2019数学（理）通用版二轮精准提分练习第二篇 第16练计数原理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第16练计数原理[小题提速练]［明晰考情］1.命题角度：考查两个计数原理的简单应用；二项式定理主要考查特定项和系数.2.题目难度：中低档难度.考点一两个计数原理要点重组(1）分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的.(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分，步与步之间是相关联的。1.在100，101，102,…,999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”)顺序排列的数的个数是（)A.120B.204C.168D。216答案B解析由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数,共有2Ceq\o\al（3，9）＝168(个），当三个数字中含有0时,从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果,共有Ceq\o\al(2,9)＝36（个）,根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204（个），故选B。2。如图,正五边形ABCDE中，若把顶点A,B，C,D，E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有(）A。30种B。27种C。24种D。21种答案A解析由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况。如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；这时最后两个点也有2种情况;如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；这时最后两个点有3种情况。所以共有3×（2×2＋2×3）＝30（种）方法。3。三条边长都是整数，且最大边长为11的三角形的个数为________。答案36解析设两条较短边长为x，y，不妨设1≤x≤y≤11，且x＋y≥12.对y进行分类:当y＝11时，x可以取1到11的11个正整数；当y＝10时，x可以取2到10的9个正整数；当y＝9时,x可以取3到9的7个正整数；……；当y＝6时，x可以取6这1个正整数；y≤5时不可能。所以三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36。4。将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法种数为________.（用数字作答）答案8解析甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分组方式有三类：①甲单独一组，有1种分法；②甲和丙或甲和丁两名学生一组，有2种分法；③甲、丙、丁三名学生一组，有1种分法。然后把这两组分到两个不同的班级里，则不同的分法种数为（1＋2＋1)Aeq\o\al(2，2）＝8.考点二排列组合的应用方法技巧(1)解排列组合问题的三大原则：先特殊后一般,先取后排,先分类后分步.（2）排列组合问题的常用解法①特殊元素（特殊位置)优先安排法；②相邻问题捆绑法；③不相邻问题插空法;④定序问题缩倍法.5.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每所学校分配1名医生和2名护士,则不同的分配方法共有(）A。90种 B。180种C。270种 D.540种答案D解析不同的分配方法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al（2，6)Ceq\o\al（1，2)Ceq\o\al(2，4)＝540（种)，故选D.6。张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为（)A。12B.24C。36D。48答案B解析将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上,有2Aeq\o\al（3,3)种排法，故总的排法有2×2×Aeq\o\al(3，3）＝24(种)。7.（2018·张掖三诊）《红海行动》是一部现代海军题材影片,该片讲述了中国海军“蛟龙突击队"奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中,海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位,且任务E,F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有(）A.240种B。188种C.156种D。120种答案D解析当E,F排在前三位时有(Aeq\o\al(2，2）Aeq\o\al（2，2))·Aeq\o\al(3,3)＝24（种)方法；当E，F排在后三位时，有（Aeq\o\al(2，2）Ceq\o\al(1,3）Aeq\o\al(2,2)）·Aeq\o\al(3，3）＝72(种）方法;当E,F排3,4位时有（Ceq\o\al（1,3）Aeq\o\al(2，2))·Aeq\o\al(2,2）Aeq\o\al(2，2)＝24（种)方法,∴共有24＋72＋24＝120(种）方案.8。为促进城乡一体化进程,某单位选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是()A.216B.420C。720D.1080答案D解析先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有eq\f（C\o\al（2，6)C\o\al(2，4），A\o\al(2,2))种分组方法,剩下的2户家庭可以直接看成2组,然后将分成的4组进行全排列，故有eq\f（C\o\al（2,6)C\o\al（2，4),A\o\al（2,2））×Aeq\o\al（4,4）＝1080（种）.考点三二项式定理的应用方法技巧(1)求二项展开式的特定项的实质是通项公式Tk＋1＝Ceq\o\al（k,n)an－kbk的应用，可通过确定k的值再代入求解。(2）二项展开式各项系数和可利用赋值法解决。（3）求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法:设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，则最大的系数Ak满足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，，Ak≥Ak＋1.））9.（2018·全国Ⅲ）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x2＋\f（2,x）)）5的展开式中x4的系数为()A.10B。20C。40D。80答案C解析eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x2＋\f(2，x））)5的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al（k，5）·(x2）5－k·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，x）))k＝Ceq\o\al(k,5）·2k·x10－3k，令10－3k＝4，得k＝2.故展开式中x4的系数为Ceq\o\al(2,5)·22＝40。10。使eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（3x＋\f（1，x\r(x）))）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为()A。4B。5C。6D。7答案B解析Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)(3x）n－keq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,x\r（x）)))k＝Ceq\o\al(k,n）3n－k，当Tk＋1是常数项时，n－eq\f(5,2）k＝0,当k＝2，n＝5时满足题意.11。已知（1＋x）10＝a0＋a1(1－x)＋a2（1－x）2＋…＋a10（1－x）10，则a8等于（)A。－5B。5C.90D.180答案D解析∵（1＋x)10＝[2－（1－x）］10＝a0＋a1(1－x）＋a2（1－x）2＋…＋a10(1－x）10，∴a8＝Ceq\o\al（8，10)·22·（－1)8＝180.12。(2018·益阳调研）(1＋x2）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2，x)－1）)6的展开式中eq\f（1，x）项的系数为（）A。－12 B。12C.－172 D.172答案C解析因为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2,x)－1）)6的通项公式为Ceq\o\al（k，6)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2，x）)）6－k（－1）k＝26－kCeq\o\al(k,6)(－1）kxk－6。故展开式中eq\f（1,x)项的系数为2Ceq\o\al(5,6)（－1)5＋23Ceq\o\al（3,6）（－1）3＝－172.故选C。1。在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有(）A。34种 B.48种C.96种 D。144种答案C解析由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步,所以有Aeq\o\al（2,2）＝2(种)结果。因为程序B和C在实施时必须相邻,所以把B和C看作一个元素,有Aeq\o\al（4，4)Aeq\o\al(2,2）＝48（种）结果，根据分步乘法计数原理可知，共有2×48＝96（种）结果，故选C.2.某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习,要求安排到该公司的两个部门,且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为(）A.60 B.40C.120 D.240答案A解析由题意得,先将4名大学生平均分为两组，共有eq\f(C\o\al（2,4）C\o\al（2，2),A\o\al（2，2)）＝3(种）不同的分法.再将两组安排在其中的两个部门,共有3×Aeq\o\al（2，5)＝60(种）不同的安排方法，故选A。3.若（1＋y3)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(1，x2y)）)n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为________。答案－84解析eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x2y))）n展开式的通项为Ceq\o\al（k，n）xn－keq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1，x2y）)）k＝Ceq\o\al（k，n）（－1)kxn－3ky－k，(1＋y3）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（1，x2y）)）n展开式的通项为Ceq\o\al（k，n)（－1)kxn－3ky－k和y3Ceq\o\al（k，n）(－1）kxn－3ky－k＝Ceq\o\al（k,n)（－1）kxn－3ky3－k,若存在常数项则有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(n－3k＝0，,－k＝0））（舍）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（n－3k＝0，,3－k＝0，))解得k＝3，n＝9,常数项为Ceq\o\al（3,9）（－1)3＝－84。解题秘籍(1）解有限制条件的排列组合问题，要按照元素（或位置）的性质进行分类，按事件发生的顺序进行分步.(2）平均分组问题中，平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况。（3）求各项系数和要根据式子整体结构,灵活赋值；对复杂的展开式的指定项，可利用转化思想，通过二项展开式的通项解决。1.（2017·全国Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(）A。12种B.18种C。24种D。36种答案D解析由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作,可得安排方式为Ceq\o\al（1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36（种），或列式为Ceq\o\al（1，3)·Ceq\o\al（2,4）·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(种)。故选D.2.(2018·长沙雅礼中学等联考)某大型花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人,其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有(）A。168种B。156种C.172种D。180种答案B解析小李和小王分别去甲、乙展区有Aeq\o\al（2,2）Ceq\o\al（2,4)Ceq\o\al（2，2）＝12(种)方案；小王、小李中有一人去甲、乙展区，有Ceq\o\al（1，2)Ceq\o\al（1，2)Ceq\o\al(1，4)Ceq\o\al(2,4）Ceq\o\al(2,2)＝96（种）方案;小王、小李都不去甲、乙展区,有Aeq\o\al(2,2）Aeq\o\al（4，4）＝48(种）方案，∴共有12＋96＋48＝156(种)方案。3。将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（)A.96 B。114C。128 D.136答案B解析由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为Ceq\o\al（2,17)＝136，分配名额相等有22种(可以逐个数），则满足题意的方法有136－22＝114(种）.4。(2017·全国Ⅰ)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，x2）)）（1＋x）6的展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35答案C解析因为（1＋x)6的通项为Ceq\o\al（k，6）xk,所以eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，x2)）)（1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Ceq\o\al（2,6)x2和eq\f（1,x2）·Ceq\o\al(4，6)x4。因为Ceq\o\al（2,6)＋Ceq\o\al(4,6)＝2Ceq\o\al(2，6）＝2×eq\f(6×5,2×1)＝30,所以eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,x2）））（1＋x）6的展开式中x2的系数为30.故选C。5.(2018·莆田期末）从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有,则不同的选派方案共有()A。210种 B。420种C。630种 D.840种答案B解析(用间接法）从9人中选3人到3个班实习班主任工作共Aeq\o\al（3,9)种结果，其中均为男教师的有Aeq\o\al（3，5）种,均为女教师的有Aeq\o\al（3,4）种.∴满足条件的方案有Aeq\o\al（3,9)－Aeq\o\al(3,5）－Aeq\o\al(3,4)＝420（种).6。已知(1＋ax)(1＋x）5的展开式中x2的系数为5，则a等于()A。－4 B.－3C.－2 D.－1答案D解析因为(1＋x）5的二项展开式的通项为Ceq\o\al（k,5)xk（0≤k≤5，k∈Z），则含x2的项为Ceq\o\al(2，5)x2＋ax·Ceq\o\al(1,5)x＝（10＋5a）x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.7。（2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10,则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为()A。－20B。0C.1D。20答案D解析令x＝1,得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1,所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又因为a1＝Ceq\o\al(9，10）×21×(－1）9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20。8.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是()A。30B。60C.120D.240答案B解析先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有eq\f（C\o\al（2,4)C\o\al(2，2)，A\o\al(2,2)）种,再将余下的6人平均分成两组，有eq\f(C\o\al（3,6)C\o\al（3,3），A\o\al(2，2))种，然后这四个组自由搭配还有Aeq\o\al(2，2)种，故最终分配方法有eq\f(C\o\al(2，4）C\o\al（3，6),A\o\al(2，2））＝60(种）。9。(2018·浙江)从1，3,5,7，9中任取2个数字,从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答）答案1260解析不含有0的四位数有Ceq\o\al(2,5）×Ceq\o\al(2,3)×Aeq\o\al（4，4）＝720（个）.含有0的四位数有Ceq\o\al（2，5)×Ceq\o\al（1,3)×Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3，3)＝540(个）。综上，四位数的个数为720＋540＝1260。10.(2018·浙江)二项式eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r(3,x)＋\f(1，2x)))8的展开式的常数项是________。答案7解析由题意，得Tk＋1＝Ceq\o\al(k，8）·（eq\r(3，x））8－k·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)))k＝Ceq\o\al(k，8)·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\