高中数学 北师大版 必修二 平面向量及其应用 6.1余弦定理与正弦定理第1课时教学设计

基本信息地区安徽省淮北市学校淮北市实验高级中学姓名张慧影联系电科数学电子邮箱811197390@年级高一教材北师大版普通高中教科书必修第二册《余弦定理（第一课时）》教学设计单元内容和内容解析本节主要有三个重要知识点，一是用向量导出余弦定理的基础上进而得出正弦定理，然后用余弦定理、正弦定理解三角形；二是用向量研究几何证明中的问题；三是研究向量在物理中的应用问题.平面向量及其应用属于必修课程的几何与代数部分，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.本单元借助向量的物理背景和平面向量运算的几何意义，进一步解决平面几何和物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时归纳总结向量法解决平面几何和物理中的基本套路，基本步骤.向量在平面几何和物理中应用，让学生深切体会到向量是工具，也是方法，更是一种数学思想，对后续选择性必修课程中空间向量在立体几何的应用具有启发性，类比向量的解析法为学习解析几何做好准备.本单元研究向量的应用方法，借助向量的几何和物理背景，充分体现向量的工具性、方法性和思想性.进一步让学生体会向量是代数和几何完美结合，解决问题的一把利器，因而本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳等数学思想方法，是培养学生逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于以上分析，确定【单元教学重点】用向量法证明余弦定理及正弦定理的推导，及正余弦定理的应用.用向量法解决简单几何问题、物理中的应用问题的方法和步骤.二、单元目标及其解析1.教学目标①借助向量的运算，探索三角形边长和角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.②能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.③会用向量方法解决简单的平面几何问题、物理中的应用问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际生活中的作用.2.目标解析达成目标的标志：①学生能利用所学数量积等相关知识推导出余弦定理，体会到向量推导余弦定理是最简洁的；进而进一步研究三角形中边角定量关系，推导得到正弦定理，同时能应用这两个定理，解三角形和判断三角形的形状.②学生能认识到：三角形是平面几何中最基本的图形之一.能够将生活中无法直接度量的长度和角度归结到合适的三角形中，直接度量出相关的边和角，通过解三角形计算出要度量的长度和角度.③学生能从应用向量解决平面几何中的具体实例中，总结出向量的运算与相关的问题的对应关系.比如利用共线可以解决平行，利用数量积可以解决垂直和角度问题，利用向量的模可以解决长度问题，从而进一步体会数形结合在解决问题的简洁性，并能够在老师的引导下，归纳向量法解决平面几何的“三部曲”.④学生能把物理问题转化为数学问题，即如何将物理量之间的关系转化为数学模型；同时能利用数学模型的解来解释问题中反映的物理现象.并引导学生归纳总结出向量法解决实际问题的方法和步骤.单元教学问题诊断分析【学情分析】学生已经学习了平面向量的概念、运算以及平面向量的基本定理，初步体会到向量有其丰富的几何和物理背景，再从向量的运算中进一步认识到向量的几何意义这些为进一步理解和掌握平面向量打下良好的基础，也为选择性必修中应用空间向量解决立体几何的学习做好铺垫.学生数形结合的思想认识不足，看到图形图不知道怎么下手写出式子，这也是值得我们去关注的地方.针对这些问题，我们要做好以下几点：一是加强数形结合思想的训练，让学生能够在图中找到一些有效的信息，然后根据余弦定理的特点，列出相关式子，从而解决相关问题.加强向量在几何证明中的分析.二是巩固向量的应用的训练，余弦定理的推导就是利用向量法来证明，通过学习好向量法的相关知识，以此为基础，那么余弦定理这块，学习起来会显得轻松很多.同时提高学生在物理中应用的能力.基于以上分析，确定【单元教学难点】①向量法证明余弦定理.②如何把几何问题、实际问题转化为向量问题；课时教学安排本单元建议用8课时，具体安排如下：余弦定理2课时，正弦定理1课时，正余弦定理的应用3课时，平面向量在几何、物理中的应用举例2课时.单元教学过程课时教学内容本课时内容学习之前，已经研究过有关三角形、三角函数和解直角三角形、平面向量等知识，进而运用所学知识研究余弦定理的证明.课时教学目标①在创设的问题情境中，能主动探索、发现余弦定理，掌握用向量法推证余弦定理，并能运用余弦定理理解简单的三角形；②通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，养成观察与逻辑思维能力，能够将生活问题抽象概括成数学问题，提高数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养.（三）课时重点难点重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步运用余弦定理.难点：利用向量法证明余弦定理的思路.教学过程流程：设计意图：梳理本单元研究内容脉络，明确本节课学习内容及目标设计意图：梳理本单元研究内容脉络，明确本节课学习内容及目标环节一：复习回顾，明确目标设计意图：设计意图：在实际问题中，抽象出数学问题，培养学生数学抽象核心素养，同时让定理的引入更生活化、更自然.环节二：创设情境，引出新课环节二：创设情境，引出新课设计意图：通过已知条件的分析类比向量的数量积，通过数学对象的转化构建向量模型，依据相关的运算法则求解，体现了由特殊到一般数学思想，发展学生的推理论证和运算求解能力.设计意图：通过已知条件的分析类比向量的数量积，通过数学对象的转化构建向量模型，依据相关的运算法则求解，体现了由特殊到一般数学思想，发展学生的推理论证和运算求解能力.环节三：探索新知，推导定理环节三：探索新知，推导定理环节四：新知应用，巩固内化环节四：新知应用，巩固内化设计意图：通过例题，让学生熟悉余弦定理及推论.设计意图：通过例题，让学生熟悉余弦定理及推论.设计意图：让学生用思维导图从知识、方法、研究路径等多角度梳理概括所学内容，加强学生归纳概括能力.环节五：归纳总结，反思提升设计意图：让学生用思维导图从知识、方法、研究路径等多角度梳理概括所学内容，加强学生归纳概括能力.环节五：归纳总结，反思提升教学过程环节一：复习回顾，明确目标前面我们学习了平面向量的概念和运算，从本节开始我们将学习向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用。三角形作为平面几何中的基本图形，本节课我们首先借助向量的运算，探索三角形中边长和角度的关系。向量概念向量概念向量运算平面向量基本定理向量应用设计意图：梳理本单元研究内容脉络，明确本节课学习内容及目标环节二：创设情境，引出新课问题1：如图，小明步行从A地前往C地购物，但在路途中，道路不畅，需要绕行，于是小明先直线步行2km到B地，再与B地成60°直线步行3km到达C地，请问小明的行驶路程比原计划多了多少？设计意图：选择学生在生活中常见的一类问题，并以此类问题作为客观材料，激发学生探究、解决问题的欲望，感受数学知识在现实生活中的应用，能够培养学生将现实问题进行数学化的能力，深刻感受知识的必要性和简洁性，培养数学抽象核心素养.问题2：要解决上述实际问题需要解决什么样的数学问题？数学抽象：在任意△ABC中，已知AB=c，AC=b,及角A，求a(即BC).问题3：回顾所学知识，如何解决上述问题？师生活动：学生积极思考，小组交流探究回答教师提出的问题，教师在学生回答的基础上投影或板书答案，教师启发学生在旧知识的基础上发展新知.师：这是我们本节课要研究和解决的主要问题.设计意图：联系旧知，发展新知.引导学生思考已知三角形两边及其夹角，如何求解第三边的问题.结合初中所学的锐角三角函数，学生可能提出过点A作BC的垂线将三角形分割成两个直角三角形求解.此时，可引导学生探索更直接的求解方法.环节三：探索新知，推导定理问题4：在这个问题中，因为涉及的是三角形的两边及其夹角，我们在哪见过类似的情景？生：在向量的数量积中有类似的结构.设计意图：联系旧知，发展新知.引导学生思考已知三角形两边及其夹角，如何求解第三边的问题.问题5：从向量的角度，小明直线行驶的路径如何用向量表示？未知向量该如何用已知向量表示？生：问题6：所要求解的是的模，怎么样才能把和它的模联系起来呢?生:结合向量数量积的性质，可利用平方关系，因为，师：从这道问题中可以看出“向量自乘”是向量式与数量式之间转化的常用方法。向量作为一种工具，在解决几何图形长度及夹角问题中的优越性，直接由两边及其夹角就可以表示出第三边.师生活动：教师引导，学生积极思考，教师与学生协同合作求解AC的长度并导余弦定理.设计意图：向量是有方向和大小的量，本题要求解的是线段的长度，两者有区别又有联系，利用向量的模长和向量的平方关系可沟通起两者，实现解三角形和数量积的转化，进而推导出余弦定理.辨析概念之间的相似性，是利用向量法证明余弦定理的关键.问题7：在三角形ABC中，如果已知已知边b，c和它们的夹角A,能否表示第三边a呢？以及用边a，b和它们的夹角C表示第三边c？同理可得：余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.问题8：观察余弦定理的结构特点，和哪个定理有相似之处？生：余弦定理涉及三边平方，与勾股定理相似.师：勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.余弦定理把初中“SAS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.环节四：新知应用，巩固内化例1变式师生活动：学生思考并上台书写解题过程，或由教师将学生答案拍照投影，教师点评并给出规范解答.设计意图：例1设置了两个问题，目的是让学生熟悉余弦定理及其推论，明确余弦定理在解三角形问题中的适用范围，深化学生对公式的理解.针对具体的数学问题，选择合适的公式，教师点拨运算技巧，提升学生的数学运算素养.【应用案例】山脚A、C两点不可直接到达，请设计一种测量通过这座山隧道的长度(即AC的长)的方案.设计意图：学生利用本节课所学知识建模解决实际问题，培养