高中数学 数列 数列小结第1课时

《数列》章末小结铜陵市第一中学陈良骥一、单元内容和内容解析数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用。本章通过对具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊的数列——等差数列和等比数列的取值规律，并运用它们解决了一些问题。因为数列是一类特殊的函数，所以本章注重函数思想和方法的应用。此外，数学归纳法也是本章的学习内容，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法。通过本章的学习，学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养都将得到进一步提升。本单元的知识结构框图：本章在必修第一册中函数相关知识的基础上，介绍了一种特殊的函数—数列的相关知识。在编排数列的内容时，教科书借鉴了研究函数的经验，按照“一般数列-特殊数列”的顺序展开。其中，在介绍“一般数列”时，通过日常生活和数学中的实例，抽象出数列的定义，介绍数列的三种表示方法（表格、图象和通项公式）；“特殊数列”以取值规律“最简单”的等差数列和等比数列为例，对它们的研究不仅可以加深学生对数列的理解，使学生掌握这两种具体数列的概念、取值规律，并能应用它们解决实际问题，而且也为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础。在本章的最后，教科书介绍了一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法——数学归纳法的原理。数列的概念是研究数列的基础，因此是本章教学的重点。此外，等差数列、等比数列是两种“最基本”的数列，对它们的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础，因此等差数列、等比数列的概念、性质与应用也是本章的重点内容。基于以上分析，得到了本节课的教学重点：教学重点：数列的相关知识与其中蕴含的基本探究方法的复习回顾与整合。二、单元目标和目标解析本单元出于知识交汇点，蕴含的数学思想方法较为丰富，从函数的观点去看数列，在这种整体动态的观点下，数列的性质更清楚，帮助问题更好地解决。本单元的教学目标如下：数列概念通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（表格、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数了解数列的前n项和公式的定义，以及数列的通项公式与前n项和公式的关系。等差数列（1） 通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义；（2） 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；（3） 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题；（4） 体会等差数列与一元一次函数的关系。3.等比数列（1） 通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；（2） 探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系；（3） 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题；（4） 体会等比数列与指数函数的关系。4.数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。学生在学习本章的过程中，可能遇到如下难点：一是从实例中抽象出数列的概念，这是因为直观上排列好的一列数与数列的数学定义之间存在一定的距离，需要学生具备较高的数学抽象能力；二是等差数列的定义，这是因为学生对于通过运算发现代数规律的意识不强，不熟悉刻面“等差”规律的语言：三是推导等差数列、等比数列的前n项和公式，这需要学生通过数学运算、逻辑推理等发现解决问题的途径；四是用等差数列、等比数列刻面数学中或现实中具有递推规律的事物，这需要学生具备一定的数学建模能力。教学问题诊断分析学生在函数学习的基础上，具有一定的抽象思维能力和演绎推理能力，教学过程需要注重引导、启发、研究和探讨。通过问题链的形式，激发学生求知欲，主动参与到教学实践活动。在引导分析时，给与学生充分的思考空间，让学生去联想探索，同时鼓励学生大胆质疑，各抒己见，厘清研究数列的思路与方法。鉴于各种学习材料中的数列问题数不胜数，如果学生在学习数列时只顾解题，就可能陷入到题海中，致使学到的知识犹如一盘散沙。这就需要教师在教学本章时，按照“研究一个数学对象的基本路径”来引导学生构建学习路径。如对于整章内容，类比函数构建数列的研究路径：“数列的事实一数列的概念、表示一数列的性质一等差数列与等比数列”；对于等差数列，按照研究一个数学对象的一般过程，即“事实一概念一性质一应用”来展开研究；而在研究等比数列时，类比等差数列，让学生自己构建等比数列的研究内容和过程，进一步体会研究一个数学对象的一般过程。基于以上分析，得到了本节课的教学难点：教学难点：应用数列，问题的解决，形成知识的迁移。教学过程设计第一课时[知识回顾]问题1.数列的哪些内容给你留下了深刻印象？问题2.你能把它们摆成一个知识结构图吗？【设计意图】问题1、2的设计旨在总结回顾让学生自主回顾数列单元的知识脉络，搭建逻辑框架。【评价设计】教师根据学生回答情况做出积极评价，肯定学生对于知识结构的认识，为下一步教学活动开展奠定基础。问题3.为什么说数列是一种特殊的函数？按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，也叫做首项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示···第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示。序号123…n⬇⬇⬇⬇项a1a2a3…an【判断正误】数列为一个递增数列。 【设计意图】通过问题3产生数列与一般函数的认识冲突，让学生更深层次理解数列是一种特殊的函数，到底又有哪些特殊点。问题4.数列的前n项和公式与它的通项公式有什么关系？思考：根据数列的前n项和公式与它的通项公式的关系，你能解决什么问题？举例：已知求数列的通项。思考1.已知数列的前n项和为且,求数列的通项公式；思考2.已知数列满足，求数列的通项公式。【设计意图】问题4的设计和一系列的思考深化对数列的概念、数列与函数的联系、数列的前n项和。【评价设计】教师根据学生活动情况做出适当教学评价，并根据实际情况积极调整课堂教学策略，形成从前n项和到前n项积的知识迁移。问题5.如何研究等差等比数列？问题6.等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如何根据定义进行推导？和函数有什么关系？方法一：由等差数列定义知：…将上面n-1个等式相加得方法二：观察，，，…猜测问题6.等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如何根据定义进行推导？和函数有什么关系？问题7.“等差中项”“等比中项”与“平均数”之间有什么内在联系？若三个数a，A，b成等差数列，则A称为a，b的等差中项；若三个数a，G，b成等比数列，则G称为a，b的等比中项。思考：已知，.若三个数a，A，b成等差数列，则A=；若三个数a，G，b成等比数列，则G=.问题8.等差数列、等比数列有许多有趣的性质，你能列举一些吗？问题9.推导等差数列、等比数列的前n项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？活动：根据定义可知：，再复习等差数列和等比数列由数列前n项和公式的推导方法，重点分析倒序相加法和错位相乘法在不同类型数列求和中的产生机理，以及思考采用合适的方法解决下面的问题。思考：数列中，，怎么求数列的前n项和.分析：由数列前n项和的定义可知：，即。【设计意图】问题5—9的设计引导学生思考特殊数列——等差数列和等比数列的研究（通项公式、性质、前n项和的推导方法）。【评价设计】教师根据学生活动情况做出适当教学评价，并根据实际情况积极调整课堂教学策略。[作业布置]根据你的理解，能对这张知识结构图进行细化吗？【设计意图】作业的设计为了帮助学生熟悉研究数列的方法与思想。五、本单元目标检测1.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙砾和小石子来研究数，他们根据沙砾或小石子所排列的形状把数分成许多类，如1，3，6，10...称为三角形数，1，4，9，16...称为正方形数，下列数中既是三角形数，又是正方形数的是（）A.36B.289C.1225D.13782.记为等比数列的前n项和，已知，：（1）求的通项公式；（2）求，并判断，，是否成等差数列.3.设数列满足：（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.4.已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位m2）的旧住房.（1）分别写出第一年年末和第二年年末的实际住房面积的表达式；（2）如果第五年年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少（计算时可取1.15=1.6）?5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，（1）求证：若S3，S9，S6成等差数列，则a2，a8，a5成等差数列.（2）对（1）中的结论进行推广，写出一个推广后的真命题，并予以证明.六、板书设计课题：数列小结（1）知识结构问题探究分析区课题：数列小结（2）例题1分析区三、例题3展示区二、例题2分析区七、教学反思作为数列这一大单元的小结课，本子单元承载着基础知识复