直线和圆的方程知识及典型例题

00011120001112直线和圆的方程知识关系一、直线的斜角斜率1.线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角其中直线与轴平行或重合时,其倾斜角0,故直线倾斜的范围是

02.直线斜率:斜角不是的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率,即直线的方程

.k注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率②时，直l垂直于轴，它的斜率不存在.③过两点y)x,y(xx的直线斜率公ktan1221二、直线程的五形式及适用件

212名称斜截式点斜式两点式截距式一般式

方程ykx+yy=(-x)yx=yx2121x+=1abAx(A、不为)

说明k—斜率—截距(x，y)—线上已知点，k─斜率(x，y)，(x，)是直线上两个已知点—线的横截距—线的纵截距

适用条件倾斜角为90°的直线不能用此式倾斜角为90°的直线不能用此式与两坐标轴平行的直线不能用此式过00）及与两坐标轴平行的直线不能用此式AB不同时为零

(A)26256,111222(A)26256,11122212122121122121211122221211)121时,直线的方程

注⑴确定直线方程需要有两个互相独立的条,常用待定系数;⑵确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范.⑶直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax（A+B≠0）是一一对应的.例1.过

M()和(,4)

的直线的斜率等于1,则a的为)(A)

(B)

或直线的方

例2.若

,则线2(B)

x

3＋1=0的斜角的取值围（）(C)(0,)(D)程

例4.连(4,1)和B(两的直线斜率为与轴交点P的坐标为例5.以

和

为端点的线段的中垂线的方程是

.一、两直线的位置关系两线平:⑴斜存且重的两条直线lyk，l=+b，l∥k=⑵两条不合线l,l的倾斜角为,则l∥l

例将直线x绕着它与y的交点逆时针旋转角后，在轴的截距是)4255(A)(B)(D)55

45

的两直线的位置关系

两直线:⑴斜率存在的两条直线ly=+l=k+,则l⊥lk·=-⑵两直线lAx+B，lA+B=0，则l⊥lAA+BB=“角”与“夹角:⑴直线l到l的（方向角12直线l到l的角，是指直线l绕交点依逆时针方向旋转1到与l重时所转动的角，的范围是.注:①当两直线的斜率都存在且·k≠-1;②当直线的斜率不存在时可结合图形判断.k

例将张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点，与(重，若点（，3）点（,n）重合，则+n的值为()(A)4(B)－(D)－例与直线:平行且过点的直线的方程是。例已知二直线l:mx0和1lx，l，l在221轴上的截距，则m=_____

00112200000001100112200000001111222121200000000⑵条交线l与l的夹角：12两条相交直线l与l的角，是指由l与l相交所成的四122个角中最小的正角，又称为l和l所的，它的取值范围1是当两直线的斜率，k都在且k1·2≠-1，2

例10.经过两直线11－3y－9＝0与12＋－190的交点过点(3,-2)的方_______.则有

1k

例11.已知△ABC中2，-1（4，3两直线的位置关系

4.距公。⑴已知一点，y)及一条直线lA+By+C=0则点P到线|Axl的离=；A2⑵两平行直线l:Ax+C=0，l:Axy之的距离||=2。A2当直线置不确定时，直线对应的方程中含有参含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线⑴在点斜式方程y-=(xx中，①当（x，）确定k变时，该方程表示定点y）旋转直线系，②当k确(x，)变化时，该方程表示平直线.⑵已知直线l：Ax+C=0则①方程Ax+By=0（为参数）表示与l行的直线系；②方程By+（n为数）表示与l垂直的直线系。⑶已知直线l：Ax+B，直线l：+By+C=0则方程A+B+C+λ(Ay+C表示过l与l交的直线系（不含l）掌握含参数方程的几何意义是某种直线系可以优化解题思路.

C（32：边上的高所在直线方程⑵AB中垂线方程⑶∠A平分线所在直线方程例12.已知定点（64与定直线l=4，过点的直线l与l交于第一象限Q点，与轴正半轴交于点M求使△OM面积最小的直线l方程.简单的线性规划

线性规划⑴当点x，)在直线Axy+C=0上，其坐标满足方Ax；⑵当P不直线Ax+B上时，A≠，Ax或Ax+By+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义二元次不等式Ay+C>0或<0表直线Ax+B上或下方区域，其具体位置的确定常用原点，0代入检验。利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。

例13.若点（3，1）和（）在直线

x

的两侧，则实a的取值范围是()24()24(C)（D）以上都不对例14.ABC的三个顶点的坐标为(24)(C(1,，点(xy)ABC内部及边界上运动，则

的最大值为，最小值为。例15.不等式组：

xxy表示的平面区域的面积是；y0简单的线性规划

例个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？例某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学600，高中生每年可收取学费1500元因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？（利润=学费收入－年薪支出）

000000000曲线和方程

曲线与方程在直角坐标系中,当曲线C和方程F(x，y满足如下关系时：①曲线C上点的坐标都方程F(x，y)=0解；②②以方程x，y)=0的解为坐标的点都在曲线上，则称曲线C为方程F(x，y表示的曲线；方程F(x，y)=0曲线C表示的方注:⑴如果曲线的方程是F(xy)=0那么点P(y)在曲线C上的充要条件是F(x,y)=0⑵解析几何研究的内容就是给定曲线，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形,坐标法是几何问题代数化的重要方法。⑶求曲线方程的步骤:建、设、现（限、化.例18.点M(tt)

适合方程y3是点在曲线yx3

上的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)什么条件也不是例19.线：2与C：y交点数是（）2(A)1(B)2个(C)3个曲线和

例20.已知定点A(点M的轨迹方程是

(1,0)

，点M与AB两点所在直线的斜率之积，则方程例22.如图圆PMPN（

O与的半径都是，OO21分别为切点使得PMPN

.过动点

分别作圆

O

的切线试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.

112122111212112确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。一、圆的方程形式:⑴圆的准方程：(-a

+(y-b

=r

2

,中（a,b）是圆心坐标r是圆的半径；⑵圆的般方程2

++D（2

+E

-）D圆心坐标为（-，-径为r=2

D

2

2

F

.圆的方程

⑶圆的参数方程：a)2yb=r（r）的参数方程:为参数,表示ysin旋转角数式常用来表示圆周上的点。注:①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件,通常也用待定系数法;②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意,用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.③圆的直径式方程：x)(yy其中A(,,,y是圆的11一条直径的两个端点.（用向量可推导）.二、直线与的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：⑴代数法：直线：A+By+C=0圆：x2++Dxy+F=0，联立方程组

AxByx22EyF

△ac

eq\o\ac(△,)相交eq\o\ac(△,)相切eq\o\ac(△,)相离（2）几何法：直线:A+By+C=0圆：-a+(y-b)2=r2，圆心a，b）到直线的距离为d=

|A2

相，r相d相三、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O、O，半径分别为r，r，|O为圆心距，则两圆位置关系如下：①|>r+r圆外离；②|=r+r圆外切；③r-r|<|OO|<+r圆相交；④r-r|两圆内切；⑤OO|<|r-r圆内含。注：直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而一般不采用方程组理论（△法）.

圆的方程

四、圆的切线:1.求过圆上的一点(x的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率则由垂直关01系,切线斜率,由点斜式方程可求得切线方程k2.求过圆外一点(,y圆的切线方:⑴(几方)设切线方程为y00x-yxy0,后由圆心到直线的距离等于半径,求得,切线方程即可求.0⑵(代数方法)设切线方程为yx)yxy代入圆方程得一个关0于的一元二次方程,,求,切线方程即可求出注：①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求.②过圆xy2r上一点,y)的切线方程为yyr2.00例1x与圆xy2x相切，a的值为()()1或()2或)1(例24.两圆x2

-4x+2y+1=0与(+2)2

+(y

=9的位置关系是（）(A)内切(B)相交外切(D)相离圆

例25.已知圆C与圆x-

+

=1关于直线=-x对称，则圆C的方程为()的

(A)(2

+

=1(B)

=1x2

+(+1)2

=1(D)x2

+(y-1)2

=1方程例26.若直线-3-2＝0与圆x

2

y

2

2

两个不同的公共点，则实数a取值范围是（）(A)3＜a＜7(B)-6＜a＜4-7＜a＜3-21＜a例27.把参数方为参数）化为普通方程，结果是.y例28.过(

的直线被圆2y2

截得的弦长为2

，则此直线的方程为

例29.圆的方程为x2

+y

2

－6x－8y＝0坐标原点作长为的弦弦所在的直线方程。x2y2-2(m+3)x+2(1-4m)ym4示一个圆，⑴求实数取值范围；⑵求圆的半径r取值范围；⑶求圆心轨迹方程

ABACAB0000OMQ0000ABACAB0000OMQ0000例1.A

数学基础知识与典型例题(第七章直线和圆的方程)答案例2.B例3.C例()例0例

例7.C例8.x＋3＋10＝0

例9.0,8,

例10.13xy例11.解:⑴∵k

BC

=5,∴BC边上的高AD所在直线斜率k=

15∴AD所直线方程y(-2)即x⑵∵AB点为（3，1=2,∴AB垂线方程为+2y-5=0⑶设∠A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE到AB角。k2∵k=-1，∴1∴k2k-1=0,∴

10

（舍

10∴AE所在直线方程为

-y

+5=0评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(，)为直线AE上任一点则AB距离相等

|xxy5

化简即可。还可注意到，ABAC关于AE对。例12.解题思路分析：直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键通过比较可以发现选为参数运量稍大因此选用点参数。解:设Q（，4x（，0）∵Q，M共线kPPMxx∴解之得0x0∵x>0，m>0∴x-1>010x2∴SOMxmx00令xt，则tS

10(t1t≥tt当且仅当t，x时，等号成立此时Q（11，44线l：x+评注：例13.B例14.

1例15.例16.种蔬菜20亩,花亩水稻不种,产值最高万元.4例解：设初中个班，高中个班，则设年利润为s，

≤(1)xy1200则

yx1.61.2

作出（1表示的平面区域，如图，过点A时，S有最大值，y30由解得A（，）y易知当直线x即学校可规划初中18班，高中个班,1.245.6

（万元）.可获最大年利润为万元.评线性规划是直线方程的简单应用是新增添的教学内容是新大纲重视知识应用的体现根据考纲要求了解线性不等式表示的平面区域了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域后求线性目标函数在可行域中的最优解纳如下步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式②作出可行域写出目标函数③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．但在解答时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比较困难的．是函数方程思想的应用例18.A例例+

4

4例21.(x)y3例22.解OO的中O为原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，则O(由已知PM2PN得PM因为两圆半径均为1，所以22(x)，12(2)2x2)2y2，

所

在直线为x轴，即

2y.(或x2y

)例

例24.C

例25.C

例26.B例27.x2

+(y-1)

=1例28.xy=0或+7-例29.解：x2

+

－6x－8=0即(x－3)2

+(－4)

2

，设所求直线为y＝kx。∵圆半径为5圆心M（3，4）到该直线距离为3，∴d

|

，792kk，k。247∴所求直线为xx。24例⑴m满足[+[2(1-4m)]24，即7-6m-1<0,m⑵半径r=2m)2

7∵∴时r,77∴≤7⑶设圆心，则

xy2消去m得：y=4(x-3)2∴x

-1,

m∴所求轨迹方程为(-3)

2

(y+1)（x7直线、射线线段练习1一、填空1．我们在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为__________________．2．三条直线两两相交，则交点有_______________．3．如图1，AC=DB，写出图中另外两条相等的线段．4．如图示，线段AB长为，点线段AB上任意一点，若线段AC的中点，N为线段CB的中点，则线段MN长是_______________．图25．已知线段AB及一点P，若AP+PB>AB,则点在.6．已知线段直线上有一点C,且是线段AC中点,则长为.

①一条直线上只有两个点；②射线没有端点；③如图，点是直a的中点；④射OA与射线是同一条射线⑤延长线段C使ABBC⑥延长直CD到，．8.如图给出的分别有射线，直线，线段，其中能相交的图形有

个．

A

D

D

A

C

D①

②

③

④二、选择1．下列说法中错误的是（A．A两点之间的距离为B．A、B两点之间的距离为线段AB的长度C．线AB的中点C到A两点的距离相等D、B两点之间的距离是线段AB2．下列说法中，正确的个数有（（1）射线AB和射线BA是同一条射线（2）延长射线MN到C（3）延长线段MN到A使NA==2MN（4）连结两点的线段叫做两点间的距离A．1B．2C．3D．43.同一平面内有四点，过每两点画一条直线，则直线的条数是（）(A)1条(B)4条(C)6条(D)1条或4条或6条4．如图4,C是线段AB的中点，D是CB上一点，下列说法中错误的是（A．CD=AC-BDB．CD=

12

BCC．CD=

AB-BDD．CD=AD-BC

图45.如果线段AB=13cm,MA+MB=17cm,那么下面说法中正确的是().A．M点在线段上B．M点在直线AB上C．M点在直线外D．M点可能在直线AB上,也可能在直线外6．如图5,小华的家在A处，书店在B处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（)A．A→C→D→BB．A→C→F→BC．A→C→E→F→BD．A→C→M→B

图57.某公司员工分别住在A，，C三个住宅区A区有30人，区有人，C区有10人，三个区在同一条直线上，如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小那么停靠点的位置应设在（）

100200米

C

图图Ａ．区ＢBＣC区Ｄ．，B两区之间8．已知点A、B都是直线l上的点，AB=5cm，那么点A与点之间的距离是（）.A．8cmB．2cmC．8cm或2cmD．4cm三、想一想1．如图6，四点A、B、C、D，按照下列语句画出图形：（1）连结A，D，并以cm为单位，度量其长度；（2）线段AC和线段DB相交于点O；

图6（3）反向延长线段BC至E，使BE=BC．2．动手操作题：点和线段在生活中有着广泛的应用．如图7,用7根火柴棒可以摆成图中的“8你能去掉其中的若干根火柴棒，摆出其他的9个数字吗？请画出其中的4个来．3分）如8，C为线段的中点，N为线段CB的中点，CN=1cm.求图中所有线段的长度的和．图84本题12分）在同一条公路旁，住着五个人，他们在同一家公司上班，如图9,不妨设这五个人的家分别住在点ABDEF位置司在C点AB=4kmBC=2km，CD=3km，DE=3km，EF=1km，他们全部乘出租车上班，车费单位报销．出租车收费标准是：起步价3元3km以内，包括3km后每千米1.5元（不1km，以1km计算辆车能容纳3人．（1）若他们分别乘出租车去上班，公司在支付车费多少元？（2）如果你是公司经理，你对他们有没有什么建议？图96.如图，在正方形两个相距最远的顶点处逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛．①蜘蛛可以从哪条最短的路径爬到苍蝇处？请你画图并说明你的理由？②如果蜘蛛要沿着棱爬到苍蝇处，最短的路线有几条？

苍蜘7．图10为中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点．B等处．若“马”的位置在C，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图的棋盘上用虚线画出一种你认为合理的行走路线．直线、线线段练习2

图10一．选择题：1．下列说法中，错误的是（A．经过一点的直线可以有无数条B．经过两点的直线只有一条C．一条直线只能用一个字母表示D．线段CD和线段DC是同一条线段2.已知线段段长度是（）Ａ．5Ｂ．1Ｃ．5或1Ｄ．非以上答案3．下列图形中，能够相交的是()．4.下列叙述正确的是（）①线段AB表示为线段BA；②射线AB可示为射线；③直线AB可表示为直线BA．Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②③Ｄ．①②③5.平面上有三点A，C，如果，，，则（）

Ａ．C线段Ｂ．C线段延长线上Ｃ．C直线Ｄ．C能在直线上，也可在直线外6.如图，AC，BD，与AB之比为（）4CB11Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．612167.下列四个生活产现象用两个钉子就可以把木条固定在墙上②植树时，只要定出两棵树的位置就能确定同一行树所在的直线③从地B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②④Ｄ．③④二．填空题：8.直线有个端点，射线有个端点，线段有个端点．9.经过两点可以作

条线段，

条射线，

条直线．10根据图，填空：⑴段AD交线BC于E；线．

线段至F反向延长射⑵延长线段DC交的

于点F，线CF是线的

线．D

CA

11三点，B在同一条直线上，且，则AC．12.在一直线上有ABC点M为AB中点N的中点ABm，BCn，则用的代数式可表示线MN．13.在连结两点的所有线中，最短的是．三．解答题：14.读句子，画图形：⑴直线l与两条射，OB分别交于，点D．⑵作射线OA，上截取点D，E，使OD15.如图：ABcmcm，如O线段的中点．求线长度．(括号内注理由)

OB

解：∵

AC=+=7

（cm

又∵

O为AC的中点）∴OC=AC=(㎝)）OBOCBC（cm16.图中B是四个居民小区，现在为了使居民生活方便，想在四个小区之间建一个超市，最好能使超市距四个小区的距离之和最小．请你来设计，能找到这样的位置P点吗？如果能，请画出点．

D17.往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问：（1）有多少种不同的票价？（2）要准备多少种车票？18.如图，BC::34，的中点MCD中点N距离是，则____．

MBCN

D19.已知线cm，试探讨下列题．⑴是否在一点C，它到B两点的距离和等于8cm？并述理由⑵是