名师教案 人教B版高中数学必修第四册10.1.1 复数的概念

本节课要学的内容包括数系的扩充和复数的概念，复数的分类，复数相等等，其核心内容是复数的概念，复数的分类，复数相等，理解它关键是通过理解有些方程在实数范围内没有解，学生已经学过实数系里的相关知识，本节课的内容数系的扩充和复数的概念就是在其基础上的发展。复数的概念是整个复数内容的基础。复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的。虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都应促进对复数的实质的理解，即复数实际上是一有序实数对。教学重点是复数的概念，复数的代数形式。解决重点的关键是掌握复数的实部和虚部。在问题的情景中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算法则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。考点学习目标核心素养复数的相关概念了解复数的代数形式、实部、虚部等基本概念数学抽象复数的分类了解复数的分类：实数、虚数、纯虚数三类，并对应对实部、虚部的要求.分类讨论复数相等掌握复数相等的概念数学运算【教学重点】理解数系的扩充的必要性，明白复数及其相关概念。掌握复数的几种类型。【教学难点】复数的分类及相关概念的辨析引入：为什么要对实数系进行扩充？师生活动：1、N、Z、Q、R分别代表什么？它们是如何发展得来的？自然数→整数→有理数→无理数→实数。例如：方程x2-2=0在有理数集中没有解，所以我们引入了无理数。则它在无理数集中就有解了。2.数学故事——关于无理数的发现古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.3、判断下列方程在实数集中的解的个数？（1）（2）（3）设计意图：引导学生回顾根的个数与的关系.由（3）引入新课。问题1：怎样才能使方程有解呢？一般地，为了使方程有解，人们规定的平方等于-1，即，并称为虚数单位.设计意图：让学生仿照上边的例如，想到我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决问题2：引入一个新数i后，你能得到方程的解吗？方程至少就有一个解x=i.设计意图：让学生掌握什么是方程的解。师生活动：1、两个实数可以进行加法和乘法运算，那么新数i与实数能进行相应的运算吗？设计意图：让学生明白复数也可以进行加法和乘法运算。2、把实数a与实数b和i相乘的结果相加可以记作什么呢？设计意图：让学生会表示实数a与实数b和i相乘的结果相加。问题3：什么叫做复数？一般地，当都是实数时，称为复数，复数一般用小写字母表示，即这一表示形式叫做复数的代数形式。其中i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部，分别记作：设计意图：让学生掌握复数的有关概念。例1.下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。解：均为复数，其中：实部为2，虚部为3；实部为8，虚部为-4；实部为8，虚部为3；实部为-2，虚部为-9；实部为0，虚部为7.设计意图：让学生对复数概念加以熟悉问题4：什么叫做复数集？我们把全体复数所构成的集合叫做复数集。记作.设计意图：让学生清楚复数集。问题5：根据实数a和b的取值不同，我们可以将复数分成哪几类？当且仅当b=0时，Z=a+bi表示实数；当b≠0时，Z=a+bi叫做虚数；特别的，当a=0且b≠0时，Z=a+bi叫做纯虚数。即：设计意图：让学生掌握复数的分类。例2.实数x取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？设计意图：加强对复数分类的掌握问题6：什么叫做两个复数相等？两个复数相等的充要条件是两个复数的实部和虚部分别对应相等。即：（a,b,c,d∈R）特别的，a+bi=0a注意：两个复数只有是实数时才能比较大小，若不是就不能比较大小。设计意图：掌握复数相等的充要条件。例3.（1）已知；解：由两个复数相等的充要条件得：（2）已知，解：根据复数等于0的条件得：巩固提升：例4.若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m解由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2m2－3m－3＝0，,log2m－2≠0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－3＝1，,m－2＞0，,m－2≠1，))解得m＝4.例5.已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m解：设x＝a为方程的一个实数根．则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i∵a，m∈R，由复数相等的充要条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a＋3m＝0，,2a＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,12)，,a＝－\f(1,2).))故实数m的值为eq\f(1,12).例6．已知z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋ieq\r(3)sinθ，若z1＝z2，试求θ的值．解∵z1＝z2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝sin2θ，,cosθ＝\r(3)sinθ.))∴eq\b\lc\{