陕西省2023年数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（）A．50% B．30% C．10% D．60%2．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A． B． C． D．33．已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④4．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n其中正确的命题是（）A．②③ B．①③ C．①④ D．③④5．已知点G为的重心，若，，则=()A． B． C． D．6．设，，在，，…，中，正数的个数是（）A．15 B．16 C．18 D．207．已知是第二象限角,（）A． B． C． D．8．等差数列中，，则的值为()A．14 B．17 C．19 D．219．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．在中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值是（）A．8 B．6 C． D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知三棱锥外接球的表面积为，面，则该三棱锥体积的最大值为____。12．已知直线平分圆的周长，则实数________．13．已知一扇形的半径为，弧长为，则该扇形的圆心角大小为______.14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数应为________.15．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______.16．设数列的前项和，若，，则的通项公式为_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．驻马店市政府委托市电视台进行“创建森林城市”知识问答活动,市电视台随机对该市15～65岁的人群抽取了n人,绘制出如图1所示的频率分布直方图,回答问题的统计结果如表2所示.（1）分别求出a,b,x,y的值；（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人,则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人?（3）在(2)的条件下,电视台决定在所抽取的7人中随机选2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率.18．某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：表1：生产能力分组人数48x53表2：生产能力分组人数6y3618①先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）图1A类工人生产能力的频率分布直方图图2B类工人生产能力的频率分布直方图19．已知，，．(1)求关于的表达式，并求的最小正周期；(2)若当时，的最小值为，求的值．20．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点为线段上靠近点的三等分点．求点的坐标：若点在轴上，且直线与直线垂直，求点的坐标．21．某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：甲班：82848589798091897974乙班：90768681848786828583(1)求两个样本的平均数；(2)求两个样本的方差和标准差；(3)试分析比较两个班的学习情况．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加，计算得到答案.【详解】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加甲、乙下成平局的概率为：故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件的概率，意在考查学生对于概率的理解.2、A【解析】

首先根据三视图画出几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：故：V．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．3、C【解析】

①，为“保比差数列函数”；②，为“保比差数列函数”；③不是定值，不是“保比差数列函数”；④，是“保比差数列函数”，故选C.考点：等差数列的判定及对数运算公式点评：数列，若有是定值常数，则是等差数列4、C【解析】

根据线线、线面和面面有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于①，两个平面的垂线垂直，那么这两个平面垂直.所以①正确.对于②，与可能相交，此时并且与两个平面的交线平行.所以②错误.对于③，直线可能为异面直线，所以③错误.对于④，两个平面垂直，那么这两个平面的垂线垂直.所以④正确.综上所述，正确命题的序号为①④.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.5、B【解析】

由重心分中线为，可得，又（其中是中点），再由向量的加减法运算可得．【详解】设是中点，则，又为的重心，∴．故选B．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是掌握三角形重心的性质，即重心分中线为两段．6、D【解析】

根据数列的通项公式可判断出数列的正负，然后分析的正负，再由的正负即可确定出，，…，中正数的个数.【详解】当时，，当时，，因为，所以，因为，，所以取等号时，所以均为正，又因为，所以均为正，所以正数的个数是：.故选：D.【点睛】本题考查数列与函数综合应用，着重考查了推理判断能力，难度较难.对于数列各项和的正负，可通过数列本身的单调性周期性进行判断，从而为判断各项和的正负做铺垫.7、A【解析】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.8、B【解析】

利用等差数列的性质，.【详解】，解得：.故选B.【点睛】本题考查了等比数列的性质，属于基础题型.9、D【解析】

用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得．【详解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用．10、D【解析】，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA，①而条件中的“高”容易联想到面积，bcsinA，即a2＝2bcsinA，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.【详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为.【点睛】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题.12、1【解析】

由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a）在直线上，所以.故答案为1【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13、【解析】

利用扇形的弧长除以半径可得出该扇形圆心角的弧度数.【详解】由扇形的弧长、半径以及圆心角之间的关系可知，该扇形的圆心角大小为.故答案为：.【点睛】本题考查扇形圆心角的计算，解题时要熟悉扇形的弧长、半径以及圆心角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14、3【解析】

先由频率之和等于1得出的值，计算身高在，，的频率之比，根据比例得出身高在内的学生中抽取的人数.【详解】身高在，，的频率之比为所以从身高在内的学生中抽取的人数应为故答案为：【点睛】本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题.15、【解析】

利用等差数列的性质以及等差数列奇数项之和与中间项的关系进行化简求解.【详解】因为是等差数列，所以，又因为为等差数列，所以，故．【点睛】（1）在等差数列中，若，则有；（2）在等差数列.16、【解析】

已知求，通常分进行求解即可。【详解】时，，化为：．时，，解得．不满足上式．∴数列在时成等比数列．∴时，．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）0.9，0.36，270，90；（2）2人,3人,1人,1人；（3）1121【解析】

（1）先计算出总人数为1000人，再根据公式依次计算a,b,x,y的值.（2）根据分层抽样规律得到从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人（3）排出所有可能和满足条件的情况，得到概率.【详解】（1）依题和图表：由0.010×10×n=500.5得：由0.020×10×n=180a得：由0.030×10×n=x0.9得：由0.025×10×n=90b得：由0.015×10×n=y0.6得：故所求a=0.9，b=0.36，x=270，y=90.（2）由以上知:第二、三、四、五组回答正确的人数分别为:180人,270人,90人,90人用分层抽样抽取7人,则:从第二组回答正确的人中应该抽取:7×180从第三组回答正确的人中应该抽取：7×270从第四组回答正确的人中应该抽取:7×90从第五组回答正确的人中应该抽取:7×90故从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人；（3）设从第二组回答正确的人抽取的2人为:2a,2b，从第三组回答正确的人抽取的3人为:3a,3b,3c从第四组回答正确的人抽取的1人为:4a从第五组回答正确的人抽取的1人为:5a随机抽取2人,所有可能的结果有:(2a,2b)，(2a,3a)，(2a,3b)，(2a,3c)，(2a,4a)，(2a,5a)，(2b,3a)，(2b,3b)，(2b,3c)，(2b,4a)，(2b,5a)，(3a,3b)，(3a,3c)，(3a,4a)，(3a,5a)，(3b,3c)，(3b,4a)，(3b,5a)，(3c,4a)，(3c,5a)，(4a,5a)，共21个基本事件，其中第二组至少有1人被抽中的有：(2a,2b)，(2a,3a)，(2a,3b)，(2a,3c)，(2a,4a)，(2a,5a)，(2b,3a)，(2b,3b)，(2b,3c)，(2b,4a)，(2b,5a)共这11个基本事件.故抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率为：1121【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的应用能力和计算能力.18、（1）25,75（2）①5,15，直方图见解析，B类②123，133.8，131.1【解析】

（1）先计算抽样比为，进而可得各层抽取人数（2）①类、类工人人数之比为，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出和即可．画出频率分布直方图，从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小②取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数.【详解】（1）由已知可得：抽样比，故类工人中应抽取：人，类工人中应抽取：人，（2）①由题意知，得，，得．满足条件的频率分布直方图如下所示：从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小．②，类工人生产能力的平均数，类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1【点睛】本题考查等可能事件、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力．19、（1）,；（2）.【解析】

（1）根据向量数量积的坐标运算及辅助角公式得：，并求出最小正周期为；（2）由，得到，从而，再根据的最小值为，求得.【详解】（1），所以.（2）当时，则，所以，所以，解得：.【点睛】本题考查向量与三角函数的交会，求函数的最值时，要注意整体思想的运用，即先求出，再得到.20、（1）（2）【解析】

（1）由题意利用线段的定比分点坐标公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出点P的坐标．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出点Q的坐标．【详解】设，因为，所以，又，所以，解得，从而．设，所以，由已知直线与直线垂直，所以则，解得，所以．【点睛】本题主要考查了线段的定比分点坐标公式，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题，着重考查了推理与运算能力．21、（1）