高中数学 人教A版 选修一直线和圆的方程 第14课时

2.5.2圆与圆的位置关系合肥第八中学陈风云一、内容及内容解析1.内容圆与圆的位置关系2.内容解析圆与圆之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画.定量刻画的方法运用代数方法，通过运算求解，得到图形的性质；从内容的本质分析可以很明显地看出这里的基本数学思想是数形结合，研究问题的方法是解析几何的通法——坐标法。圆的方程以及距离公式的研究为本节内容的学习提供了重要借鉴，初中学习的“图形与几何”中关于“圆”的基本知识也是本节内容的重要基础。“圆”作为一种相对简单的曲线，为后面研究其它圆锥曲线的方程及其性质又奠定了必要的认知基础。本单元内容从几何直观到代数表示，最终又回到几何直观，是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题，形成一般研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养的良好载体。基于以上分析，确定本节课教学重点：两圆的五种位置中两圆半径与圆心距的数量之间的关系。二、目标和目标解析1.目标（1）理解圆与圆的位置关系，并掌握用圆的方程判定两圆的位置关系，能利用坐标法解决简单的平面几何问题．（2）通过教师与学生共同探究圆与圆的五种位置关系的过程，培养学生通过运动变化的角度来分析和解决问题的能力，发展学生直观想象、数学运算等学科核心素养。（3）引导学生经历用代数方法解决几何问题，体会数形结合、函数与方程、类比、等数学思想.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能借助几何直观，利用距离（两点间的距离）结合代数方法研究圆与圆的位置关系。（2）学生能归纳总结出解析几何研究问题的一般方法。三、教学问题诊断分析学生在初中“图形与几何”的学习中已初步了解了圆的有关知识，前面又学习了圆的方程，直线与圆的位置关系，学生对用代数方法建立曲线方程，并利用曲线方程研究其几何性质有了初步认识，这些都为本节的学习奠定了认知基础。但学生接触解析几何时间不长，对解析几何研究问题的一般策略还不太熟悉，这都有赖于老师的教学引导。我们将在圆与圆的位置关系的研究过程中进一步体会数形结合的思想，帮助学生形成用代数方法解决几何问题的能力。在问题解决中，我们都是在平面直角坐标系中将几何问题转化为代数问题，运用代数运算解决代数问题，最后将代数结论“翻译”为几何结论。这体现了用坐标法研究问题的基本思想与完整过程，也就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。关于这种问题解决的一般模式的教学需要带领学生在丰富的问题情境中不断地积累经验，以形成能力。基于以上分析，确定本节课的难点为如何得出两圆的五种位置中两圆半径与圆心距的数量关系并解决实际问题。四、教学支持条件分析：多媒体、几何画板五、教学过程设计1.复习引入引导语：本章我们把直线和圆这两个几何图形通过坐标系进行代数化，探究了直线的方程、圆的方程，并在方程的基础上研究了点线的性质，两直线的位置关系，直线和圆的位置关系。那么接下来我们还可以研究哪两者之间的关系呢？设计意图：梳理本章已经学过的知识体系，体现本单元的整体性与联系性，引入课题。问题1：回忆一下，直线与圆的的位置关系有哪几种？对应的公共点个数为多少？追问：如何判断直线与圆的位置关系呢？师生活动：学生回顾直线与圆的位置关系与判断方法，教师引导学生说出判断方法的具体步骤.直线与圆的位置关系方法一：直线与圆的方程组成的方程组解的个数方法二：圆心到直线的距离d与半径r的大小关系相交2个d＜r相切1个d=r相离0个d＞r设计意图：复习直线和圆的位置关系和判定的研究思路，为后面学生类比直线和圆的位置关系得出圆与圆的位置关系和判定作准备.2.新知探究问题2:请大家认真观察老师演示的动画，你能发现两圆公共点的个数有几种情况吗？预设回答：三种：0个，1个，2个追问1：根据公共点的个数，你认为圆与圆的位置关系有哪几种？预设回答：相离（0个公共点），相切（1个公共点），相交（2个公共点）追问2：大家再观察一下，这两种情况的相离，他们有什么差异呢？追问3：同理，相切有几种情况呢？师生活动:教师借助几何画板，拖动小圆由远到近靠近大圆.学生观察动画，发现公共点的个数，从而得到两圆三种位置关系；教师再次展示相离的两种情况，相切的两种情况让同学们感受差异，得到外离、内含、内切、外切.设计意图：通过动态演示这种直观的方式，引导学生观察两圆公共点的个数，从公共点个数上类比直线与圆的位置关系从而得到两圆的位置关系.问题3:我们已经从形的角度发现了两圆的位置关系，前面我们已经在坐标系中学习了圆的方程.已知圆的方程，如何判断两圆的位置关系呢？(学生讨论）追问1：还有其他的方法吗？追问2：你是如何想到这样的方法的？师生活动:学生们讨论后，教师提问并引导得到两种方法：1）联立两圆方程，判断解得个数；2）判断圆心距离与,大小关系.（让这位学生借助几何画板演示两圆不同位置时，观察圆心距与半径的关系)圆与圆的位置关系圆心距与两半径的关系外离外切相交内切内含设计意图：类比直线与圆位置关系的判断方法，通过学生讨论，借助几何画板，让学生自主探究出圆与圆的位置关系的判断，体现类比，数形结合的数学思想.学以致用问题4例1：已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系.师生活动:解法1：把圆的方程化为标准方程，得，圆心为（－1，－4），半径.把圆的方程化为标准方程，得，圆心为（2，2），半径.圆C1与圆C2的圆心距.因为，即，所以圆C1与圆C2相交.追问：这三个数都是无理数，你是如何判断出他们的大小关系的？解法2：（一位同学上黑板板演）将圆与圆的方程联立，得到方程组①－②，得③由③，得.把上式代入①，并整理，得.④方程④的根的判别式，所以方程有两个不相等的实数根，.把，分别代入方程③，得到，.因此圆与圆有两个公共点，这两个圆相交.追问：若把圆与圆的方程稍作调整，消元后得到的二次方程的，那么此时两圆是什么样的位置关系呢？外切还是内切？如何进一步判断？设计意图：利用具体实例，加强学生对判断两圆位置关系两种方法的认知，感受这两种方法各自的特征.让学生初步体会用公共点个数只能判断两圆相交、相切或相离，对于只有一个公共点（没有公共点）的情况无法具体判定外切还是内切（外离还是内含），锻炼学生的计算能力.问题5：我们已经知道例1中的两圆是相交的位置关系，相交就会有两个公共点，那两个公共点的连线段，我们叫做两圆的公共弦.你能求出两圆公共弦所在的直线方程吗？追问：对比黑板上例1的解答过程，你有什么发现？这是巧合还是必然？师生活动：学生先求交点坐标，在由两点求直线方程，发现求出的直线方程与黑板上的③式相同，教师引导学生理解这种必然：交点A、B的坐标既满足圆C1的方程，又满足圆C2的方程，方程③是两圆方程作差得到的，A、B的坐标满足方程③式，那这个方程又正好是条直线，两个点唯一确定一条直线。设计意图：判断两圆位置关系时不需要解方程，但要求出交点坐标需要解方程.让学生掌握求两圆交点的方法，理解当两圆相交时，两圆方程相减得到的直线方程的几何意义为公共弦所在直线方程.例2已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.问题6：例2也是判断位置关系，他与例1有何不同？求轨迹方程的步骤是什么？师生活动：与例1对比引入例2，学生发现例2没有轨迹方程，回顾坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.追问1：如何建立合适的直角坐标系？师生活动：解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4，得A（－2，0），B（2，0）.设点M的坐标为（x，y），由，，化简，得.所以点M的轨迹是以点P（6，0）为圆心，半径为的一个圆.因为两圆的圆心距为|PO|=6，两圆的半径为，，又，所以点M的轨迹与圆O相交.设计意图：这是一个完整体现运用坐标法研究几何问题的典型例子，引导学生提出探究思路.理解轨迹与方程间的关系，体会坐标法的作用和价值，感受数相结合的数学思想.追问2:我们发现本题M点的轨迹是一个圆,圆的定义是什么？那本题M点的轨迹又满足什么几何特征呢？追问3：如果这个常数换成其他的常数呢？M的轨迹还是一个圆吗？师生活动：学生回顾圆的定义，并在老师的引导下发现本题M点几何特征是到两个定点的距离之比为常数.容易发现当常数为1时M点轨迹不是圆.教师留下课后探究问题:如果把例2中的“倍”改为“k（k＞0）倍”，你能分析并解决这个问题吗？设计意图：体会数形的相互转化，拓展学生思维，体会从特殊到一般的研究方法.把课堂延续到课下.归纳总结,深化理解设计意图：从知识方法、研究思路、数学思想三个方面对本节课进行小结．完善知识结构，提炼探究的方法为后面再坐标系下研究圆锥曲线问题做好准备，培养学生的学科素养.布置作业基本作业：课本P98练习1,2；习题2.5第8题拓展作业：把例2中的“倍”改为“k（k＞0）倍”，分析并解决这个问题.六.目标检测设计A组（基础达标）1.若圆与圆相切，则的值为()A. B. C.或 D.或答案：C解析：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.①当两圆外切时，有，此时.②当两圆内切时，有，此时.综上，当时两圆外切；当时两圆内切.2.圆与圆的公共弦长为()A. B. C. D.答案：C解析：圆与圆的方程相减得.圆心到直线的距离，则公共弦长为.故选C.3.已知圆和圆.（1）当时，判断圆和圆的位置关系.（2）是否存在实数，使得圆和圆内含?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）当时，圆的方程为，圆心为，半径为，圆的方程为，圆心为，半径为，两圆的圆心距，又，所以，所以圆和圆相交.（2）不存在实数，使得圆和圆内含.理由如下：圆的方程可化为，圆心的坐标为，半径为3.假设存在实数，使得圆和圆内含，则圆心距，即，此不等式无解.故不存在实数，使得圆和圆内含.B组（能力提升）1.动圆M与定圆相外切，且与直线相切，则动圆的圆心满足的方程为（）A.B.C.D.答案：B解析：设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆的半径为r，则