教师版空间几何体知识点及题型精选总结

一、空间几何体题型精选讲解题型一空间几何体的基本概念的考察1、下列命题中正确的是 ()A．以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥底面圆的半径解析：A符合圆锥的定义．B不符合圆台的定义．C中圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面，不是圆．D中圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长．所以选A.答案：A题型二三视图的考察1、(2009·海南、宁夏)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为（)A．48＋12eq\r(2)B．48＋24eq\r(2)C．36＋12eq\r(2) D．36＋24eq\r(2)解析：根据三视图可知，这个三棱锥的一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于底面．其直观图如图所示，其中PD⊥平面ABC，D为BC中点，AB⊥AC，ED⊥AB.连结PE，由于AB⊥PD，AB⊥DE，故AB⊥PE，即PE为△PAB的底边AB上的高．在直角三角形PDE中，PE＝5，侧面PAB，PAC的面积相等，故这个三棱锥的全面积是2×eq\f(1,2)×6×5＋eq\f(1,2)×6×6＋eq\f(1,2)×6eq\r(2)×4＝48＋12eq\r(2).故选A.答案：A(2011·辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4 B．2eq\r(3)C．2 D.eq\r(3)解析：设正三棱柱底面边长为a，利用体积为2eq\r(3)，容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为eq\r(3)，故所求矩形的面积为2eq\r(3).答案：B题型三平面图的直观图（斜二测面法）如图所示的直观图，其平面图形的面积为 （） A．3B.eq\f(3\r(2),2)C．6D．3eq\r(2)解析：由斜二测作图法，水平放置的△OAB为直角三角形，且OB＝2O′B′＝4，OA＝O′A′＝3，则S＝eq\f(1,2)×4×3＝6.答案：C2、如图所示为一平面图形的直观图，则这个平面图形可能是 （）解析：由平行于x、y轴的直线仍然平行知C正确．答案：C题型四其他类型：展开、投影、截面、旋转体等1、面积为eq\r(3)的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是________．解析：设等边三角形的边长为l，则旋转所得的圆锥的母线长为l，底面圆的半径为eq\f(l,2)，如图a，图b.因为S正三角形＝eq\r(3)，所以eq\f(\r(3),4)l2＝eq\r(3)，即l＝2.所以圆锥侧面积为S侧＝eq\f(1,2)πl2＝2π.答案：2π2、如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，交于顶点A的三条棱长分别为AD＝3，AA1＝4，AB＝5，则从A点沿表面到C1的最短距离为 ()A．5eq\r(2)B.eq\r(74)C．4eq\r(5)D．3eq\r(10)解析：长方体可分别沿三条边B1B、A1B1、BC展开，展开后为三个不同矩形，对角线为最短距离，分别为4eq\r(5)，eq\r(74)，3eq\r(10)，因此，此题选B.3、已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离为()A．1B．2C．1或7D．2或6解析：由截面周长为6π和8π，知两截面圆半径分别为3和4，所以两截面可在某条直径的同侧或异侧．同侧时，所求距离为eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；异侧时，所求距离为eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.二、简单几何体的表面积与体积题型精选讲解题型一与三视图相结合1、(2010·天津)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________解析：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，由正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积为eq\f(1,2)(1＋2)×2×1＝3.2、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为eq\r(5)，则该几何体的体积是： A.eq\f(4π,3) B．2πC.eq\f(8π,3) D.eq\f(10π,3)解析：这个几何体是一个底面半径为1，高为2的圆锥和一个半径为1的半球组成的组合体，故其体积为eq\f(1,3)π×12×2＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4π,3).故选A题型二内接与外接的知识1、(2008·福建)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为eq\r(3)，则其外接球的表面积是________．解析：考查空间想象能力和创新能力．以已知三棱锥的三个侧面为侧面，可作一个棱长为eq\r(3)的正方体．已知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，易求半径和表面积．2、(2011·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的eq\f(3,16)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目．由圆锥底面面积是这个球面面积的eq\f(3,16)，得所以eq\f(r,R)＝eq\f(\r(3),2)，则小圆锥的高为R－eq\f(R,2)＝eq\f(R,2)，大圆锥的高为R＋eq\f(1,2)R＝eq\f(3R,2)，所以比值为eq\f(1,3).题型三表面积与体积综合问题1、(2010·全国)已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝2eq\r(3)，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ()A．1B.eq\r(3)C．2D．3解析：设底面边长为a，则高h＝eq\r(SA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))2)＝eq\r(12－\f(a2,2)).所以体积V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)eq\r(12a4－\f(1,2)a6).设y＝12a4－eq\f(1,2)a6，则y′＝48a3－3a5，当y取最值时，y′＝48a3－3a5＝0，解得a＝0(舍去)或a＝4时，体积最大，此时h＝eq\r(12－\f(a2,2))＝2.2、如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时，圆的半径是 ()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(2,3)解析：本题考查三视图及锥体的体积计算．设底面半径为r，高为h，又r2＋h2＝1，则V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(1－h2)h，当h＝eq\f(\r(3),3)，即r＝eq\f(\r(6),3)时，体积最大，故选C.补充知识：1．平行于棱锥底面的截面的性质棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥，有如下比例性质：eq\f(S小锥底,S大锥底)＝eq\f(S小锥全面积,S大锥全面积)＝eq\f(S小锥侧,S大锥侧)＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比．注：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积的比时，会大大简化计算过程；在求台体的侧面积、底面积的比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．有关棱柱直截面的补充知识在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的上、下底面就是直截面．棱柱的侧面积与截面周长有如下关系：S棱柱侧＝c直截l(其中c直截、l分别