动力学课后答案总结

yltan，其中kt将运动方程对时间求导并将300

cos2

cos2

3

2lk2sin83lkcos383lkyaatany设质点的速度为v，由图可知cosvy将vycan

，所以v

aanvy

v3 22

，

asinaaa3所以：a3yy解：设初始时,绳索ABL,时刻t时的长度s,则有关系式：sLv0t

s2l2x

00

v2

0v2l0

0 （负号说明滑块A的加速度向上） maFFN

x2x2l

,sin

v2l ,0xx2x2l0Fm(g0

v2lBABvBR，由于绳子始终处于拉直状态，A、BA、BvBvA

x2x2cosx

x2xvx2x

（c）

x2

Rx，将该式两边平方可得将上式消去2x后，可

2R4

2R4

aA(x2R2maF

BABAOR

sinRx

cos

x2x2

2R4x2m2R4x2F 5

FNmg

m2R5x5(x2R2)2 (x2R2)2动系：OC杆；vavevacosveAB杆平动，所以vav

vcos2由此可得：v ，OC杆的角速度为

，OA

，所以l当

时，OCC

vC

avcos2M1：圆盘2：OA杆

va1ve1vr1

va2M的绝对速度与动系的选取无关，即va2va1ve1vr1ve2

将（a）式在向在x轴投影,

sin300

sin300

0vr2tan0ve2

0bsin0(21)cos2300(39)0.4m/bsin0v2 rv2 r

0.529m/C动系：O1A杆；相对运动：直线运动（平行于O1A杆va

vr

a ， vcos300v vsin300a ， ve

，

1，

R0.5ea aea

a

e将（b）式在垂直于O1Aeasin300atcos300ansin300 aR an2R 其中：

， 1，

3ae 3a 解：由于ABMvAvM aAaM；动系：OC摇杆；

vr

，vrve 11

22

ananeaananeaaaaaataaa

a

ee将上式沿aCeeatcos450ansin450atv8m/s2v8m/s2，根据上式可得r由于an2l16m/s2a

b1m/s2， 2 2

a 1-

aa3

1a

解：取小环M，OABBMBMAO

vOM 2r vave vtanv2rtan600

，vrBMBMA2ae2

r 2r aC

aaaearxaacosaecosaC,由此求得

14rOB相对汽车AAB的速度。OA（Ox’y’牵连运动：定轴转动（汽车AO做定轴转动）vaanOvaveanO因 vrve

vB

veRB

vAR

RBv

3809AA质量为mMr的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速v向上运动，不计摩MOMOMOM解：销钉M上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约FO（如图所示。由于销钉M的运动是给定的，所以先OMOOM由此可求出：v

Mvavea 由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以ae0aatanav v

v2aaaa因 aaaa

ar

rcos2

tantan

rcos3

m(atan)F

m(atsinancos)

FOrcos4M的关系式。MMmarFmg matmlmgsin

Fe

mldmgsinmacos

l2gcosasin2其中c为积分常数（由初始条件确定，因为相对速度vrl初始时

va

vrgcosasinv，根据速度合成定理可知vr

，由此确定cg

rv22l[g(cos1)asinr8ORORRO时的相对速度。marFFe将上式在

rr

m

FmR2dvr

dR rmvcosdvrr

vr

R

1v212R22 R

v ,由此确定积分常数c12R2 R2R2OPMxy

形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度转动，如图所示MMMM解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为ar0，因为金属丝为曲线，所以vr0

eFe

FFeP以为tan

，y2x2

,dy2 2

PFsinFeFcos

tan22tan

（c，并利用

xyc2 1c42

c2gx

,y g g11tan2x1c11tan2x1c41c2 g

f足够大时，平台F系统的动量：pm2vrxpxm2

m2bF

f

m2f

m2

AB

m2(m1m2

时，平台ABpm2(vvr)将上式在x轴投影有pxm2(vvr)m1(v)m2bt(m1m2

mb

m)a a

m2bm1m2

fg（方向向左Ax坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中Fpmvm1v1mvm1(vvrvvxv

(mm)xml2sinF 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为mvt，提起部分的速度为v，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为vr，方向向下，大小为v（a所示。y mdvF(t)mg

dmF(t)(vt)gvy

r mdvF(t)(vt)gv由于dv0F(t)(vgtv2FNl mdvFmgmm0qtF(mqt)dvfvmg

x(mqtdvfvq(v fln(qvrfv) fcln(qvr

qln

qv mqtfv r1( )qf 2-8azJ，质量为mR的圆周运板的速度大小为u（常量。圆盘中心到转轴的距离为l。质点在方板上的位置由确定。初始时，0Mo的角速度为零，求方板的角速度与Mo图图zzL，其角速度为L1ML2Mvevr。相对速度OMML2L2(mva)L2(mve)L2(mvr

vevr

L(mv)mr2m[(lRcos)2(Rsin)2 L(mv)m(lRcos)vcosmRsin2

L1L2。初始时，0,0vru，此时系统对zL0m(lLJm[(lRcos)2(Rsin)2]m(lRcos)ucosmRsin2[J(l2R22lRcos)m](lcosLL0 ml(1cos)u Jm(l2R2 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画O轴的动量矩lOlO

LO

(2ar)r

Fll

(2ar)r2 l(ax)grl(a [J(2ar)r2] 2gr令2 lO (2ar)rlOxcetc t0x

可以确定积分常数

x02x

prsinrd2r22

pyl(ax)rl(ax)r2lxr2lxF0yF0yPl(2a

2rx

P(2ar)g22x

， T1mv21mv CvAvCABC若vABACvcvAcotT1mv21mcot2v21(mmcot2 AdTWd1(m

cot2)v2(mA

cot2

mgvA

advA

，aC

质量为m0RAm(m0光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在AB

ve，则系统的动能为T1mv21mv21mv21m[(vvsin)2(vcos)2 0 0 设0V根据机械能守恒定理和初始条件有TV03mv21

vsin)2

pxm0vem(vevrsin

3mvem(vevrsin)1由此求出v 1

sin，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且

4

vr

ve小球的相对物块的加速度为

，物块的加速度为aemam(aanat)F

AABAB图AB图m0aeFm0g

m(anacos)Fmg rr

v

m0aeF0FNm0gFsin令300 R。每个小球应用动能定理有：1m(R)2mgR(1cos)将上式对时间t

mmanm0am(bmmaatammmi

ym02m(RsinR2cos)F2mgm Fmg2mg(3cos22cos FN0时对应的3cos22cosm0113上述方程的解为：113311113圆环脱离地面时的值为1 11而2

113也是方程的解，但是1113

，牵连速度为vezLmr2mvrmvcosrzvev zvevver (mm)r2mvcos mv v由此解得： (m0

m0m

，tan根据动能定理积分式，有：T2T1T T1mr221

r raev2ae

cos)2

sin)2，将其代入动能定理的积分式，可得1cos2 mr22m[(rvcos)21cos2 将vr

vr 1cos2aev2ae

cos)2

sinr1rvav[1(2cosr2r OLrOOO gr2O

rrgr0gr2grcos0gr2gr2

dv

v d rvr

ggvdvrg(sin积分上式可得：1v2rg(121由初始条件确定积分常数cgrvgr(22cos2 B为动点，OA杆为动系vave vcos300vl vB

v23 vA

， 43 再取套筒D为动点，BCvDvBCxvDvBCvDr vA0O1A450cm/CC

32vBABBCOB杆的角速度为

154PABI的接触点，vPABI的角速度为：

ABA为基点vBvAv将上式在AB11

vB

OB

1 B点作圆周运动，此时速度为零，tnaBatn将上式在AB

cos600

，，

0A0 aB 32（瞬时针0A0

IIAyxtnaBayxtntnatnxnacosnaa1acosII

asina asin

2r2再研究齿轮IIAa an a a yata

t

asin aa

O2 再将基点法在x轴上投影有：

anO2O

anacosa an(rr)又因为OO1

acosacos 卷筒作平面运动，C为速度瞬心，其上D点的速度为v

RrO

R

R

vOR

ROB

aO

vRR

aRRBOCtnaBBOCtnx,y

aa a

aa

aR同理，取OCaC

x,y

a aCy(Rr)2 vBvAOAAB杆的角速度：ABP点，圆盘的

C

BPC

BtAB杆上的A、B两点均作圆周运动，取A为基点 BtBB aBB

a

a xaBBaaBB

v2Br a B rat

BC由于 ，所以圆盘的角加速度 BCn圆盘作平面运动，取B为基点，根据基点法有naC

aC

8(an)2(an(an)2(anB和加速度。ABP，AB杆的角速度为：

C

ABPCABC为动点，vavevevC，va

3AB杆作平面运动，其A an

a 0.8m/s2 CBC 0.5aCBCABC为动点，aaaear其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB加速度，即：a加速度，即：acos30acos30acos30将上述在垂直于AB杆的轴上投影有： 科氏加速度aK2ABvra2 3-14：取圆盘中心O1为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为BABAvave速度图如图Aveu，Oa Oa1

vr

图 BA再研究圆盘，取O1为基点根据基点法有：BA11vBvO11 sin300rsin300 1

cos300 vB

vv vBO1点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心O1为动点，半圆盘为动系，根据加速度aaana

vn uyxOaraa其加速度图如图C所示，yxOaraa R x 0atsinan y aatcosan 图rar

2ur

ta，圆盘的角加速度为：ra r下面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象，O1为基点，应用基点 有1aB1

a1

cos300a1

O1O

sin300a1

ana

2r

BOB 图rurur3－15（b）BC杆为动系（瞬时平移A为动点（匀速圆周运动。vaveve

tan300

3BC

ve

333－15（d）BC杆为动系（平面运动vaveOP8r,CP16 将速度合成定理在x,y轴上投影vaxvexvrxvrO2PvayveyvryveyO2A由此解得

1,

(23

32DCvCCP

4r t12r r3- aa anatana a BC杆瞬时平移,BC0,上式可表示成0anatsin由此解得 1 再研究套筒A,BC杆为动系（平面运动A为动点（匀速圆周运动aA

aear

其中aK

,aKntnt

ae

aa

aa牵连加速度为

eC aA

y轴上投影

cos300

cos300aC由此求得C (123)2r y BCA为动点，A的牵连加速度为ytnaetntaat

其中aKA的科氏加速度。y轴上投影有aCacos300aC

cos300a

2rcos300acos300 AC

1,

(23

32（

BCBCC点为动点，套筒O2aaCaCa'ea'r其中a

a

xyCOxyay

cos300a2

BCacos300 CO BC

C C

39

BC

38 ABP，P均在以O为圆心，R为半径的圆周上，并且A、O、P在同一直径上。由此可得AB杆任何时刻的角速度均为

BvB

ABPB

ORxvORxAB

vA AnaBan

x,y ancos n

vv aByaAaBAsin45 a a a DCCAB

vCe根据几何关系可求vCeDCDAB

vDeBD杆相对动系平移，因此vCr

sin300

2

32CyxaCaCaaCeaCryxy0aCesin300aCrcos300aCKsinaCr3再研究D aDaDaaDeaDrBD杆相对动系平移，因此

x,y

sin300

cos30092 cos300 sin30033 由于圆盘纯滚动，所以有aC

Fcos0FNFsinm2Fr Fr(rcosr0 m(r22

，

mgF(2cosrrF r2FSmgFsinF(2cosrr

f (mgFsin)(r22

研究AB杆，BD绳剪断后，其受力如图所示，ABC的加速度铅垂。maCmg1ml

lcosPAB作平面运动，运动初始时，角速度为零。A点的加速度水平，ABP点。PaC

lAB 2 设板和圆盘中心Oa1,

，圆盘的角加速度为的接触点为A，则AtnaAtnRAaRA

R

m2aO

12

R

m1a1FFS

(dFS

f(m1m2

由(abcd)e)a3F3f(m1m21 3m12PPT1mv21J21mv21J 21 2C 2 2A

l vAABlsinl

R 1ml

1mR2lsinT m

m(lsin)2 12

2

1ml223ml22sin2 系统从450位置运动到任意ll

m1

T2T1初始时系统静止，所以T101ml223ml22sin2

0sin

m1g2(sin

m1g2将上式中消去可得：

m1g2根据初始条件0,450AB

32m1(4m19m2因为0ABABABca点，AB3－33设碰撞后滑块的速度、ABm1vAm2vC

vCABlvCvl

LAMA(ILm l1ml 2C m l

1ml

2C

vA

LALA(AC)LA(BC其中：ACALA(AC

1ml 设C1BC杆的质心，BCALA(BC

3lC1

1ml

l

l

LA

11ml

5ml

CBCBBCCL l1ml

1ml

1ml C1

根据冲量矩定理LClI有 1ml

联立求解（a）,(b)

km3m通过完全塑性碰撞后一起向下运动，(m1m3)v2ghv2gh2m3m 2gh2ghv2 。根据动能定理T2T1W12mgh2

2mg(k

)

m2g

k2

3m2g

2mg

k2若使m2

h代入上式求得

h， 注：上述结果是在假设m3mm3mh

ABAO点重合，当t0t0A为v，角速度为，初始时受到冲击力的作用，应用对固定点O的冲量矩定理可1LOmvCl1

vAlvABAB当t

时，滑块A以加速度a3l2asingcos3C是积分常数由初始条件0,C 23

asingcos

g

下面求f()

f()asin将上式求导令其为f'(acosgsin0求得极值点为tan*g当当

a2g22la2g23

g

g

a2a2g

gaa2g3v28l(g

a2g2P 图示瞬时，AB杆的加速度瞬心位于P点，设其角加速度为AB，则质心加速度为：PaC

ABCP

AB

ABM

1ml MP

cos l2lF

3gcosAFmg(13cos2)AF

FAmgFCIcos

F3mgsincos FCIsinFB （1）取ABC

Fx

mgsin300FIC gsin300ICC无水平方向的作用力，其加速度铅垂向下，AB杆平移，AD，如图所示。两者加速度的关系为

asinAmCaC,A

mABaA,mmABFx

mgsin300

sin300由此求得：aA aC asin

mCaCx

mCFx

F

FmCFy

FNFCIymCgFN

gmC

FfFNAmCaCxA

f(mgmasin300 C即：a C

f(gasin300Fx'mgsin300

sin300

AB Cmgsin300 amasinAB C mf(gasin300) Aa0.6776gAaCx

f(gasin300) asin300 ，CaC （1）研究ABFnm 2 Ft 2 MI

1

M Fn2rMFr0，F1mr(32) F Fncos450Ftcos450

1mr(2)IIB IIB

yFy

Fnsin450Ftsin450

0

（2）

0，必有32，因此当6rad/s2

设OA杆和AB杆的角加速度分别为OA,AB。将各杆的惯性力向各自质心简化

lOA

AB

MO0ABM

mgl I2 IFIFIACB ABACBaC

ABC的惯性力为：

Fnm211

2，

MIA

MIC1，1ACMPAC

AB

MA

P

再根据初始条件：0,

确定C0，由此可得

v21mr22 A

vA

v v再利用

(1

sin2

g

当

,

ACPACP(13

sin2

sin5

g当900,可求得

AB杆铅垂时，A0aAArMA0，Fr

PFPAFyAFN2mgFICFN2mg

此瞬时ABvAvBAB杆的角速度为零，且AA

BABana

cos300 ABCAB杆，aC

AB

M

1ml Fx0

sin300FBFB

sin300

sin300CMAC

Flcos300

ICFIC

2

0l lFB 图示瞬时，ABPOA、AB杆的质心分别为C1C2

r

3ar

A 0

2r

a BP 3

，33P2P2

ma

3mrM

12 2

23mr2090M

sin300 rBrC2rAr2M2

sin300r

rFr(M 因为0

M

sin300r

rFr，2222PM PABMA rsin300 2rcos3002mgrcos 2 FrFrmg2rcos300 2 2mg 3F2m2r 5-210kg的加速度a2及绳的拉力。

8kg

假设重物M2的加速度a2的方向竖直向下，则重物M1的加速度a1竖直向上，两个重物惯性力FI1 为FI1M1

FI2M2

该系统有一个自由度，假设重物M2有一向下的虚位移x2，则重物M1的虚位移x1竖直向上。由动力学普遍方律x1 a1

2

将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意x20a4M22M1g2.8(m/s22 4M21方向竖直向下。取重物M2为研究对象，受力如图所示， TM2gTM2T解得绳子的拉力T56.1(NT1m[(lR2取

Vmg[Rsin(lR)cos

d(L)LL

，代

dt

5-6ms4bsins是O为原点的弧坐标，是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质点的运动规律。2hS0hVdhsin

2h ssds 0 则日函数LTV1mS2mgS 代 日方程 ) 0，整理得摆的运动微分方程为：S

gS0dt SA2

gt

)，其中

M。圆环（质量不计）以匀角速度AB转动，该系统有一个自由度，取角度为 取0Vmgr(1cos则日函数d(L)L代 日方程：

(g2cos)sinr如果求力偶M，必须考虑圆环绕铅垂轴ABAB匀速转动”这一约M达式中以代替， 力偶M为非 ，它对应于广义坐标和的广义力计算如下取0,0M所作的虚功为[W]0M对应于广义坐标Q；MQ；取0,0M所作的虚功为[W]MM对应于广义坐标QM[W]Q 广义 d(L)LQM代 日方程

rd(L)LQMdt 代 日方 5-14m的物体可绕水平轴O

转动，轴O

又绕铅垂轴OC以匀角速度转动。物体G在垂直于O

。设O

和O3G是物体过OJ1J体对另一过O3J3，试求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。O1O2 θG是以该物体为研究对象，有一个自由度，取O3GOC的夹角为广义坐标。若以框架O1O2OC是 O角速度

的定轴转动牵连运动是以角速度绕OC轴的定轴转动物体的绝对角速度 ω的矢量之和。为了方便起见，以O体的角速度a

xO3Gyaθi

jsin由于坐标系O3xyz的三个坐标轴为过O3T1[J2J(cos)2

(sin)2 取

Vmgl(1cos则日函数LTV1[J2J(cos)2

(sin)2]mgl(1cos 代入日方程d(L)dt 11

5-17PP2ABF，如图所示。忽略摩擦，角AB的相对加速度。A，BAxB的沿斜面滑动的位移sAA的速度vAB的速度vBBvBvAsxsxT1mv21mv A B

1(PP)x21

1P g

2g取过x轴的水平为零势面，系统的势能VP2ssin取x0,s0F所作的虚功为[W]xFxFxQx；FQx；取x0,s0F所作的虚功为[W]sFcossFs的广义Qs；FFQs；d(L)LQF代 日方程

d(L)L

F

代 日方程

AaxFsinP2cosgsin PPsin2 B

P(PPsin2

5-18mABC，质量为m1，半径为rAB边滚动而圆柱的转角（A点=0）为广义坐标。若以楔块为动系，楔块的速度vA，圆 O的速度vo，以 AφxrvOvφxr

22 Vm1gr则日函数 d(L)L代入日方程

d(L)L代 日方程

11mos211

2(mm1) [3(mm)2mcos2 5-21ABM1M2M3的质量分别为m1m2m3，m1m2m3m2m3M1下降，质量m1m2和m3之间xMBx2 1 1(m

1x1

Vmgxmg(xx)mg(xx (m1

m)gx(m1m2m3)gx1(m2m3d代 日方程

(L)

d(L)L

代 日方程

由方程(1)和方程(2)解得重物

321

m32gg

m32

下降则a1

1m4m21m25-22PAB置于水平面上，物体MP2kF，忽略摩擦。如果系统从静止开始运动，此时弹簧物变形，试求平台和物体M的加速度。xMs（弹簧T

x x

P

g 2gV1ks2则日函数将水平力F视为非 ，它对应于广义坐标x和s的广义力计算如下取x0,s0F所作的虚功为[W]xFxFx的广义力Qx；FQx；取x0,s0，在这组虚位移下力F所作的虚功为[W]s0 因此力F对应于广义坐标s的广义Qs；FQs；

d(L)LQF代入日方程

d(L)LQF代入日方程

(1 (1

s

cospt

p2(P1P2

P

g(1P2cosP

FMF

vAT1mv21mvvA 1 2 1 12

222 设0Vm2gl(1

日函数中不显含广义坐标x和时间t，存在循环积分和广义能量积分，即L

图示质量为m2B沿与水平成倾角的光滑斜面下滑，质量为m1ODO和螺旋Blk。试求系统的首次积分。COD作平面运动，CvCvBT1mv21(1ml2)21mv 1

2

2 )(2

)cos(6ss0, L

)(2

半径为r、质量为m的圆柱，沿半径为R、质量为m0的空心圆柱内表面滚动而不滑动，如图00柱可绕自身的水平轴O转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为

m

以圆柱和圆筒构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取,为广义坐标1 T1mR21

(mr

2

O1以及圆柱上与圆筒相接触的点的速度关系，可得T1(2mm)R223m(Rr)221m(R 设0Vmg(Rr)(1cos) L

圆盘以匀角速度1CDCD轴又以匀角速度

OAB如图所示。已知15rad

O作定点运动，圆盘的绝对角速度ω，以及绕轴CD的自转角速度ωAB轴的进动角速度Azxωω1Azx角速度ω的大小ω2ω2

34(rad/AxAy的夹角分别为30058,5902αdωdω1 以角速度ω2zα

21角加速度αAyαωωsin90015(rads221顶角60o的圆锥轮III滚动而不滑动，锥面II按规律2t2(ts计，ra