匙开一把锁，现在有五把钥匙五把锁，最多试几次可以打开所有锁？

33.张老师参加一次同学聚会，每两个人见面都握一次手，如果我们这样记录甲乙两人的握

手过程（如图）；

（I）请你画出甲、乙、丙三个人的握手过程并计算握手次数.

（2）请你画出甲、乙、丙、丁四个人的握手过程并计算握手次数.

（3）这次聚会一共来了10个人，他们一共握了多少次手？

（4）如果是百人聚会，每两个人握手一次，一共要握多少次手？

甲乙

34.某班共有48人，其中27人会游泳，32人会骑自行车，40人会打乒乓球.那么，这个

班至少有多少学生这三项运动都会？

35.全班有60个同学，喜欢踢足球的有2,喜欢篮球的有色，喜欢羽毛球的有三，问三项

345

都喜欢至少有多少人？

36.妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用

1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟.小明估算了一下，完成这些工作要花

20分钟.为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？

37.晓晓早上起床是这样安排的：①穿衣服（5分钟）一②洗漱（3分钟）一③做早操（6

分钟）一④淘米（I分钟）一⑤用电饭锅煮饭（25分钟）一⑥吃早饭（8分钟）一⑦读

英语（10分钟）.这样他一共用了58分钟才去上学.怎样合理安排，能使晓晓在最短的

时间内上学呢？

38.10足球队参加足球比赛.

（1）如果每两队都要比一场（即进行单循环赛），需要比赛多少场？

（2）如果进行淘汰赛，最后决出冠军，共要比赛多少场？

39.有6对夫妻参加一次聚会，每个男士与每一个人握手（但不包括自己的妻子），女士之

间相互不握手，那么这12个人共握手多少次？

40.把红、黄、蓝三种颜色的球各5个放到一个袋子里，至少取多少个球可以保证取到两个

颜色相同的球？请简要说明理由.

2020年小升初尖子生拓展提高-计数问题-1

参考答案与试题解析

一.填空题（共8小题）

1•【分析】订阅杂志中的一种有3种选法、订阅二种有3种选法、订阅三种有1种选法，共

有3+3+1=7（种）；把7种选法看作7个抽屉，把订阅杂志的人数（100）看元素，从最

不利情况考虑，每个抽屉先放14个元素，共需要98个，还余2个，无论放在那个抽屉

里，总有一个抽屉里至少有14+1=15个，所以至少要15名学生订阅的杂志种类相同；

据此解答.

【解答】解:3+3+1=7（种）；

100+7=14（人）…2（人），

14+1=15（名）；

答：至少要15名学生订阅的杂志种类相同.

故答案为：15.

【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元

素的总个数，然后根据''至少数=元素的总个数+抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解

答.

2.【分析】平年有365天，闰年有366天，即使是闰年，将366天当做抽屉，380・366=1

人…14人，即平均每天有一个学生过生日的话，还余14名学生，根据抽屉原理可知，至

少有1+1=2个学生的生日是同一天.

【解答】解：380+366=1（人）-14（人）,

1+1=2（人）；

答：其中至少有2个学生的生日是同一天.

故答案为：正确.

【点评】在此抽屉问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）.

3.【分析】从1至I」2006中总共有20064-2=1003个奇数，3+2005=2008,5+2003=2008-,

1003+1005=2008,和为2008的奇数对有10034-2=501对…1个.最坏的情况是一直取

不到符合条件的奇数对，一直到不成对的全部取完，即每对只取一个；因此，第501+1+1

=503个奇数一定能在之前取到的奇数中找到与其之和为2008的对应奇数.

【解答】解：20064-24-2=501（对）…1个.

501+1+1=503（个）.

答：至少要取出503个奇数才能保证其中必定存在两个数，他们的和为2008.

故答案为：503.

【点评】完成本题时要注意1〜2006中，没有一个奇数和1的和是2008,因此计算时要

将1计入.

4.【分析】根据题干，“39棵不是五年级种的”说明是四、六年级共种的；“有42棵不是四

年级种的”说明是五、六年级共种的；又已知四、五年级共种树31棵；如下图所示：由

此利用容斥原理即可解决问题

四六年级共种39棵

五六年级共种42棵

四六五

四五年级共种31棵

【解答】解：根据题干分析可得：

（39+42-31）4-2,

=50+2,

=25（棵），

答:六年级种了25棵.

故答案为：25.

【点评】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的方法，这里抓住“39棵不是五年级种

的，有42棵不是四年级种的，”分别得出四六年级和五六年级共种的棵树是解决本题的

关键.

5.【分析】假设9人平均每人分得4块，则共需要：9X4=36块糖，因为一定有一人至少

分到5个糖果，即另一个人分得5块，则至少需要：36+5=41块；据此解答即可.

【解答】解:（10-1）X4+5,

=36+5,

=41（个）；

答：这堆糖至少有41块;

故答案为：41.

【点评】此题还可以这样想：假设10人都分得4块，则需40块，这样还要有1人再多

得1块才能符合题意，所以这堆糖果至少有40+1=41块.

6.【分析】将三种不同颜色看作3个抽屉，为保证一次取到2颗相同颜色的珠子，根据抽屉

原理，取得物体个数至少应比抽屉数多1.

【解答】解：3+1=4（颗）

答：为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子，一次至少取4.

故答案为：4.

【点评】此题应明确把颜色数看作“抽屉”，把取出的珠子数看作“物体个数”，根据抽

屉原理，即可得出结论.

7•【分析】每个人取出来的球只有可能是这4种情况：3个白色，2个白色1个红色，1个

白色两个红色，3个红色；最极端的情况是每种情况只有3个人拿到，就是12个人，再

多1个人就能保证有4个人取出的球的颜色完全一样了.

【解答】解：每个人取出来的球只有可能是这4种情况：3个白色，2个白色1个红色，

1个白色两个红色，3个红色；

4X（4-1）+1=13（人）

答：至少应有13人取球.

故答案为：13.

【点评】本题关键是求出球的可能性，然后根据抽屉原理解答.

8.【分析】因为有3人两种语言都会，8人学法语，12人学西班牙语，所以有：8+12-3=

17人是学法语和学西班牙语的总和，则两种语言都不学的有：30-17=13人；据此解答.

【解答】解：8+12=20（人），

20-3=17（人），

30-17=13（人）.

答：有13名学生两种语言都不学；

故答案为：13.

【点评】解决本题的关键是计算出学法语和学西班牙语的总人数，是解答此题的关键.

二.解答题（共32小题）

9.【分析】根据题意知一共43票，已经计了30票，还有43-30=13票没计，现在乐乐得

712票，喜喜得了10票，只要小刚得到的票数比喜喜多1票才能当选.用剩下的票减

去乐乐比喜喜多的（12-10）=2票，再除以2,得到的商是两人再得多少票就一样，把

剩下的票数给乐乐，就能当选.

【解答】解：43-30=13（票）

12-10=2（票）

（13-2）4-2,

=11+2

=5（票）-1（票）

5+1=6（票）；

答：乐乐至少还要6票，才能保证一定当选.

【点评】本题的关键是求出和乐乐得票最近的喜喜在剩下的票里再得多少票才和乐乐的

票数一样多，再根据抽屉原理求出乐乐应得的票数.

10.【分析】因为有22人参加拔河比赛，有12人参加迎面接力赛跑，有10人参加集体跳绳.一

共有22+12+10=44人，其中有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有8人既参加

了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳，根据容斥原理可知，参加比赛的一共有44-6-8=

30人；又因为有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，所以参加接力赛跑的12人中，

去掉6人，还剩下6人，又有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳.所以这8

人中至少有8-6=2人三项比赛都参加，据此即可解答.

【解答】解：总人数：22+12+10-6-8=30（人），

三项都参加的至少有：8-（12-6）,

=8-6,

=2（人），

答：一共有30人参加比赛，至少有2人三项比赛都参加.

【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+

属于B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数.

11•【分析】根据题意可知，小棒的颜色共有2种，各4根，根据抽屉原理可知，一次至少

要拿出4+1=5根小棒一定保证有2根小棒是不同颜色.

【解答】解:4+1—5（根），

即最少抽出5根小棒就可以保证一定有不同色的小棒，原题说法正确.

故答案为：正确.

【点评】此题考查了抽屉原理的灵活应用，要注意考虑最差情况.

12.【分析】全班人数包括四部分：只有哥哥的学生，只有弟弟的学生，既有哥哥，又有弟

弟的学生，既没有哥哥，又没有弟弟的学生，因此既没有哥哥，又没有弟弟的学生占全

班的：1-(55%+50%-25%)=20%,根据分数乘法的意义，求全班的总人数，列式为：

84-[1-(55%+50%-25%)],然后解答即可得出答案.

【解答】解:84-[1-(55%+50%-25%)],

=8+20%,

=40(人)；

答：小明班上共有学生40名.

【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解全班人数包括四部分，知识点是：总人数=

(A+B)-既A又B.本题是典型的容斥问题，解答规律是：既4又3=4+8-总数量(两

种情况).本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+

属于B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数.

13.【分析】(1)先分析小组赛，每个小组中的4支球队每两两之间比赛一共要进行6场比

赛，然后求出8个小组要进行多少场比赛；

(2)循环赛进行完之后就还剩下16支球队，它们两两比赛就有8场比赛，每进行一轮

淘汰赛就球队剩下原来的一半，比赛场数又是球队数的一半，直到只剩一只球队.

【解答】解：每组6场前两名进16强：

6X8=48(场)；

16强进8强是一场定输赢要8场8进4又要4场4进2要2场之后冠亚军1场34名一

场，

48+8+4+2+1+1=64(场)；

答：本届世界杯一共要举行64场比赛.

【点评】小组赛的比赛的比赛场次是简单的组合问题，可以用连线的方法来分析.淘汰

赛每一轮的比赛场次是比赛队伍的一半.

14•【分析】①两站之间的往返车票各一种，即两种，“个车站每两站之间有两种，则〃个

车站的票的种类数=〃(n-1)种，题目中有4个车站，则车票种类数为：4X(4-1)

12(种)；

又因为往返同一段路的价格相同，所以车票的价格为：12+2=6(种)；

②如题中图所示,左图中16厘米高的饮料以上至瓶口空的部分的容积相当于右图中上面

4厘米高的那部分的容积，所以饮料瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的16+（16+4）=1,

5

再利用除法计算，即可求出瓶子的容积.

【解答】解：①车票种类：4X（4-1）=12（种）；

车票价格：12+2=6（种）；

答：准备12种车票，这些车票的价格有6种.

②360+[16+（16+4）],

=360+9，

5

=450（立方厘米），

=450（毫升）；

答：这只瓶子的容积是450毫升.

故答案为：①12,6；②450.

【点评】①本题主要考查排列组合问题，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不

重复.

②此题主要考查某些实物体积的测量方法，关键是明确左图中16厘米高的饮料以上至瓶

口空的部分的容积相当于右图中上面4厘米高的那部分的容积，进而求出已有饮料与大

瓶容积的倍数关系.

15.【分析】从4名候选人种选出2名体育委员，共有：3+2+1=6种选法，要保证有必定有

9个或9个以上的同学投两人相同的票，至少需：（6X8+1）人投票；据此解答即可.

【解答】解：从4名候选人种选出2名体育委员，共有：3+2+1=6种选法，

要保证有必定有9个或9个以上的同学投两人相同的票，至少需：6X8+1=49（人）投

票.

答：至少应有49个同学.

【点评】本题考查抽屉原理.解决本题的关键是结合组合知识，求得投票数.

16•【分析】可从以下两个方面来分析：

1.每个房间至少要有2把钥匙.否则，只有1人有这房间钥匙.假若那人恰好不来住店,

那么，这个房间就不能打开.所以钥匙数不能少于99X2=198把.

2.每个房间有两把钥匙是足够的.

可以这样分配钥匙：I，2,3,…，99号人分别拿一把I,2,99号房间钥匙，假如

第10人拿每个房间的钥匙.这样，假如10号不住，其他人就都可住进去.假如10号住

店，1,2,…，99号中就有一个不住，10号就能进入这个房间进入.

【解答】解：由于共有99个房间，却有100人住店，

想让每人都能入住，且不用找别人借钥匙，至少要保证每个房间有两把钥匙，

可以这样分配钥匙：1,2,3,…，99号人分别拿一把1,2,…，99号房间钥匙，假如

第10人拿每个房间的钥匙.这样，假如10号不住，其他人就都可住进去.假如10号住

店，1,2,…，9号中就有一个不住，10号就能进入这个房间进入.

所以，他至少要配99X2=198（把）钥匙.

答：他至少要配198把钥匙.

【点评】完成本题要注意：“而且不用找别人借钥匙”，这句话中“别人”别人是指这99

人以外的人，99人内部可以借用.

17.【分析】把箱子分成3组，每组4个，共12个，另外还剩下一个单独的箱子，每组4

个箱子里分别放入1、3、5、7个苹果，为使苹果数最多，则第13个箱子里也放入7个

苹果，所以共有（1+3+5+7）X3+7=55个苹果.

【解答】解：（1+3+5+7）X3+7=55（个），

答：最多有55个苹果.

【点评】本题就是考查抽屉的构造，但是这是一个按两层最不利原则构造抽屉的题，这

种最不利是两个层次的：一个是抽屉中相同的数要尽量小；另一个是前四个各个抽屉中

的3个数要相同，临界状态！

18.【分析】设总人数为100A,则做对的总题数为80+95+85+79+74=413题，错题数为500

-413=87题，为求出最低及格率，则令对三题的人尽量多：87+3=29人，由此即可解

得及格率为：（100-29）4-100=71%.

【解答】解：设总人数为100人，

则错题总数为：

5X100-（80+95+85+79+74）,

=500-413,

=87（道）,

所以对3道题的人最多有：87+3=29（人），

故及格率最少是：（100-29）4-100=71%,

答：这次考试的及格率至少是71%.

【点评】这个问题的统一解法就是设100道题，把错的题目都加起来，然后让尽量多的

人错3（假设3个刚好不及格）个，由此即可解得最低的及格率.

19•【分析】本题类似数线段的题目，红、黄、白色三种球类似于线段上的点，不重复的线

段数法有：3+2+1=6,要想重复再加一个就可以.

【解答】解：本题类似于数线段，红、黄、白色三种球类似于线段上的点，不重复的线

段数法有：3+2+1=6,

要想有相同的6+1=7（人），

答：至少需要7个人选择小球，才能保证必有两人或两人以上选择的小球的颜色完全相

同

【点评】本题考查理解题意的能力以及类比的思想，类比数线段来做就行.

20.【分析】本题给出的数量较多，信息量大，如果直接求解很难着手，可以先把给出的信

息用一个表格表示出来，然后逐步填出未知的空格里面的数即可.

题目给出的信息整理如下：

层数成年男子成年女子男孩女孩总计

—■7人2人6人20人

二8人2人

三7人5人4人2人

合计

发现：可以先求出三层的总人数，只要能再求出二层的总人数，然后相加即可；再根据

成年男子总数与成年女子总数一样多，女孩总比男孩总数多3人求出二层的总人数即可

求解.

【解答】解：三层总人数：7+5+4+2=18（人）

一层成年男子的人数：20-7-2-6=5（人）

所以成年男子一共有：5+8+7=20（人）

那么二层的成年女子就有：20-7-5=8（人）；

女孩总人数：

6+2+2=10（人）

二层男孩人数：10-3-2-4=1（人）

二层总人数:8+8+1+2=19（人）

总人数：20+19+18=57（人）

如下表：

层数成年男子成年女子男孩女孩总计

一57人2人6人20人

二8人8人1219人

三7人5人4人2人18人

合计20人20人7人10人57人

答：第二层里住了19人，这幢楼里共住了57人.

【点评】本题题干较复杂，采用列表法，找出给出的数量之间的关系就比较容易解决了.

21•【分析】把6只船看做6个抽屉，考虑最差情况：7个小朋友，最差情况是：每只船上

分的人相等，7+6=1（人）…1（人）；那剩下1人，随便分给哪一只船，都会使得一只

船分得1+1=2人，据此解答.

【解答】解：7+6=1（人）…1（人）

1+1=2（人）

答：至少要2个小朋友坐在同一只小船里.

【点评】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数

（商）；然后根据：至少数=商+1（在有余数的情况下）求解.

22•【分析】把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情

况考虑，每个抽屉先放1个，共需要2个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉

里的和它同色，所以至少要取出：2+1=3（枚）：

把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，

每个抽屉先放2个，共需要4个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它

同色，所以至少要取出：4+1=5（枚）；据此解答.

【解答】解：2+1—3（枚），

2X2+1=5（枚）；

答：从中最少摸出3枚才能保证有2枚颜色相同，从中至少摸出5枚，才能保证有3枚

颜色相同.

【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元

素的总个数，然后根据“抽屉原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有

一个抽屉里的东西不少于两件.”解答.

23.【分析】由于每到一个女生与男生握手，男生都减少一人，又根据“最后一个到会的女

生同7个男生握过手，”可知，男生比女生多：7-1=6人，那么50名同学中有男生：[50+

（7-1）]4-2=28（人），据此解答.

【解答】解：男生：[50+（7-1）]4-2,

=56+2,

=28（人）,

答：50名同学中有28个男生.

【点评】本题是比较复杂的握手问题和智力问题的综合应用，关键是理解得出男生比女

生多6人.

24•【分析】把4个花瓶看做4个抽屉，50枝百合花看做50个元素，利用抽屉原理最差情

况：要使花瓶里百合花的枝数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答.

【解答】解：50+4=12（枝）-2（枝），

12+1=13（枝）.

答：总有一个花瓶里至少有13枝百合花.

【点评】在此类抽屉问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）.

25•【分析】由图可知，乙到丙有2条路线，丙到甲有2条路线，甲到乙有3条路线；要求

由乙出发，再回乙，途中需经过甲但不可经过乙，又不准走重复的路线，则可分5种情

况计数：①从乙丙—甲一乙，②从乙一丙一甲一丙一乙，③从乙一甲一丙乙，④从

乙一甲一丙-甲一乙，⑤从乙一甲一乙；据此讨论解答.

【解答】解：①从乙一丙一甲一乙：2X2X3=12（种）；

②从乙一丙f甲丙一乙：2X2=4（种）；

③从乙f甲f丙f乙：3X2X2=12（种）；

④从乙f甲f丙f甲f乙：3X2X2=12（种）；

⑤从乙f甲f乙：3X2=6（种）；

所以共有：12+4+12+12+6=46（种）；

答：共有46种不同的去法.

【点评】此题考查乘法原理与加法原理，注意做到不重不漏.

26•【分析】先用减法分别求出中文、英文、数学不及格的人数，然后用总人数分别减去中

文、英文、数学不及格的人数，即可求出最少三科均及格的学生人数.

【解答】解：40-（40-25）-（40-28）-（40-30）

=40-15-12-10

=3（个）

答：最少有3个学生三科均及格.

【点评】此题属于容斥原理，求出中文、英文、数学不及格的人数，是解答此题的关键.

27•【分析】先用“50-8”求出装有水果的篮子总数，因为在“盛有橘子的有25个，当中

16个还放有苹果”，所以还有16个篮子里放在2种水果，然后用装有水果的篮子总数减

去装有2种水果的篮子数，即可求出只放有一种水果的水果篮的个数.

【解答】解:50-8-16

=42-16

=26（个）；

答：问只放有一种水果的水果篮有26个.

【点评】此题属于容斥原理习题，求出装有水果的篮子总数和装有2种水果的篮子数，

是解答此题的关键.

28•【分析】先根据每家订2份不同报纸，以及报纸的总数求出一共有多少家；不订中国电

视报的人家，必然订的是北京晚报和参考消息；再用总家数减去中国电视报34份即可.

【解答】解：每家订2份不同报纸，而共订了

34+30+22=86（份）；

86+2=43（家）；

43-34=9（家）；

答：订北京晚报和参考消息的共有9家.

【点评】本题关键是求出总家数，然后理解不订中国电视报的人家，必然订的是北京晚

报和参考消息；由此列式求解.

29•【分析】把37个班每次淘汰后还剩的队数列举出来即可得出结论

【解答】解：第1轮还剩37+2+1=19（人），一个队员落空，

轮2还剩19+2+1=10（人），一个队员落空，

第3轮还剩10+2=5（人第

第4轮还剩5+2+1=3（人），一个队员落空，

第5轮还剩3+2+1=2（人），一个队员落空，

第6轮还剩2+2=1（人）；

所以，共有4次落空，

答：共有4轮空的次数.

【点评】本题关键是结合每次剩余的人数是奇数还是偶数确定轮空的次数.

30.【分析】至少由一门不及格的人数有：2-（90%+94%）=16%,只有一门不及格的人

数有：16%-4%义2=8%；那么语、数两科都及格的有：1-8%-4%=88%,它对应的

数量就是44人，根据分数除法的意义，列式为：44・88%=50（人）；据此解答.

【解答】解：至少由一门不及格的人数有：2-（90%+94%）=16%,

只有一门不及格的人数有：16%-4%X2=8%；

那么语、数两科都及格的有：1-8%-4%=88%,

444-88%=50（人）；

答：六（1）班共有50名学生.

【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出两科都及格的分率，知识点是：总人数=（4+B）

-既A又艮

31•【分析】把40个同学看做40个抽屉，要保证至少有1个学生拿到2本或2本以上的书,

则书的数量应该是比学生数多1,即40+1=41,据此即可解答.

【解答】解：根据题干分析可得：40+1=41（本），

答：书架上至少要41本书，才能保证至少有一名同学能借到两本或两本以上的书.

【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元

素的总个数.

32.【分析】因为这5把钥匙是开这5把锁的；所以可以这样试：用第1把钥匙最多试开5

次，肯定能打开正确的锁.依此类推，第2把钥匙最多试开4次…第4把钥匙最多试开2

次，最后剩下的1把钥匙最多试一次.这就是说，采用试开的办法，在最坏的情况下，

所有的锁都打开，最多试：5+4+3+2+1=15次.

【解答】解：由分析得出：

5+4+3+2+1=15（次）；

答：最多试开15次就能打开所有锁.

【点评】本题的关键是利用最差原理从1把钥匙最多拭开试开多少次去研究找规律，推

出每把钥匙最多试开的次数.

33.【分析】设有〃人，根据每两个人都握手1次，则每个同学参与了〃-1次握手，所以这

〃人握手的总次数是“X（«-1）+2,由此分别求出下面的问题.

【解答】解：（1）

3X2+2=3（次）,

（3）10X94-2=45（次）,

答：这次聚会一共来了10个人，他们一共握了45次手；

（4）100X994-2=4950（次）：

答：如果是百人聚会，每两个人握手一次，一共要握4950次手.

【点评】本题需注意每一次握手对每个人来说重复算了一次，类似于比赛类问题中的单

循环赛制.

34.【分析】这道题可以采用逆思考的方法，找出至少一项运动不会的人数，然后用全班人

数减去至少一项运动不会的人数，剩下的是三项运动都会的人数；由已知，不会游泳的

有21人，不会骑车的有16人，不会打乒乓球的有8人，至少一项运动也不会的最多的

人数即可算出，再根据容斥原理，由此即可求要求的出答案.

【解答】解：由已知，不会游泳的有48-27=21（人），

不会骑车的有48-32=16（人），

不会打乒乓球的有48-40=8（人），

所以至少有一项运动不会的最多有：

21+16+8=45（人），

那么全班三项运动都会的至少有：

48-45=3（人）；

答：至少有3人会三项运动.

【点评】解答此题的关键是，在理解题意的基础上，采用逆思考的方法，找准对应的量,

正确运用容斥原理，列式解答即可.

35•【分析】把总人数看作单位“1”，由题意可知：不喜欢踢足球的占（1-2）,不喜欢篮

3

球的占（1-2）,不喜欢羽毛球的占（1-1）,然后根据一个数乘分数的意义，用乘法

45

分别求出不喜欢这三项运动的人数，然后用总人数减去不喜欢这三项运动的人数，即求

出三项都喜欢至少有多少人.

【解答】解：不喜欢踢足球的有：60X（1-2）=20（人），不

3

喜欢打篮球的：60X（-A）=15（人），