2021年山西省吕梁市岚县岚城中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021年山西省吕梁市岚县岚城中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.=

A．2

B．4

C．π

D．2π参考答案：A2.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.3.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则(

)A．1

B．5

C．7

D．9参考答案：B4.如图，长方形的长，宽，线段的长度为1，端点在长方形的四边上滑动，当沿长方形的四边滑动一周时，线段的中点所形成的轨迹为，记的周长与围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为（

）参考答案：【知识点】函数的图象.B8【答案解析】C解析：解：解：∵线段MN的长度为1，线段MN的中点P，∴AP=，即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆，以及线段GH，FE，RT，LK，部分．∴G的周长等于四个圆弧长加上线段GH，FE，RT，LK的长，即周长==π+4x﹣2+2x﹣2=6x+π﹣4，面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积为，∴f（x）=6x+π﹣4﹣=，是一个开口向下的抛物线，∴对应的图象为C，故选：C．【思路点拨】根据条件确定点P，对应的轨迹，然后求出相应的周长和面积，求出函数f（x）的表达式，然后根据函数表达式进行判断图象即可．5.已知全集U＝Z，A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2＝2x}，则A∩为（

）A、{1，3}B、{0，2}C、{0，1，3}D、{2}参考答案：6.“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】直线与圆．【分析】由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=0时直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．【解答】解：若两直线垂直，则当m=0时，两直线为y=2与x=﹣1，此时两直线垂直．当2m﹣1=0，即m=时，两直线为x=﹣4与3x+y+3=0，此时两直线相交不垂直．当m≠0且m时，两直线的斜截式方程为y=x﹣与y=．两直线的斜率为与，所以由得m=﹣1，所以m=﹣1是两直线垂直的充分不必要条件，故选A．【点评】本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，解题的关键是理解充分条件与必要条件的定义及两直线垂直的条件，本题的难点是由两直线垂直得出参数m的取值，此处也是一易错点，易忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误．7.若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为(

)A.1 B.5 C.10 D.20参考答案：C【分析】由二项式展开式的各项系数之和为，求得，再结合展开式的通项，即可求解常数项.【详解】由题意，二项式展开式的各项系数之和为，令，可得，解得，则二项式展开式的通项为，令，可得常数项为.故选：C.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.着重考查了计算能力，属于基础题.8.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A9.给出下列函数：①；②；③④则它们共同具有的性质是（

）A．周期性 B．偶函数 C．奇函数 D．无最大值参考答案：C考点：函数的性质.10.在平面直角坐标系上的区域M由不等式组给定，若点P为M上的动点，点A（﹣2，1），则?的最大值与最小值的和为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】由约束条件作出可行域，利用数量积的坐标表示得到线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得?的最大值与最小值，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，设P（x，y），又A（﹣2，1），∴z=?=﹣2x+y，化为直线方程的斜截式：y=2x+z．由图可知，当直线y=2x+z过点A（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣2×1+0=﹣2；当直线y=2x+z过点C（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣2×0+1=1．∴?的最大值与最小值的和为﹣2+1=﹣1．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，利用数量积得到目标函数是解题的关键，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为______________________.参考答案：

略12.已知{an}、{bn}都是等差数列，若，，则______．参考答案：21【分析】由等差数列的性质可知，代入即可求解【详解】解：∵、都是等差数列，

若，，

又∵，

，

故答案为：21.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题13.在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形（用数字作答）．参考答案：120由于圆周上的任意三点不共线，所以任取3点方法数为，填120.

14.设数列是首项为,公比为的等比数列,则

．参考答案：15略15.不等式恒成立，则的取值范围是

．参考答案：16.比较大小：lg9?lg111（填“＞”，“＜”或“=”）参考答案：＜考点：对数的运算性质；不等关系与不等式．.专题：计算题．分析：由基本不等式可得，lg9?lg11，利用对数的运算性质即可判断解答：解：∵lg9＞0，lg11＞0∴lg9?lg11=（2＜1故答案：＜点评：本题主要考查了基本不等式及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题17.已知函数，则满足方程的所有的的值为

参考答案：0或3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分13分）已知直线与抛物线相交于，两点，且与圆相切.（Ⅰ）求直线在轴上截距的取值范围；（Ⅱ）设是抛物线的焦点，且，求直线的方程.参考答案：（Ⅰ）解：设直线的方程为.由直线与圆相切，得，化简得.（2分）直线的方程代入，消去，得.（*）（3分）由直线与抛物线相交于，两点，得，即.将代入上式，得.解得，或.（5分）注意到，从而有，或.（6分）（Ⅱ）解：设，.由（*）得，.

所以.将，代入上式，得.（10分）将，代入上式，令，得.所以，即.

解得，(舍去).

故.

所以直线的方程为，或.

（13分）19.如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，，，与相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，，，，平面BDEF⊥底面ABCD.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）因为底面为菱形，所以，又平面底面，平面平面，因此平面，从而.又，所以平面，由，，，可知，，，，从而，故.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，所以分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），则，，，，，所以，，.由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为.设平面的法向量为，则，即，即，令，得，所以.从而.故所求的二面角的余弦值为.20.如图，两海上航线垂直相交于钓鱼岛A，若已知AB=1OO海里，甲渔船从A岛辙离，沿AC方向以50海里/小时的速度行驶，同时乙巡航船从B码头出发，沿BA方向以V海里/小时的速度行驶，至A岛即停止前行（甲船仍继续行驶)（两船的船长忽略不计).(1)求甲、乙两船的最近距离(用含v的式子表示）；(2)若甲、乙两船开始行驶到甲、乙两船相距最近时所用时间为t小时，问v为何值时“最大？参考答案：

略21.设不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数的值域．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）依题意，通过解绝对值不等式|x﹣2|＞1可求其解集，从而可知x2﹣ax+b=0的解，由韦达定理可求得a，b的值；（Ⅱ）通过导数法可求得f（x）=4+3的最大值，以及取得最大值时x的值．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣2|＞1，∴x＞3或x＜1．∴不等式|x﹣2|＞1的解集为{x|x＞3或x＜1}；∵不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同，∴1和3是方程x2﹣ax+b=0的根，∴a=1+3=4，b=1×3=3．（Ⅱ）∵f（x）=4+3（3≤x≤5），∴f′（x）=﹣=，由f′（x）=0得x=．由f′（x）＞0得，3≤x＜，由f′（x）＜0得，＜x≤5．∴f（x）在[3，）上单调递增，在（，5]上单调递减，∴当x=时，f（x）取得最大值，即f（x）max=f（）=4+3=5．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，利用导数法求函数的最值是难点，也是关键，考查分析、运算的能力，属于难题．22.（本小题满分12分）已知为平面直角坐标系的原点,过点的直线与圆交于两点.(1)若,求直