高中数学 数列 4.2.2等差数列前n项和第1课时

4.2.2等差数列的前项和公式单元教学设计）铜陵市第一中学胡婷一、单元内容及其解析1.内容等差数列前项和公式的推导与应用.首尾配对法本单元的知识结构：首尾配对法等差数列前项和公式n项和公式公式推导等差数列前项和公式n项和公式公式推导分类讨论法倒序相加法倒序相加法简单应用简单应用公式应用综合应用公式应用综合应用灵活应用灵活应用内容解析单元内容具有承上启下的作用。等差数列的前项和公式即是前面知识内容的延续，也为后面类比学习等比数列奠定基础。等差数列的前项和公式是等差数列的一个重要性质，从另一个角度进一步认识等差数列的函数特性。在公式推导中，“倒序相加法”是经典的方法。教学中以数学文化为背景，构建了从简单到复杂，从特殊到一般的过程。使学生逐渐认识到“倒序相加法”的本质。基于以上分析，确定本单元的教学重点：等差数列的前项和公式的推导及其应用.目标和目标解析1.目标了解等差数列前n项和公式发现的背景；推导并掌握等差数列前n项和公式；在具体情境中，能运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题，提升核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）通过学习，能够了解等差数列的前n项和公式的来龙去脉，感悟特殊与一般的思想，感受前任严谨的治学精神.（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等差数列的前n项和公式的“倒序相加法”以及其他推导方法，描述等差数列的前n项和公式的特征，以及它与相应二次函数关系.（3）学生能在具体情境中，运用等差数列的前n项和公式解决相应问题.三、教学问题诊断分析等差数列的前n项和公式的学习，其认知基础是等差数列的定义与性质、数列求和的一般概念，这些认知准备，利用等差数列的性质减少项数，发现倒序相加的运算特点，都能起到思路引领的作用.学生很容易把高斯的“首尾配对法”过渡到“倒序相加法”，但两者的推导方法又有着形式上的差异（即首尾配对法要分奇偶，而倒序相加则可一步到位）正是这种差异导致了等差数列的前n项和公式推导过程中的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的？因此，怎样让等差数列的前n项和公式的推导能够相对自然地呈现，成为学生理解公式推导过程的合理性关键.为了有效突破这个难点，在求和公式的教学中，构造“梯形面积”求法，让学生经历等差数列的前n项和公式的再创造过程，从而培养学生的逻辑推理素养，提升学生的思维品质.四、课时教学设计第1课时（一）教学内容等差数列的前项和公式的推导.教学目标1.了解等差数列前n项和公式发现的背景；2.推导并掌握等差数列前n项和公式；教学重点、难点重点：等差数列的前项和公式的推导.难点：等差数列的前项和公式的推导.教学过程设计问题1：如何将下列古文翻译成现代文？今有与人钱，初一人与一钱，次一人于二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？《张邱建算经》追问：1）如何求1+2+3……+100？你听过有关于这个求和的故事吗？高斯求和时用到了上节课中哪个性质？1+2+3……+100+101又怎么求？1+2+3+……=？怎样避开分类讨论，实现“配对”，将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”呢？师生活动：教师提问，学生回答，引导学生对公式进行变形，得到.它相当于两个相加，而结果变成个相加.设计意图：问题1通过中国北魏时期《张邱建算经》中一道数学题导入所学内容，引导学生通过观察来发现本题的实质就是求1+2+3……+100的和；追问1）引出“高斯求和”的故事，适时的渗透数学文化，让学生感受数学文化底蕴；追问2）复习旧知并引导学生思考高斯配对算法对奇数个数是否适用；追问3）将问题推广到一般情形并导学生对公式进行变形从公式“形式”角度去探求新的解决方法；追问4）直接发问，为引出“倒序相加法”做铺垫。问题2：已知等差数列{}的首项为，公差为，如何求其前？平面几何中经常出现求不规则图形的面积，对不规则图形的面积问题，常通过割补思想转化成规则图形来求解，如平行四边形可通过割补的方法转化为长方形,知道了平行四边形面积公式后，三角形、梯形我们如何求其面积？师生活动：师生共同得出等差数列的前项和公式设计意图：引出本节课的重点内容，通过预设学生的课堂活动情况，给予相应的指导.追问：你能用基本量项为和表示等差数列的前项和公式吗？师生活动：学生小组讨论得出两种方法，其一，其二，直接将公式带入，得到公式.问题3：你能从图形的角度去解释等差数列的前项和公式吗？为了更好的用图形去表示，我们不妨设为均为正数.师生活动：学生小组讨论后回答，教师评价.引导学生构造特定图形，如设计意图：从形的角度解释等差数列的前项和公式，便于学生理解和记忆。追问：1）等差数列的前项和公式与一元二次函数有什么关系？已知数列的前项和为，那么数列是等差数列吗？师生活动：教师提醒学生注意不一定是关于的二次函数，要根据参数的取值加以讨论，学生回答，教师评价.设计意图：进一步让学生体会数列与函数的关系，引导学生观察等差数列的前项和公式形式上的特点。例1已知数列是等差数列.师生活动：教师提问，学生回答。设计意图：让学生体会方程的思想，师生共同总结，对于等差数列的相关量知道三个可求另两个。例2（教科书第23页例9）已知等差数列的前项和为Sn，若＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.课堂小结、布置作业归纳总结：教师引导学生回顾本节课知识，并回答以下问题：1.等差数列前项和公式推导方法是什么？2.等差数列前项和公式的三种形式你能说出来吗？3.本节课你掌握了哪些求和方法？设计意图：从知识技能以及数学思想两个方面对本节课进行小结，通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。布置作业：基础作业：教科书P22练习1.2.3.4.探究作业：教科书P25页第7题.（五）目标检测设计1．在等差数列中，若，则的值为()A．20B．30C．40D．502．设Sn是等差数列的前项和，若则S5＝()A．5