信号与系统绪论课件

信号与系统多媒体教学课件

2011年2月3日2023/4/21教材郑君里、杨为里、应启珩编写的《信号与系统》上下册(第二版)，高等教育出版社1987年获全国通讯类图书一等奖该书基本概念清楚，数学推导严谨，理论系统性强，例题具有代表性，图解说明性强，习题丰富，答案齐全，文字简洁便于自学2023/4/22主要参考书1、信号与系统例题分析及习题乐正友杨为理应启珩编(与教材配套)2、信号与系统

Signals&SystemsALANV.OPPENHEIMALANS.WILLSKY

清华大学出版社（英文影印版）（中译本）刘树棠西安交通大学出版社3、信号与系统习题集西北工业大学出版社2023/4/23前序课程 高等数学、线性代数、复变函数、电路分析基础后继课程通信原理、数字信号处理2023/4/25《信号与系统》要解决的问题什么是信号？ 信号是消息的表现形式，消息则是信号的具体内容。什么是系统？

系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。信号作用于系统产生什么响应？2023/4/26《信号与系统》的三个重要问题基本信号及其响应 时域、频域、复频域信号的分解

任何信号都可以分解为基本信号的线性叠加LTI系统的分析方法求任意信号经过LTI系统后的输出2023/4/27第一章绪论2023/4/291.消息(message)：来自外界的各种报道。2.信息(information)：消息中有意义的内容。

信息是信息论中的一个术语。§1.1信号与系统什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？一、信号的概念2023/4/210

3.信号(signal)：信号是信息的载体（蕴含信息的具体内容），信息通过信号表现和传递

。信号广泛地出现在各个领域中，以各种各样的表现形式携带着特定的消息。

光信号、声信号、电信号。为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号形式。电信号易产生、便于控制，容易处理，电信号与非电信号之间可以相互转换。本课程中的信号就是指“电信号”。2023/4/211

信号常体现为随若干变量而变化的某种物理量。在数学上，可以描述为一个或多个独立变量的函数。§1.2信号的描述、分类和典型示例电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法：

1）表示为时间t的函数

2）信号的图形表示——波形

“信号”与”函数“二词相互通用一、信号的描述2023/4/213以时间或频率为自变量的数学表达式波形本课程只讨论一维信号2023/4/2141.确定信号与随机信号

可以用确定时间函数表示的信号称为确定信号或规则信号。如正弦信号。若信号不能用确切的函数描述，它在任一时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一值的概率，这种信号称为不确定信号或随机信号。如电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号等。研究确定信号是研究随机信号的基础，故本课程仅研究确定信号。二、信号的分类2023/4/215连续信号

2023/4/217离散时间信号：仅在一些离散的瞬间有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。这里“离散”一词表示信号的定义域——时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。相邻离散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。信号的值域可以是连续的，也可以是不连续的。定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列，通常记为f(n)，其中n称为序号。与序号n相应的序列值f(n)称为信号的第n个样值。序列f(n)的数学表示式可以写成闭式，也可以直接列出序列值或者写成序列值的集合。下图(a)所示的正弦序列可表示为2023/4/218离散信号

2023/4/219

周期信号是定义在(-∞,∞)区间，每隔一定时间T(或整数N)，按相同规律重复变化的信号。连续周期信号f(t)满足

f(t)=f(t+mT)

m=0,±1,±2,…满足上式的最小T值称为f(t)的周期。离散周期信号f(n)满足

f(n)=f(n+mN)m=0,±1,±2,…满足上式的最小N值称为f(n)的周期。

不具有周期性的信号称为非周期信号。无始无终3.周期信号与非周期信号

2023/4/221周期信号

tf(t)A£­A2T-2TT£­Tof(k)£­2£­40246k……

注意：当周期趋于无穷大时，周期信号变为非周期信号！2023/4/222信号将随时间而增长信号将随时间而衰减；信号不随时间而变化(直流信号)指数信号的微分、积分结果仍为指数信号。越大，指数信号增长或衰减速率越慢。信号值为零，称为“单边指数信号”。若时时间常数单位：s代表信号的衰减速度具有时间的量纲。是实数，是常数三、典型连续信号2023/4/223

实部、虚部都为正（余）弦信号，指数因子实部表征实部与虚部的正、余弦信号的振幅随时间变化的情况，表示信号随角频率变化的情况。复指数信号具有更为普遍的意义2023/4/225-p

0

p

t

Sa(t)具有以下性质：偶函数与Sa(t)函数类似的有sinc(t)函数：此时t与Sa(t)中差一个，两符号通用。复变函数中可证明2023/4/226例子：

0

t

f5(t)

1

0

t

f6(t)

1

t

-1

f7(t)

1

1.信号相加2023/4/229

0

t

f5(t)

1

0

t

f6(t)

1

t

-1

f8(t)

1

例子：2.信号相乘2023/4/230时间轴反转3.信号反折没有实现的物理器件，但可以实现这个概念，如堆栈。将信号的过去和未来对调！2023/4/231左移:

在雷达、声纳以及地震信号检测等问题中容易找到信号移位现象的实例。如在通信系统中，长距离传输电话信号中，可能听到回波，这是幅度衰减的话音延时信号。4.信号平移，相对于原信号超前。，相对于原信号滞后。2023/4/232例子：压缩，此磁带以二倍速度加快播放的结果。？5.尺度变换2023/4/233提示：信号的自变量运算遵循“中量相等，函数值相同”的原则。信号的平移、反转及尺度变换一切变量都是针对t而言，所以理论上讲三者并无先后次序。对于离散信号，由于f(an)仅在an为整数时才有意义，进行尺度变换时可能会使部分信号丢失，因此对离散信号不作波形的尺度变换。2023/4/234已知信号f(t)的波形如下图，求f(-2t+1)的波形。解：图形变换的过程为：先反折、尺度变换、时移（1）反折（2）尺度变换（3）时移2023/4/235

若f(t)是一幅黑白图像信号，那么经微分运算后将其图形的边缘轮廓突出。微分运算例子：6.信号微分微分运算逐段进行。2023/4/236

信号经积分运算后其效果与微分相反，信号的突变部分可变得平滑，利用这一作用可削弱信号中混入的毛刺（噪声）的影响。例子：积分运算7.信号积分2023/4/237信号与系统分析中，常遇到函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数称为奇异函数或奇异信号。通常将实际信号按某种条件理想化，即可运用理想模型进行分析。奇异信号分类：（1）斜变信号（2）阶跃信号（重要）（3）冲激信号（重要）（4）冲激偶信号§1.4奇异信号2023/4/2381.斜变信号斜变信号也称斜坡信号或斜升信号。它是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号。如果将起始点移至t0,则可写成(1)单位斜变信号2023/4/239(2)截平的斜变信号在时间以后斜变波形被切平，如图所示信号波形。2023/4/240(3)三角形脉冲信号三角形脉冲信号也可用斜变信号表示。2023/4/2412.单位阶跃信号单位阶跃信号的波形如图所示，通常以符号u(t)表示。在跳变点t=0处，函数值未定义，或t=0处规定函数值单位阶跃函数的物理背景：在t=0(或t0)时刻对某一电路接入单位电源（直流电压源或直流电流源），并且无限持续下去。单位阶跃信号延时的单位阶跃信号(1)单位阶跃信号2023/4/242(2)矩形脉冲信号矩形脉冲信号可用阶跃及其延时信号之差表示。下标T表示矩形脉冲出现在0到T时刻之间。如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用GT(t)表示。下标T表示其矩形脉冲宽度。门信号与其他信号相乘，只留下门内部分。2023/4/243(３)描述各种信号的接入特性阶跃信号鲜明地表现信号的单边特性。即信号在某接入时刻t0以前的幅度为零。例子：2023/4/244(４)符号函数（signum)简写作sgn(t),可用阶跃信号表示。与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不予定义，或规定sgn(0)=0。显然，阶跃信号来表示符号函数：2023/4/245某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的函数模型来描述。例如：力学中瞬间作用的冲击力，电学中的雷击电闪，数字通信中的抽样脉冲……等等。单位冲激函数：记作(t)，又称为“函数”。３.单位冲激信号冲激函数的表示：用箭头表示。表明，(t)只在t=0点有一“冲激”，在t=0点以外各处，函数值都是零。广义函数！(1)2023/4/246狄拉克（Dirac)给出的函数定义：也称函数为狄拉克(Dirac)函数。描述在任一点t=t0处出现的冲激，可定义(t-t0)函数：2023/4/247函数的性质单位冲激信号(t)与一个在t=0点连续（且处处有界）的信号f(t)相乘，则其乘积仅在t=0处得到f(0)(t),其余各点之乘积均为零。故

对于延迟t0的单位冲激信号有

a)抽样特性（筛选特性）2023/4/248证明：

b)(t)是偶函数2023/4/249得

c)冲激函数的积分是阶跃函数反之，阶跃函数的微分应等冲激函数积分微分由于2023/4/250证明：（d)冲激函数的尺度变换若a>0,若a<0,而根据广义函数相等的准则，得证！变量替换2023/4/251(e)(t)冲激函数的复合函数的性质(教材P77)例子：化简解：有二个实根分别位于t1=-a和t2=a，则有2023/4/252电流ic(t)为：从物理方面理解函数的意义。电路图如下：电压源vc(t)接向电容元件Ｃ，假定vc(t)是斜变信号。2023/4/253如果取0的极限，则vc(t)成为阶跃信号，它的微分——电流ic(t)是冲激函数其表达式为：002023/4/254结论

若要在无限短时间内使电容两端建立一定的电压，那么必须在无限短时间内提供足够的电荷，所以，需要一个冲激电流，或者说，由于冲激电流的出现，允许电容两端电压跳变。

根据网络对偶理论，可将此应用于理想电感模型。由于冲激电压的出现，允许电感电流跳变。2023/4/255冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）：将呈现正、负极性的一对冲激，称为冲激偶信号，以’(t)表示。4.冲激偶信号2023/4/256

现以三角形脉冲系列为例，波形如下：三角形脉冲s(t)其底宽为2，高度为1/，当0时，s(t)成为单位冲激函数(t)。（1）冲激偶信号推导利用规则函数系列取极限的概念引出’(t)。求导求导0的极限0的极限2023/4/257证明：（2）冲激偶信号性质1对于延迟t0的冲激偶’(t-t0)，同样有此处f’(t)在0点连续。且2023/4/258（3）冲激偶信号性质2（见教材P79）普通函数f(t)与冲激偶相乘普通函数f(t)与冲激偶相卷积利用广义函数相等原则微分器2023/4/259（4）冲激偶信号性质3冲激偶信号另一性质：它所包含的面积等于零，因为正、负两个冲激的面积相互抵消了。2023/4/260（5）冲激偶信号性质4（见教材P79）冲激偶的时间尺度变换当a=-1时奇函数2023/4/261举例：如图所示波形f(t)，求y(t)=f’(t)。解：求导(2)(-1)2023/4/262举例解1：解2：2023/4/263

研究信号的传输与信号处理的问题，需要将一些信号分解为比较简单的（基本的）信号分量之和。

信号可以从不同角度分解：直流分量与交流分量偶分量与奇分量脉冲分量实部分量与虚部分量正交函数分量利用分形理论描述信号§1.5信号的分解2023/4/2641.直流分量与交流分量fA(t)其中fD为直流分量,即信号的平均值；为交流分量,即去掉信号的平均值。直流分量fD与交流分量fA(t):-1

0

1

t

-1

1

如：时间函数f(t)为电流信号，则时间间隔T内流过单位电阻所产生的平均功率等于：直流功率交流功率信号的功率=直流功率+交流功率2023/4/265

-1

0

1

t

-1f(t)

1

-1

0

1

t

-1

1

-1

0

1

t

-1

1

信号的平均功率=偶分量功率+奇分量功率2.偶分量与奇分量偶分量与奇分量：2023/4/266一个信号可近似分解为许多脉冲分量之和。（1）一种分解为矩形窄脉冲分量：3.脉冲分量（2）另一分解为阶跃信号分量之叠加。（不做介绍）非常重要02023/4/2670将时间轴分解成等间隔：则从零时刻起的脉冲依次为：在极限情况下，，，得证。2023/4/2684.实部分量与虚部分量对于瞬时值为复数的信号f(t)可分解为实、虚部两个部分之和。它的共轭复函数为：其实部为：其复数信号的模为：

虽然实际信号都为实信号，但它常用于表示正、余弦信号，在通信系统、网络理论、数字信号处理等方面，复信号的应用日益广泛。其虚部为：2023/4/2695.正交函数分量用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各分量就是相互正交的。2023/4/2706.利用分形理论描述信号分形(fractal)几何理论：简称分形理论或分数维理论。分形理论创始人：B.B.Mandelbrot在20世纪80年代中期提出。分形概念：是部分与整体有相似性的体系，是一类“组成部分与整体相似的形态”。Sierpinski三角形集合2023/4/271系统分析中，需要建立系统的模型，可以是系统物理特性的数学抽象（数学模型），也可以是用具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性（框图模型）。建模工作仅是进行系统分析的第一步。§1.6系统模型及其分类2023/4/272

连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号，且其内部也未转换为离散时间信号。（1）连续时间系统与离散时间系统如：RLC电路为连续时间系统。而数字计算机为一典型离散时间系统。一、系统分类

离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。2023/4/273

即时系统：系统在任意时刻的响应仅与同时刻的激励信号有关，与它过去的工作状态（历史）无关——无记忆系统。（2）即时系统与动态系统动态系统；系统在任意时刻的响应不仅与同时刻的激励信号有关，而且与它过去的工作状态（历史）也有关——记忆系统。如：只由电阻元件组成的系统就是即时系统。凡是包含有记忆元件（如电容、电感、磁芯等）或记忆电路（如寄存器）的系统均属动态系统。

即时系统用代数方程描述，动态系统用微分方程或差分方程描述。2023/4/274（3）集总参数系统与分布参数系统集总参数系统：只由集总参数元件组成的系统。分布参数系统：含有分布参数元件的系统。集总参数系统用常微分方程描述，分布参数系统用偏微分方程描述。这时描述系统的独立变量不仅是时间变量，还要考虑空间位置。含传输线、波导等分布参数的系统为分布参数系统。2023/4/275（4）线性系统与非线性系统线性系统：具有叠加性与均匀性（也称齐次性，homogeneity)的系统。（5）时变系统与时不变系统时变系统：系统的参数随时间而变化。时不变系统：系统的参数不随时间而变化（或非时变系统，定常系统）R、L、C都是线性时不变元件，组成一个线性时不变系统，其数学模型为常系数微分方程。2023/4/276（6）可逆系统与不可逆系统可逆系统：系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应。对于每个可逆系统都存在一个“逆系统”。例子：输出r1(t)与输入e1(t)具有如下约束的系统是可逆的：

r1(t)=5e1(t)此可逆系统输出r2(t)与输入e1(t)满足如下关系：

r2(t)=e1(t)/5不可逆系统：r3(t)=e23(t)，无法根据输出r3(t)决定输入e3(t)的正、负号。即不同激励信号产生了相同的响应。2023/4/277（7）因果系统与非因果系统因果系统：零状态响应不会出现在激励信号之前的系统。即当，时，有，。因果系统举例：非因果系统举例：2023/4/278（8）稳定系统与不稳定系统

一个系统，若对有界的激励所产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。稳定系统举例：非稳定系统举例：2023/4/279

初始条件（0－）：系统原来的储能情况。即先前激励（或扰动）作用的后果。

为了求得给定激励条件下系统的响应，还应当知道激励接入瞬时系统内部的能量储存情况，即初始条件、起始条件。

起始条件（0＋）

：系统激励接入瞬时系统的状态。二、系统条件2023/4/280

例子

R、L、C串联回路，若激励信号是电压源e(t)，求解电流i(t)。解：建立数学模型：为初始条件2023/4/281

描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态系统的数学模型是差分方程。图中RLC电路，以us(t)为激励，以uc(t)为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得：三、系统描述1、系统的解析描述——建立数学模型

二阶常系数线性微分方程！+－+－LRCUs(t)Uc(t)2023/4/282

数学模型从数学角度代表了某些运算关系：相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号——方框图（blockdiagram)表示并相互连接可以表征这些运算关系，若干方框图组成得模拟框图表征一个完整的系统。

积分器比微分器有着更好的抗干扰性能！相加aa倍乘积分2、系统的框图描述

教材P30图1-41、图1-422023/4/283已知系统微分方程如下，画出系统的框图。解：对原式两边积分整理2023/4/284在确定性输入信号作用下的集总参数线性时不变系统（LinearTime-Invariant），缩写为LTI系统。LTI连续系统的微积分特性：（1）微分特性：若，则（2）积分特性：若，则§1.7线性时不变系统

本课程重点讨论线性时不变系统2023/4/2851、线性系统与非线性系统若系统的激励增加a倍时，系统的响应也增加a倍，称该系统是齐次的，即T[af(.)]=aT[f(.)]。系统满足线性性质的系统称为线性系统。若系统对于多个激励之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，称该系统是可加的，即T[f(.)+g(.)]=T[f(.)]+T[g(.)]。若系统既是可加的又是齐次的，则称系统是线性的。2023/4/286