2023届上海市上海中学数学高一第二学期期末调研模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列三角方程的解集错误的是（）A．方程的解集是B．方程的解集是C．方程的解集是D．方程（是锐角）的解集是2．英国数学家布鲁克泰勒（TaylorBrook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（

）其中，，例如：．试用上述公式估计的近似值为（精确到0.01）A．0.99 B．0.98 C．0.97

D．0.963．函数在上零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．54．计算的值为()．A． B． C． D．5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则等于（）A． B． C． D．16．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（）A． B． C． D．7．直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（）A．1 B． C． D．28．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A． B． C． D．9．己知函数的最小值为，最大值为，若，则数列是（）A．公差不为0的等差数列 B．公比不为1的等比数列C．常数数列 D．以上都不对10．如图，函数的图像是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知正三棱锥的底面边长为6，所在直线与底面所成角为60°，则该三棱锥的侧面积为_______．12．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点_____，l1与l2的距离的最大值是_____.13．已知数列的前项和是，且，则______.（写出两个即可）14．已知四面体的四个顶点均在球的表面上，为球的直径，，四面体的体积最大值为____15．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为．16．已知原点O（0，0），则点O到直线x+y+2=0的距离等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）若对任意的，总有成立，求常数的值；（2）在数列中，，求通项；（3）在（2）的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，第项，按原来的顺序组成新数列，其中试问是否存在正整数，使得且成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18．已知向量.(1)当时，求的值；(2)设函数，当时，求的值域.19．在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．（1）求cos∠C的值；（2）求△ABC的面积．20．在等差数列中，已知,.（I）求数列的通项公式；（II）求.21．的内角所对边分别为，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据余弦函数的性质可判断B是错误的.【详解】因为，故无解，故B错.对于A，的解集为，故A正确.对于C，的解集是，故C正确.对于D，，.因为为锐角，，所以或或，所以或或，故D正确.故选：B.【点睛】本题考查三角方程的解，注意对于三角方程，我们需掌握有解的条件和其通解公式，而给定范围上的解，需结合整体的范围来讨论，本题属于基础题.2、B【解析】

利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案．【详解】由题设中的余弦公式得，故答案为B【点睛】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3、D【解析】

在同一直角坐标系下，分别作出与的图象，结合函数图象即可求解.【详解】解：由题意知：函数在上零点个数，等价于与的图象在同一直角坐标系下交点的个数，作图如下：由图可知：函数在上有个零点.故选：D【点睛】本题考查函数的零点的知识，考查数形结合思想，属于中档题.4、D【解析】

利用诱导公式以及特殊角的三角函数值可求出结果.【详解】由诱导公式可得，故选D.【点睛】本题考查诱导公式求值，解题时要熟练利用“奇变偶不变，符号看象限”基本原则加以理解，考查计算能力，属于基础题.5、D【解析】

根据题意,由正弦定理得，再把，，代入求解.【详解】由正弦定理，得，所以．故选:D【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,还考查了运算求解的能力，属于基础题.6、D【解析】

由扇形的弧长公式列方程得解.【详解】设扇形的半径是，由扇形的弧长公式得：，解得：故选D【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，考查了方程思想，属于基础题．7、D【解析】

先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值．【详解】圆在点处的切线为，即，点是圆上的动点，圆心到直线的距离，∴点到直线的距离的最小值等于．故选D．【点睛】圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题.8、D【解析】

设OA＝1，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．【详解】设OA＝1，则AB，，以AB中点为圆心的半圆的面积为，以O为圆心的大圆面积的四分之一为，以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣1，黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣1）＝1，图Ⅲ部分的面积为π﹣1．设整个图形的面积为S，则p1，p1，p3．∴p1＝p1＞p3，故选D．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．9、C【解析】

先根据判别式法求出的取值范围,进而求得和的关系,再展开算出分析即可.【详解】设,则,因为,故,故二次函数,整理得,故与为方程的两根,所以为常数.故选C.【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.10、B【解析】

根据的取值进行分类讨论，去掉中绝对值符号，转化为分段函数，利用正弦函数的图象即可得解.【详解】当时，；当时，.因此，函数的图象是B选项中的图象.故选：B.【点睛】本题考查正切函数与正弦函数的图象，去掉绝对值是关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

画出图形，过P做底面的垂线，垂足O落在底面正三角形中心，即，因为，即可求出,所以．【详解】作于，因为为正三棱锥，所以，为中点，连结，则，过作⊥平面，则点为正三角形的中心，点在上，所以，，正三角形的边长为6，则,，，斜高，三棱锥的侧面积为：【点睛】此题考查正三棱锥，即底面为正三角形，侧面为等腰三角形的三棱锥，正四面体为四个面都是正三角形，画出图像，属于简单的立体几何题目．12、（4，5）4.【解析】

根据所过定点与所过定点关于对称可得，与的距离的最大值就是两定点之间的距离.【详解】∵直线：经过定点，又两直线关于点对称，则两直线经过的定点也关于点对称∴直线恒过定点，∴与的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为.故答案为：，.【点睛】本题考查了过两条直线交点的直线系方程，属于基础题.13、或【解析】

利用已知求的公式，即可算出结果．【详解】（1）当，得，∴，∴．（2）当时，，两式作差得，，化简得，∴或，即（常数）或，当（常数）时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以；当时，数列是以1为首项，﹣1为公比的等比数列，所以．【点睛】本题主要考查利用与的关系公式，即，求的方法应用．14、2【解析】

为球的直径，可知与均为直角三角形，求出点到直线的距离为，可知点在球上的运动轨迹为小圆.【详解】如图所示，四面体内接于球，为球的直径，，，，过作于，，点在以为圆心，为半径的小圆上运动，当面面时，四面体的体积达到最大，.【点睛】立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突破口在于找到点的运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.15、【解析】试题分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，∴MNOB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案为．考点：异面直线及其所成的角．16、【解析】

由点到直线的距离公式得：点O到直线x+y+2=0的距离等于，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)(3)存在,,或【解析】

由题设得恒成立，所以，由和知，，且，由此能推导出假设存在正整数m，r满足题设，由，，又得，于是，由此能推导出存在正整数m，r满足题设，，或，．【详解】由题设得，即恒成立，所以，由题设又由得，，且，即是首项为1，公比为2的等比数列，所以即为所求．假设存在正整数m，r满足题设，由知，显然，又得，，即是以为首项，为公比的等比数列．于是，由得，m，，所以或15，当时，，；当时，，；综上，存在正整数m，r满足题设，，或，【点睛】本题主要考查了数列中参数的求法、等差数列的通项公式和以极限为载体考查数列性质的综合运用，属于难题．18、(1)-7，(2)【解析】试题分析：(1)由向量共线得到等量关系，求出角的正切值，再利用两角差正切公式求解：(2)先根据向量数量积，利用二倍角公式及配角公式得到三角函数关系式，再从角出发研究基本三角函数范围：试题解析：(1),3分6分(2)8分11分，的值域为14分考点：向量平行坐标表示，三角函数性质19、（1）（2）【解析】

（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大边对大角可求C为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cosC的值．（2）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【详解】（1）由题意，BC=7，AB=3，∠A=60°．∴由正弦定理可得：sinC=∵BC＞AB，∴C为锐角，∴cosC===，（2）因为A+B+C=π，A=60°，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+=，∴S△ABC=BC•AB•sinB=．【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（I）将已知条件转为关于首项和公差的方程组，解方程组求出，进而可求通项公式；（II）由已知可得构成首项为,公差为的等差数列，利用等差数列前n项和公式计算即可.【详解】（I）因为是等差数列，,所以解得.则,.