高中数学思想与逻辑11种数学思想方法与例题讲解

高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题解说高中数学转变化归思想与逻辑区分思想例题解说在转变过程中，应依照三个原则：1、熟悉化原则，立刻陌生的问题转变成熟悉的问题;2、简单化原则，立刻复杂问题转变成简单问题;3、直观化原则，立刻抽象老是详细化.策略一：正向向逆向转变一个命题的题设和结论是因果关系的辨证一致，解题时，若是从下面下手思想受阻，不如从它的正面出发，逆向思想，经常会还有捷径.例1：四周体的极点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141剖析：此题正面下手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其他3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转变从局手下手，顺序渐进地剖析问题，是常用思想方法，但对较复杂的数学识题却需要从整体上去掌握事物，不瓜葛细节，从系统中去剖析问题，不只打独斗.例2：一个四周体所有棱长都是，四个极点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、剖析：若利用正四周体外接球的性质，结构直角三角形去求解，过程冗长，简单犯错，但把正四周体补形成正方体，那么正四周体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，由于正四周体棱长为，所以正方体棱长为1，进而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转变又称类比转变，它是一种培养知识迁徙能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知重点信息，锁定相像性，巧妙进行类比变换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式(成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.剖析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，由于，故成立.二、逻辑区分思想例题1、已知会合A=，B=，若BA，求实数a取值的会合.解A=：分两种情况讨论(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元会合，B=，此时又分两种情况讨论：(i)B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求会合为.例题2、设函数f(x)=ax-2x+2，关于知足1≤x≤4的所有x值都有f(x)≥，0求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.【剖析】于是能够知道解此题必定分类讨论，其区分点为.小结：分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准一致、不重不漏，不越级讨论.;(3)逐类讨论，获取阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反应到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过归纳后产生的实质认识;基本数学思想则是表现或应当表现于基础数学中的拥有确定性、总结性和最宽泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精髓和现代数学思想的基本特点，并且是历史地发展着的。经过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。1、函数方程思想函数思想，是指用函数的见解和性质去剖析问题、转变问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系下手，运用数学语言将问题中的条件转变成数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混淆组)，尔后经过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转变、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实责问题→数学识题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充满着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值问题是经过解方程来实现的等等;不等式问题也与方程是近亲，亲密有关。列方程、解方程和研究方程的特点，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描绘了自然界中数量之间的关系，函数思想经过提出问题的数学特点，成立函数关系型的数学模型，进而进行研究。它表现了“联系和变化”的辩证唯物主义见解。一般地，函数思想是结构函数进而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单一性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们娴熟掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的详细特点。在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，结构出函数剖析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的重点。对所给的问题察看、剖析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，结构出函数原型。其他，方程问题、不等式问题、会合问题、数列问题和某些代数问题也能够转变成与其有关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识波及的知识点多、面广，在见解性、应用性、理解性都有必然的要求，所以是高考取察看的重点。我们应用函数思想的几种常有题型是：碰到变量，结构函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数见解加以分析;含有多个变量的数学识题中，选定合适的主变量，进而揭示其中的函数关系;实质应用问题，翻译成数学语言，成立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都能够看作n的函数，数列问题也能够用函数方法解决。2、数形联合思想“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形联合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相联合，比方对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在剖析几何里最常用。比方求根号((a-1)^2+(b-1)^2)+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值，就能够把它放在坐标系中，把它转变成一个点到(0，1)、(1，0)、(0，0)、(1，1)四点的距离，就能够求出它的最小值。3、分类讨论思想当一个问题由于某种量或图形的情况不相同而有可能惹起问题的结果不相同时，需要对这个量或图形的各样情况进行分类讨论。比方解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。4、方程思想当一个问题可能与某个方程成立关系时，能够结构方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。比方证明柯西不等式的时候，就能够把柯西不等式转变成一个二次方程的鉴别式。5、整体思想从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的剖析和改造，发现问题的整体结构特点，善于用“集成”的目光，把某些式子或图形看作一个整体，掌握它们之间的关系，进行有目的的、存心识的整体办理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有宽泛的应用，整体代入、叠加叠乘办理、整体运算、整体设元、整体办理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学识题中的详细运用。6、化归思想在于将未知的，陌生的，复杂的问题经过演绎归纳转变成已知的，熟悉的，简单的问题。三角函数，几何变换，因式分解，剖析几何，微积分，以致古代数学的尺规作图等数学理论无不浸透着转变的思想。常有的转变方式有：一般特别转变，等价转化，复杂简单转变，数形转变，结构转变，联想转变，类比转变等。转变思想亦可在狭义上称为化归思想。化归思想就是将待解决的或许难以解决的问题

A经过某种转变手段，转变成有固定解决模式的或许简单解决的问题

B，经过解决问题

B来解决问题

A的方法。7、隐含条件思想没有明文表述出来，可是依照已有的明文表述能够推断出来的条件，或许是没有明文表述，可是该条件是一个常例或许真理。比方一个等腰三角形，一条线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也均分底边和顶角。8、类比思想把两个(或两类)不相同的数学对象进行比较，若是发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或近似之处。9、建模思想为了更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性地描绘一个实质现象，人们采用一种宽泛以为比较严格的语言来描绘各样现象，这种语言就是数学。使用数学语言描绘的事物就称为数学模型。有时我们需要做一些实验，但这些实验经常用抽象出来了的数学模型作为实质物体的取代而进行相应的实验，实验自己也是实质操作的一种理论取代。10、归纳推理思想由某类事物的部分对象拥有某些特点，推出该类事物的所有对象都拥有这些特点的推理，或许由个别事实归纳出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳)，简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理其他，还有概率统计思想等数学思想，比方概率统计思想是指经过概率统计解决一些实责问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合剖析等等。其他，还能够用概率方法解决一些面积问题。我来举例子~~图中有角均分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称此后关系现。角均分线平行线，等腰三角形来添。角均分线加垂线，三线合一试一试看。线段垂直均分线，常向两头把线连。要证线段倍与半，延伸缩短可试验。三角形中两中点，连结则成中位线。三角形中有中线，延伸中线等中线。平行四边形出现，对称中心均分点。梯形里面作高线，平移一腰试一试看。平行搬动对角线，补成三角形常有。证相像，比线段，添线平行成习惯。等积式子比率换，搜寻线段很重点。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比率中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有所有线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线认真辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角均分线梦圆若是碰到订交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点必然在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。协助线，是虚线，绘图注意勿