高考广东河南江苏卷数学试题及解答

2002年全国一般高等学校招生考试（广东、江苏、河南卷）数学试题及解答一、选择题(每题5分，12个小题合计60分)sin2x函数f(x)＝的最小正周期为(2002年广东、江苏、河南(1)5分)cosxA.π

B.π

C.2π

D.4π2C2.圆(x－1)

22＋y＝1的圆心到直线

3y＝3

x的距离为

(2002

年广东、江苏、河南

(2)5

分)1

3A.2

B.

2

C.1

D.3A3.不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是(2002年广东、江苏、河南(3)5分)A.{x|0≤x＜1}B.{x|x＜0且x≠－1}C.{x|－1＜x＜1}D.{x|x＜1且x≠－1}D4.在(0，2π)内，使sinx＞cosx建立的x的取值范围是(2002年广东、江苏、河南ππ5ππ4244

(4)5

分)C.(

π5π,44

)

D.(

π4,π)∪(

5π4

,

3π2

)C5.会合

M＝{x|x

k1＝2＋4，k∈Z}，N＝{x|x

k1＝4＋2，k∈Z}，则(2002

年广东、江苏、河南

(5)5

分)A.M＝N

B.MN

C.NM

D.M∩N＝φB一个圆锥和一个半球有公共底面，若是圆锥的体积恰巧与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是(2002年广东、江苏、河南(6)5分)3433A.4B.5C.5D.－5C7.函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是(2002年广东、江苏、河南(7)5分)A.ab＝0B.a＋b＝0C.a＝bD.a2＋b2＝0D8.已知0＜x＜y＜a＜1，则有(2002年广东、江苏、河南(8)5分)A.loga(xy)＜0B.0＜loga(xy)＜1C.1＜loga(xy)＜2D.loga(xy)＞2D19.函数y＝1－x－1(2002年广东、江苏、河南(9)5分)A.在(－1，＋∞)内单一递加B.在(－1，＋∞)内单一递减C.在(1，＋∞)内单一递加D.在(1，＋∞)内单一递减C10.极坐标方程ρ＝cosθ与ρcosθ＝1的图形是(2002年广东、江苏、河南(10)5分)2A.B.C.D.01x01x11202x02x2B11.从正方体的6个面中采纳3个，其中有2个面不相邻的选法共有(2002年广东、江苏、河南(11)5分)A.8种B.12种C.16种D.20种B12.据2002年3月9日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增添7.3%”，若是“十·五”时期(2001年～2005年)每年的国内生产总值都按此年增添率增添，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为(2002年广东、江苏、河南(12)5分)A.115000亿元B.120000亿元C.127000亿元D.135000亿元C二、填空题(每题4分，合计16分)13.椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2),那么k＝______1_______.(2002年广东、江苏、河南(13)4分)14.(x2＋1)(x－2)7的张开式中x3项的系数是____1008_____.(2002年广东、江苏、河南(14)4分)π315.已知sinα＝cos2α(α∈(2，π))，则tanα＝____－3_____.(2002年广东、江苏、河南(15)4分)x2111716.已知函数f(x)＝1＋x2，那么f(1)＋f(2)＋f(2)＋f(3)＋f(3)＋f(4)＋f(4)＝____2____(2002年广东、江苏、河南(16)4分)三、解答题(6各小题合计74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知复数z＝1＋i，求实数a,b－2年广东、江苏、河南(17)12分)使得az＋2bz＝(a＋2z).(2002此题主要察看复数的基础知识和基本运算技术。满分12分解：∵z＝1＋i∴az＋2b－＋2b)＋(a－2b)iz＝(a(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i－＝(a＋2z)2因为a,b∈R且az＋2bz2∴a＋2b＝a＋4aa－2b＝4(a＋2)相加并整理得：a2＋6a＋8＝0解得：a＝－2或a＝－4对应的b＝－1或b＝2故所求实数为a＝－2,b＝－1或a＝－4,b＝218.设{an}为等差数列，{b}为等比数列，a＝b＝1,a＋a＝b,bb＝a,分别求出{a}及{b}的前10项的和n11243343nnS10及T10.(2002年广东、江苏、河南(18)12分)此题主要察看等差数列、等比数列基础知识，以及运算能力和推力能力。满分12分。解：∵{a}为等差数列，{b}为等比数列，nn∴a2＋a4＝2a3,b23b4＝b3,而已知a2＋a4＝b3,b3b4＝a3,2∴b3＝2a3,a3＝b3.112433313由a1＝1,a3＝知{an}的公差d＝－48∴S10＝10×95510a1＋d＝－2812222213n21031b(1－q)当q＝1＝(2＋2)时，T10＝21－q32211031当q＝－2时，T10＝1－q＝32(2－2)19.四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。(2002年广东、江苏、河南(19)12分)（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60o，求这个四棱锥的体积。（2）证明：不论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90o.本小题察看线面关系和二面角的见解，以及空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。(1)解：∵PB⊥面ABCDBA是PA在面ABCD上的射影，又DA⊥AB,∴PA⊥DAP∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成二面角的平面角。∴∠PAB＝60o而PB是四棱锥P－ABCD的高，PB＝AB·tan60o＝3a1233∴V锥＝33a·a＝3a.BA(2)证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形，CD作AE⊥DP，垂足为E，连接EC，则△ADE≌△CDEAE＝CE,∠CED＝90o,故∠CEA就是面PAD与面PCD所成二面角的平面角。设AC与DB订交于点O，连接EO，则EO⊥AC22a＝OA＜AE＜AD＝a222AE＋EC－(2·OA)(AE＋2OA)(AE－2OA)＜0在△AEC中，cos∠AEC＝2AE·EC＝2AE所以，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90o.22y20.A、B是双曲线x－2＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点(2002年广东、江苏、河南(20)12分)求直线AB的方程；若是线段AB的垂直均分线与双曲线订交于C、D两点，那么A、B、C、D四点可否共圆？为什么？本小题主要察看直线、圆、双曲线劾坐标法等基本知识，以及逻辑推理能力、运算能力和分析解决问题的能力.满分12分.解：(1)依题意，可设直线方程为y＝k(x－1)＋22y2代入x－＝1，整理得2(2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0①11),B(x2212是方程①的两个不相同的实数根，所以2－k2≠0,且记A(x,y,y)，则x、xx1＋x2＝2k(2－k)2－k21由N(1,2)是AB中点得2(x1＋x2)＝1k(2－k)＝2－k2解得k＝1，所易知霰AB的方程为y＝x＋1.(2)将k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0解出x1＝－1,x2＝3由y＝x＋1得y1＝0,y2＝4即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)即y＝3－x代入双曲线方程，整理得x2＋6x－11＝0②记C(x,y3),D(x,y)，以及CD中点为M(x,y)，则x、x是方程②的两个的实数根，所以3440034x3＋x4＝－6,x3x4＝－11进而x0＝2(x＋x)＝－3,y0＝3－x＝61340|CD|＝(x3－x4)2＋(y3－y4)2＝2(x3－x4)2＝2[(x3＋x4)2－4x3x4＝4101∴|MC|＝|MD|＝2|CD|＝210又|MA|＝|MB|＝(x0－x1)2＋(y0－y1)2＝4＋36＝210即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.21.(1)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图1，图2)，要求用其中一块拼成一个正三棱锥模型，另一块拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等。请设计一种剪拚方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；(2)是比较你剪拚的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(2002年广东、江苏、河南、江苏、河南(21)12分)(3)(附加题，若是解答正确，加4分，但全卷总分不高出150分)若是给出的是一块随意三角形纸片(如图，要求剪拚成一个直三棱柱的模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拚方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。图1图2图3本小题主要察看空间想象能力、着手操作能力、研究能力和灵便运用所学知识解决现实问题的能力，满分12分，附加题4分.解：(1)如图(1)，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥.如图

2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的

1，又一组对角4为直角，余下部分沿虚线折起，能够组成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰巧拼成这个正三棱柱的上底.(2)依上面的剪法有V柱＞V锥.推理以下：2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为3设给出的正三角形的边长为4，现在计算它们的高：232＝613h锥＝1－(·2),h柱＝tan30o＝63321363322－3∴V锥－V柱＝(3h锥－h柱)·4＝(9－6)·4＝24＜0V柱＞V锥.如图3，分别连接三角形的心里与各极点，获得三条线段，在以这三条线段的中点为极点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过心三角形的三个极点向原三角形三边做垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，能够拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可获得直三棱柱模型.注：考生如有其他的剪拼方法，可比较本标准评分.图1图2图322.已知a＞0，函数f(x)＝ax－bx2(2002年广东、江苏、河南、江苏、河南(22)14分)当b＞0时，若对随意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2b；(2)当b＞1时，证明：对随意x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；(3)当0＜b≤1时，讨论：对随意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件。此题主要察看二次函数、不等式等基础知识，以及逻辑推理能力、运算能力和灵便、综合应用数学知识解决问题的能力.满分14分.(1)证：依题设，对随意x∈R，都有f(x)≤1∵f(x)＝－b(x－a)2＋a22b4b2∴f(a)＝a≤12b4b∵a＞0,b＞0，∴a≤2b.(2)证：必要性：对随意x∈[0,1]，|f(x)|≤1－1≤f(x)于是－1≤f(1)，即a－b≥－1所以a≥b－1∵对随意x∈[0,1]，|f(x)|≤1f(x)≤1∵b＞1，可获得f(1)≤1b1即a·－1≤1ba≤2bb－1≤a≤2b.充分性：因为b＞1，a≥b－1，对随意x∈[0,1]，能够推出ax－bx2≥b(x－x2)－x≥－x≥－1