高中数学 空间中直线与直线之间的位置关系 新人教A版必修

高中数学空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版必修第一页，共六十四页，2022年，8月28日成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版·必修2第二页，共六十四页，2022年，8月28日点、直线、平面之间的位置关系第二章第三页，共六十四页，2022年，8月28日2.1

空间点、直线、平面之间的位置关系第二章空间中直线与直线之间的位置关系第四页，共六十四页，2022年，8月28日高效课堂2课后强化作业4优效预习1当堂检测3第五页，共六十四页，2022年，8月28日优效预习第六页，共六十四页，2022年，8月28日在初中，我们已经学习了在同一平面内的两条直线的位置关系：_____________，还学习了一些平行线的性质：①过直线外一点__________一条直线和这条直线平行．②在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线____________这一性质通过本节的学习也能进一步推广到空间．●知识衔接相交或平行有且只有也互相平行第七页，共六十四页，2022年，8月28日③两直线平行同位角__________，内错角__________，同旁内角__________．相等相等互补第八页，共六十四页，2022年，8月28日1．异面直线(1)概念：不同在__________平面内的两条直线叫做异面直线．[归纳总结]

对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者说找不到一个平面同时经过这两条直线．“异面”的含义就是“不能共面”的意思．定义中“任何”是不可缺少的关键词，不能误解为“不同在某一平面内”．●自主预习任何一个第九页，共六十四页，2022年，8月28日(2)图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．第十页，共六十四页，2022年，8月28日2．空间两条直线的位置关系(1)相交直线——同一平面内，__________一个公共点．(2)平行直线——同一平面内，__________公共点．(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．有且只有没有第十一页，共六十四页，2022年，8月28日第十二页，共六十四页，2022年，8月28日3．公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相________图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒__________作用证明两条直线平行说明公理4表述的性质通常叫做空间平行线的__________平行a∥c传递性第十三页，共六十四页，2022年，8月28日[名师点拨]

公理4是今后论证平行问题的主要依据．在公理4中，若把直线a，b，c的平行关系限制在同一平面内，则可看作是公理4的一种特殊情况．第十四页，共六十四页，2022年，8月28日4．等角定理相等互补第十五页，共六十四页，2022年，8月28日[归纳总结]

等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线．但是，初中有的结论在空间中不成立：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行．初中的结论在空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内，在空间中就成立，否则不成立．第十六页，共六十四页，2022年，8月28日5．两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的______(或______)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．[名师点拨]在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，是通过转化为相交直线所成的角来解决的．锐角直角第十七页，共六十四页，2022年，8月28日(2)异面直线所成的角α的范围：_____________.(3)两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是__________，那么就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a_______b.[归纳总结]两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．

0°＜α≤90°直角⊥第十八页，共六十四页，2022年，8月28日1．在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是(

)A．SB B．SCC．BC D．AB[答案]

C●预习自测[解析]

如图所示，SB、SC、AB、AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．

第十九页，共六十四页，2022年，8月28日2．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为(

)A．60° B．120°C．30° D．60°或120°[答案]

D[解析]

∵α与β的两边对应平行，∴α与β相等或互补，故β为60°或120°.第二十页，共六十四页，2022年，8月28日[答案]

(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面第二十一页，共六十四页，2022年，8月28日[解析]

序号结论理由(1)平行∵A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C(2)异面A1B与B1C不同在任何一个平面内(3)相交D1D∩D1C＝D1(4)异面AB与B1C不同在任何一个平面内第二十二页，共六十四页，2022年，8月28日

规律总结：(1)判断两直线平行、相交可用平面几何中的定义和方法．(2)判断异面直线的方法有如下几种方法内容定义法依据定义判断两直线不可能在同一个平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)假设法即假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而断定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线第二十三页，共六十四页，2022年，8月28日4.如图，AA′是长方体ABCD－A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有________条．[答案]

3第二十四页，共六十四页，2022年，8月28日[解析]

∵四边形ABB′A′，ADD′A′均为长方形，∴AA′∥BB′，AA′∥DD′.又四边形BCC′B′为长方形，∴BB′∥CC′，∴AA′∥CC′.故与AA′平行的棱共有3条，它们分别是BB′，CC′，DD′.第二十五页，共六十四页，2022年，8月28日5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则：(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________.(2)AA1与B1C所成的角的度数为________.(3)A1B与B1C所成的角的度数为________.[答案]

(1)90°

(2)45°

(3)60°第二十六页，共六十四页，2022年，8月28日[解析]

(1)∵AA1∥DD1，∴∠DD1C1即为所求的角．∵∠DD1C1＝90°，∴AA1与C1D1所成的角为90°.(2)∵AA1∥BB1，∴∠BB1C即为所求的角．∵∠BB1C＝45°，∴AA1与B1C所成的角为45°.(3)∵易证A1D∥B1C，∴∠BA1D(或其补角)即为所求，∵易知△BA1D为正三角形，∴∠BA1D＝60°，故A1B与B1C所成的角为60°.第二十七页，共六十四页，2022年，8月28日高效课堂第二十八页，共六十四页，2022年，8月28日

已知a，b，c是空间三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c也是异面直线；③如果a，b是相交直线，b，c是相交直线，那么a，c也是相交直线；④如果a，b共面，b，c共面，那么a，c也共面．在上述命题中，正确命题的个数是(

)A．0 B．1 C．2 D．3空间两条直线位置关系的判定●互动探究第二十九页，共六十四页，2022年，8月28日[解析]

①a与c可能相交，也可能异面；②a与c可能相交，也可能平行；③a与c可能异面，也可能平行；④a与c可能不在一个平面内．故①②③④均不正确．[答案]

A第三十页，共六十四页，2022年，8月28日

规律总结：1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．第三十一页，共六十四页，2022年，8月28日2．判定两条直线是异面直线的方法(1)方法一：证明两条直线既不平行又不相交．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．第三十二页，共六十四页，2022年，8月28日(2015·河北馆陶一中月考试题)分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(

)A．一定平行 B．一定相交C．一定异面 D．相交或异面[答案]

D第三十三页，共六十四页，2022年，8月28日[解析]

画出图形，得到结论．如图①，分别与异面直线a，b平行的两条直线c，d是相交关系；如图②，分别与异面直线a，b平行的两条直线c，d是异面关系．综上可知，应选D．第三十四页，共六十四页，2022年，8月28日

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：(1)EF綊E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.公理4、等角定理的应用第三十五页，共六十四页，2022年，8月28日第三十六页，共六十四页，2022年，8月28日第三十七页，共六十四页，2022年，8月28日第三十八页，共六十四页，2022年，8月28日第三十九页，共六十四页，2022年，8月28日所以A1M綊BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.[方法探究]在证明∠EA1F＝∠E1CF1时，还可以通过证明△A1EF≌△CF1E1来实现，由于EF＝E1F1，所以只需要证明A1E＝A1F＝CE1＝CF1(在这些边所在的直角三角形中，利用勾股定理即可证明)．第四十页，共六十四页，2022年，8月28日

规律总结：求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．第四十一页，共六十四页，2022年，8月28日已知E、E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点，求证：∠BEC＝∠B1E1C1.[分析]

欲证两个角相等，可通过等角定理来实现．[证明]

如图所示，连接EE1.第四十二页，共六十四页，2022年，8月28日∵E、E1分别是AD、A1D1的中点，∴AE∥A1E1，且AE＝A1E1.∴四边形AEE1A1是平行四边形．∴AA1∥EE1，且AA1＝EE1.又∵AA1∥BB1，且EE1＝BB1.∴四边形BEE1B1是平行四边形．∴BE∥B1E1.同理可证CE∥C1E1.又∠BEC与∠B1E1C1的两边方向相同，∴∠BEC＝∠B1E1C1.第四十三页，共六十四页，2022年，8月28日求异面直线所成的角[探究]

1．PA、BC如何移至同一个三角形中．2．找出PA和BC所成的角．第四十四页，共六十四页，2022年，8月28日第四十五页，共六十四页，2022年，8月28日[易错警示]

∠DFE是否异面直线PA与BC所成的角，还要检验它的值是否在(0°，90°]内．若在，则为所求，否则其补角才是所求．这是容易忽略的一步．第四十六页，共六十四页，2022年，8月28日

规律总结：1.求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．第四十七页，共六十四页，2022年，8月28日2．求两异面直线所成角的大小．(1)求两异面直线所成角的关键在于作角，总结起来有如下“口诀”：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形柱中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行线若在外，补上原体在外边．第四十八页，共六十四页，2022年，8月28日(2)如果求得的角的余弦值为负值的话，这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角，所以在指明所求角的时候，应该说“这个角或其补角”即为所求的角．第四十九页，共六十四页，2022年，8月28日四面体A－BCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，E，F分别是BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．[解析]

如图，取BD的中点G，连接EG，FG.第五十页，共六十四页，2022年，8月28日第五十一页，共六十四页，2022年，8月28日截面四边形形状的判定●探索延拓第五十二页，共六十四页，2022年，8月28日[探究]

由平面几何中的平行线截线段成比例定理不难得出EH∥BD，FG∥BD，从而EH∥FG，然后根据两条线段的长度关系证明．第五十三页，共六十四页，2022年，8月28日[拓展1]

若E、F、G、H分别是四面体A－BCD的棱AB、BC、CD、DA上的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH为__________．[拓展2]若E、F、G、H分别是四面体A－BCD的棱AB、BC、CD、DA上的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH为__________．[拓展3]若E、F、G、H分别是四面体A－BCD的棱AB、BC、CD、DA上的中点，且AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH为__________．(以上三个问题你会证明吗？不妨一试)菱形矩形正方形第五十四页，共六十四页，2022年，8月28日

设点P是直线a外一定点，过点P与a成30°角的异面直线有(

)A．无数条 B．两条C．至多有两条 D．一条[错解]

B[错因分析]

错误产生的原因是局限在平面内了，而我们现在研究的平台是三维空间．易错点没有形成立体感考虑问题易出错●误区警示第五十五页，共六十四页，2022年，8月28日[思路分析]

如图，与α成30°角的圆锥面上的母线有无数条．[正解]

A第五十六页，共六十四页，2022年，8月28日已知∠AOB＝30°，过点O与直线OA、OB成等角的直线有(

)条(

)A．无数 B．2C．1 D．至多2[答案]

A第五十七页，共六十四页，2022年，8月28日当堂检测第五十八页，