一种新的全角度四元数与欧拉角转换算法

总第125 湘 一种新的全角度四元数 角的转换算 e×

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2)1,+e21 1)+e)

1 1 e21)- +e21 1)+e 2 3+e2) +e2133)设方向余弦矩阵Aα的元素为aij旋转特征向量e的元素可表示a23-e1=2sin

a31-e2=2sin

e=a12- 32sin3四元数由矢量部分和标量部分组成,可写成如下形式:q=q4+i+j+k=q4+ 根据旋转特征向量和旋转角,定义四元数矢量部分和标量部分如q1=e1sin/) q2=e2sin/q3e3sin/) q4=o/)

6)q2+q2+q2+q2 7) 4)6 vv4 vv40-式中 q -0-09)

-q +2q·

-2q

q2-q2-q2 2(qqqq 2(qq-qqA)=

1 3 1 22(q1q2-q34-q2+q2-q2 +q 2(q1q3+q2 -q2-q2+

显然,方向余弦矩阵与角转动顺序有关,本文以Z-Y-X转动顺序为例,即先绕偏,,);后绕滚动轴转动,其方向余弦矩阵为A1Z-Y-X转动的方向余弦矩阵为2=AA3)=cosθcos cosθsin -sinψosin-Z-Y-X转动的四元数为q用四元数表示Z-Y-X转动的方向余弦10 南京理工大学学 第26卷第4 角到四元数的转角到四元数的转换则可以应用超复数映象概念求得。对于Z-Y-X变换,角q=cosψ+sinψk)cosθ+sinθ cosφin 2 2 2将12式展开,得角到四元数的转换cosψsin θsinψcosφsin

φsinq2

2

2os

2cos

-cosψsinφsinθsinψcosφcos sin

2sin2sin2o 2cos2sin四元数到角的转3个轴在±90°之间取11φ=acaA23/A3 =aci(-A3 =rtAA1111俯仰轴在±90°之±18090值,则四元数到 arctanA23/A3 A33π·signA23artanA23/A3A33=arctanA12/A) A11

π·signA12aranA12/A1)A113个轴在±180°之间取9～18围在-180°～180°之间,则四元数到角的转换为arctanA23/A3 A33φ=-π·sign +arctanA/A) θ=-π·signA13-arcsin(-arctanA12/A A11

-π·signA12rctA12/A11)A11总第125 湘 一种新的全角度四元数 角的转换算 11516)存在2个角A1和A2,根据角四元数转换,可以求出它们分别对应的2个四元数Q1和Q2。如果这2个四元数中只有1个与给定四元数Q相等,则输出那个四元数所对应的角。如果这2个四元数都与给定四元数Q相等,则输出与参考角R最接近的那个角。通常取参考角R为上一时刻的角。图1给出了详细的转换流程,与通常的转换相比[2,3],该转换流程实现了四元数到 图 四元数到角的转换流程Fig1FlowchartoftransformationfromquaterniontoEulerang数字角到四元数的转换显示是正确的,同时,3个轴取值范围在±90°之间的全角度四元数到角的转换显然能正确输出结果,所以,这里就省略它们的数字仿真。14[8060180]1是俯仰轴在±90°之间,滚动轴和偏航轴在±180°之间取值的转换算法2是本文全角度四元数与角的转换算法这2个算法的结果比较见表1。表1四元数到角的转换输出比较(单位Table CompareontransformationoutputfromquaterniontoEulerangle给给定四元真 算法1输出结 算法2输出结32113288[-140,-180,[40,-0,-[-140,-180,11541182[-140,-120,[40,-60,-[-140,-120,11821154[-140,-60,[-140,-60,[-140,-60,03883211[-140,0,[-140,0,[-140,0,04704303[-140,60,[-140,60,[-140,60,04344307[-140,120,[-140,120,[-140,120,031103288[-140,180,[-140,180,[-140,180, 南京理工大学学 第26卷第4显然对于俯仰轴在±90°之间取值,算法1能得但当俯仰轴不在该区间,算法1不能完全得出正确结果。而本文全角度四元数与角的转换算法能完全在整个区间内正确转换。综上所述,本文提出了一种新的全角度四元数与角之间的转换算法。仿真表明,这个算法是完全正确的和实用的,特别对于大角度姿态机动运动学方程,具有非常好的实用性能。虽然本文只是针对Z-Y-X的转换给出了算法的计算,但是对于其它变换的计算,读者不妨参考文献[4]得出。 WertaJSpacecraftattitudedeterminationandcontrolDordrchtReidel,许佩珍,董长虹.四元数在战斗机飞行仿真中的应用.航空航天大学学报,1997,487～田春华.姿态控制系统的分析、设计和仿真研究[ 大学,2000:章仁为.轨道姿态动力学与控制 :张帆.光学遥感总体参数优化设计研究 ].哈尔滨:哈尔滨工业大学张景瑞,荆武兴,徐世杰.空间飞行器大角度姿态机动问题研究.飞行力学,19987～陈万春,肖亚伦.矢阵与四元数的关系及其在飞行力学中的应用.宇航学报,1971812~ANewLarge-scaleTransformationAlgorithmofQuaterniontoEulerAngle JingxiangDepartmentofComputerScienceandTechnology,TsinghuaUniversity,Beijing①DepartmentofSpaceEngineeringandMechanics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001)Usually,transformationbetweenquaternionandEulerangleisconstrictedtoEu-lerangle'svaluefromnegative90°topositive90°inthreeaxesoroneaxisAnewalgorith