重庆市名校联盟高二上学期第一次联考数学试卷(理科)

重庆市名校联盟2018-2019学年高二上学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（共小题每小题5，满分60分）1．已知点A（，（，﹣1直AB的斜角是（）A．60°B．30°C．120°D1502．与直线y=﹣平，且与线y=2x+4交于轴上同一点的直线方程是（）A．y=﹣3x+4B．x+4C．y=3x﹣．y=x+3．已知直三棱柱ABC﹣ABC中AC⊥BCAC=2，BC=3AA=4则此三棱柱的体积等于（）1111A．24B．12C．8D．44．圆x+y2+4x﹣﹣1=0关于坐原点对称的圆的方程是（）A）+（﹣）=6B﹣）+﹣12=6C﹣）+（y+1）=6D）+（y+1）2=65．某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A）B）πC）πD）π6．若m，n是条不同的直线，，βγ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m，⊥β，则⊥αB．若⊥β，∥，α⊥βC．若γ，αβ，β⊥γD．若αγ=m，β∩γ=nm∥，则α∥β7．某组合体如图所示，上半部是正四棱锥﹣EFGH下半部分是长方体﹣EFGH．四棱锥PEFGH的高为，EF长为2，长为1，该组合体的表面积为（）A．20B．4+12C．16D．4+88．已知圆M：+y2﹣21=0与圆：x+y+2x+2y2=0相于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，圆M圆心坐标为（）A，﹣2）B1，2）1﹣）D，2）9．已知三棱柱ABC﹣ABC的侧与底面边长都相等A在面ABC上的射影D1111为BC的中，则异面直线AB与CC成的角的余弦值为（）1A．B．C．D．10．已知点A、B、、在一面上AB=BC=

，AC=2，⊥面ABC，四面体的积为，这球的体积为（）A．8

B．

C．16D．11．曲线y=1+

与直线kx﹣﹣k+3=0有两个交点，则实数的取范围是（）A∞，﹣）（，∞，）

C．．﹣，）（0]

12．如图正方体ABCD﹣BCD棱长为P为BC中Q线段CC上的动点，过APQ的面截该正11111方体所得的截面记为S，下列命题正确的是（）①当0＜＜时S为四形②当CQ=时，S为等梯形；③当CQ=时，S与CD交满R=；1111④当＜＜时，S为六形⑤当时，S的面积为．A．①③④B．②④⑤C．②④D①②③⑤二、填空题（本大题共4小题每小题分）13．过点P（，﹣1）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直方程为．14．几何体ABCDEF如所示，中ACABAC=3AB=4AECDBF均垂于面ABC，且AE=CD=5BF=3则这个几何体的体积为．15．直线x﹣﹣3=0与圆x﹣2

+（y+3）=9交，两点，EOF（为坐原点）的面积等于．16．如图，在三棱锥S﹣ABC中，是边长为2的三角形，面DEFH分别与棱锥﹣ABC的四条棱AB、BC、SC、交DE，若直线SB∥平面DEFH，线AC∥平面DEFH，则面DEFH与平面SAC所的二面角（锐角的余弦值等于．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．如图，在四棱锥P﹣中底面是平行四边形，BAD=45°，AB=2，，PA⊥平ABCD，E是PC的点F是AB的点（）证BE∥平面PDF；（）证：平面⊥面PAB18．已知以点A（﹣1，）圆的圆与直线：x+2y+7=0相，过点B（﹣，）动直线l与相交于M、两点（）圆A的程．（）|MN|=2时求直线l方．19．如图，正三棱柱ABC﹣B侧棱长和底面边长均为2D是BC的中点．111（）直线AB与CD所角的余弦值；11（）三棱锥C﹣的积11

20．已知点（，，，0）在同圆．（）圆C方（）圆C与线x﹣交A，B两点且OA⊥OB求的值21．如图，在四棱锥P﹣中底面是矩形．已知AB=3，AD=2，，（）明AD⊥面PAB；（）异面直线PC与AD所成角的正切值；（）二面角P﹣﹣的正切．

，∠PAB=60°．22．如图，圆C：x﹣1+a）﹣ay+a=0（）圆C的径为，圆方程；（）知a＞1，圆C与x轴交于两点M，（点M在左侧点M任作条直线与圆O：

2

+y

=4相交于两点A，．问：是否存在实数a，得ANM=∠？若存在，求出实数a的，若不存在请说明理由．

重庆市名校联盟2018-2019学年高二上学期第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共小题每小题5，满分60分）1．已知点A（，（，﹣1直AB的斜角是（）A．60°B．30°C．120°D150【考点】直线的倾斜角．【分析】先求出直线AB的率，设倾斜θ，据斜率的定义得到tan=k【解答】解：设直线的倾斜角θ，而直线AB的率k=

=﹣，据斜率的定义得tan=k即tan=，∵°θ＜180，∴°．故选：．2．与直线y=﹣平，且与线y=2x+4交于轴上同一点的直线方程是（）A．y=﹣3x+4B．x+4C．y=3x﹣．y=x+【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】依题意，可求得所求直线斜率及与x轴点坐标，利用点斜式即可求得其方程．【解答】解：∵直线﹣3x+1的率为3，则所求直线斜率k=﹣，直线方程中令y=0，则x=2，即所求直线与x轴交坐标为（﹣，0故所求直线方程为y=﹣（x+2即y=﹣﹣．故选C．3．已知直三棱柱ABC﹣ABC中AC⊥BCAC=2，BC=3AA=4则此三棱柱的体积等于（）1111A．24B．12C．8D．4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱柱为直三棱柱，则侧棱垂直于底面，故体积V=SAA．ABC1【解答】解：∵三棱柱为直三棱柱，则侧棱垂直于底面；∴AA⊥面ABC；1V=S•=×××4=12．ABC1故选：4．圆x+y2+4x﹣﹣1=0关于坐原点对称的圆的方程是（）A）+（﹣）=6B﹣）+﹣12=6C﹣）+（y+1）=6D）+（y+1）2=6【考点】圆的标准方程．

【分析】吧已知圆的方程化为标准形式，求出圆心关于坐标原点对称的圆的圆心，可得要求的的标准方程．【解答】解：圆x

2

+y

+4x﹣2y﹣1=0，即（x+2）

+（﹣）

2

=6，它的圆心为（﹣，故它关于坐标原点对称的圆的圆心为，﹣故它关于坐标原点对称的圆的方程x﹣）

+（）

=6，故选：．5．某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A）B）C）πD）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，由图中所提供的数据进计算即可得到所求的表面积选出正确选项【解答】解：由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，圆柱的底面积π，柱的侧面积为2×π，锥的母线长为，

，侧面积为，以总的侧面积为故选A．6．若m，是两不同的直线αβ，γ是个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m，⊥β，则⊥αB．若⊥β，∥，α⊥βC．若γ，αβ，β⊥γD．若αγ=m，β∩γ=nm∥，则αβ【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个项中的结论，即可找出正确选项．【解答】解：A．错误，由β⊥α，得不β内直线垂直于α；B．正确∥，根据线面平行的性质定理知内存在直线n∥，m⊥，n⊥βn，α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得β⊥γ；D．错误，可以想象两个平αβ都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选B．7．某组合体如图所示，上半部是正四棱锥﹣EFGH下半部分是长方体﹣EFGH．四棱锥PEFGH的高为，长为2，长为，则该组合体的表面积为（）

A．20B．4+12C．D．+8【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】求出正四棱锥P﹣EFGH斜高，即可求出该组合体的表面积．【解答】解：由题意，正四棱锥P﹣EFGH的斜高为=2该组合体的表面积为2×2+4××1+4=20故选A．8．已知圆M：

2

+y

﹣2mx+4y+m

﹣1=0与圆N：x

+y+2x+2y﹣相于A，两点且这两点平分圆N的圆周，则圆M的心坐标为（）A，﹣2）B1，2）1﹣）D，2）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意在eq\o\ac(△,Rt)AMN中，|AM|=|AN|+|MN|，即可求圆的圆坐标．【解答】解：由题意，圆M的心坐标为（，﹣径圆N的心N（﹣，1径，为弦AB的中点，在eq\o\ac(△,Rt)AMN中，|AM|=|AN|

+|MN|

，∴（m+1）

2

+1，∴m=﹣，∴圆M的圆坐标为（﹣，﹣2故选C．9．已知三棱柱ABC﹣ABC的侧与底面边长都相等A在面ABC上的射影D为BC的点，则面直线1111AB与CC所成角的余弦值为（）1

A．B．C．D．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC所的角（如AAB欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示11出AB的长度即可；不妨设三棱﹣ABC的棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．1111【解答】解：设的中为D，接A、、B，知θ=A即为面直线AB与所的角；1111并设三棱柱﹣BC的棱底面边长为，则AD|=，D|=，B|=，11111由余弦定理，得cosθ=故选D．

=．10．已知点、、、在同一面上AB=BC=个球的体积为（）

，AC=2，⊥面ABC，四面体ABCD体积为，则这A．8

B．C．πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】将四面体扩充为长方体，体对角线为=2，求出球的半径，即可求出球的体积【解答】解：根据题意知eq\o\ac(△,，)ABC一个直角三角形，其面积为1．∵DB⊥平面ABC，四面体的积为，∴=，∴，将四面体扩充为长方体，体对角线为∴球的半径R=

=2，则这个球的体积为：π（

）

=

．故选B．11．曲线y=1+

与直线kx﹣﹣有个交点，则实数的取值范围是（）A∞，﹣）（，∞B，）

C．D．﹣，）（0]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进研究即可．【解答】解：由kx﹣﹣k+3=0知直线过定（，3y=1+

两边平方得x

2

+（﹣）=4，则曲线是以（0，）为圆心，为径，且位于直线y=1方的半圆．

当直线l过（2，1）时，直l与曲线有两个不同的交点此时﹣﹣﹣k+3=0，解得k=，当直线l过（，），直线l与线有两个不同的交点此时2k﹣1﹣k+3=0，解得k=﹣，当直线l与线切时，直线和圆有一个交点，圆心（，）直线kx﹣﹣k+3=0的距离d==2，解得或要使直线﹣﹣k+3=0与曲线y=1+

有两个交点时，则实数k的值围[﹣，）∪（，]故选：．12．如图正方体ABCD﹣BCD棱长为P为BC中Q线段CC上的动点，过APQ的面截该正11111方体所得的截面记为S，下列命题正确的是（）①当0＜＜时S为四形②当CQ=时，S为等梯形；③当CQ=时，S与CD交满R=；1111④当＜＜时，S为六形⑤当时，S的面积为．

A．①③④B．②④⑤C．②④D①②③⑤【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由已知情况根据CQ的同取值，分别作出图形，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：当时，S为腰梯形，②正确，图如下：当时，S是形，面积为=，⑤正确，图如下：当CQ=时画图如下：C，③正确1

当

时，如图是五边形，④不正确；当0＜CQ＜时如下图，是四边形，故①正确故选：．二、填空题（本大题共4小题每小题分）13．过点P（，﹣1）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直方程为2x+y﹣．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．

【分析】设与直线x﹣2y+3=0垂的直线的方程为2x+y+c=0，点P（，1）的坐标代入求出c，即得所求的直线的方程．【解答】解：设所求的直线方程为2x+y+c=0把点P2，）的坐标代入得4﹣1+c=0，∴c=﹣，故所求的直线的方程为﹣3=0故答案为2x+y﹣3=0．14．几何体ABCDEF如所示，中ACABAC=3AB=4AECDBF均垂于面ABC，且AE=CD=5BF=3则这个几何体的体积为26．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，延长BF到M使FM=2，连接EMMD则几何体ABC﹣为直三棱柱，F﹣DEM三棱锥，FM⊥底面DEM．利用三棱柱三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，延长BF到M，FM=2，连接EMMD，则几何体ABC﹣为三棱柱F﹣为三棱锥，⊥面DEM．∴几何体的积V==26．故答案为：．

﹣15线x﹣2y﹣与﹣交于E两点（为标原点积等于．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】先求出圆心O（，3到直线的距离，由弦长公式求|EF|，利用点到直线的距离式求出1到l的离，代入三角形的面积公式进行运算．【解答】解析：如图：圆心O（，3）到直线：x﹣2y的离为，1则由弦长公式可|EF|=2

=4，O到的距d==，故

eq\o\ac(△,S)

=d|EF|=，

故答案为：．16．如图，在三棱锥S﹣ABC中，是边长为2的三角形，面DEFH分别与棱锥﹣ABC的四条棱AB、BC、SC、交DE，若直线SB∥平面DEFH，线AC∥平面DEFH，则面DEFH与平面SAC所的二面角（锐角的余弦值等于．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取AC的点O，连结连，交DE，连结，交HF于M，由已知条件推导出为平面DEFH与平SAC所成角的平面，由此能求出结果．【解答】解：∵、、、分是ABBC、SASC的中点，∴DE∥，∥，∥．EFSB则四边形DEFH是平行四边形，∵SA=SB=SC=4，是长为2的三角形，且HD=EF==2，DE=HF==1取AC的中O，连结OB，交DE，连结SO交HF于，∵SA=SC=SB=4，AB=BC=AC=2，∴AC⊥，⊥，∵S0∩OB=O，∴AO⊥平面SOB，∵HF∥，∴⊥面MON，∴MO⊥，⊥，∵平面DEFH∩平面SAC=HF，∴∠NMO为平面DEFH与面SAC成角的平面角，∵MN=

，MO=

，NO=

，

∴cos∠=．故答案为：．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在四棱锥P﹣中底面是平行四边形，BAD=45°，AB=2，E是PC的点F是AB的点（）证BE∥平面PDF；（）证：平面⊥面PAB

，PA⊥平面ABCD，【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析）取PD的中M，三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形是行四边形，且BE∥，合线面平行的判定理，即可得到BE平面；（）接，∵BAD=45°AB=2AD=F为AB的点，可得DF⊥，PA⊥平面ABCD可得PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理得DF平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF平面PAB．【解答】证明）PD的点M∵是PC的中，∴ME是PCD的位线，∴ME∥，∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥，∵BE平PDF，平面PDF，∴BE∥平面PDF．

（）接BD，∵∠BAD=45°，AB=2，AD=∴DF⊥，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥，又由PA∩，∴DF⊥平面PAB，又∵DF平PDF，∴平面⊥面PAB．

，为AB的点，18．已知以点A（﹣1，）圆的圆与直线：x+2y+7=0相，过点B（﹣，）动直线l与相交于M、两点（）圆A的程．（）|MN|=2时求直线l方．【考点】直线与圆相交的性质．【分析）利用圆心到直线的离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（）据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式定直线方程．【解答】解）意知A（﹣1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程（x+1）

2

+（﹣）

=20（）径定理可知MQA=90°且

，在eq\o\ac(△,Rt)AMQ中勾股定理易知设动直线l方为y=k（x+2）x=﹣，显然x=2题意．由A（﹣，）l距为1知．∴3x﹣或﹣为所求l方．19．如图，正三棱柱ABC﹣B侧棱长和底面边长均为2D是BC的中点．111（）直线AB与CD所角的余弦值；11（）三棱锥C﹣的积11

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析）连结AC交AC于E，连结DE由三角形中位线性质可得CDE为直AB与C所成角，11111然后由已知求解直角三角形得到三角形CDE三边长，利用余弦定理求得直线AB与CD所成角余弦值；111（）接利用等积法把三棱锥CADB的体积转化为三棱锥ADBC的体积求解．1111【解答】解）连结AC交AC于E连结DE，11∵为BC中点，E为AC的点∴DE∥B，11∴∠CDE为线AB与CD所成角．111∵侧棱长和低面边长均为2，∴，，，在△CDE中，；1（）CC⊥平面ABC，平ABC∴C⊥AD，11在正三角形ABC中，D为BC中点∴AD⊥，则AD⊥平面BCC，11∴=．20．已知点（，，，0）在同圆．（）圆C方（）圆C与线x﹣交A，B两点且OA⊥OB求的值【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【分析）设出圆的标准方程把三个点代入，联立方程组求得．（）出点A，B的标，联立直线与圆的方程，消去y确定关于x的一二次方程，已知的垂直关系，确定xx+yy=0，利用韦达定理得．1212【解答】解）∵圆过（3+2，0，）点，故圆心的横坐标为3，

设圆的方程为（﹣）+（﹣）=r，把点（，）入圆的方程得=r，①把点（，）入圆的方程得9+﹣）

=r，①②联立求得，

2

=9，故圆C的方为x﹣）

+（y﹣）

2

=9．（）A（，（，1122若OA⊥，xxy=0，1212联立直线与圆的方程，2x

2

+2（﹣）（﹣）

=0，xx+yy=xx+（a+xa+x）12121212=2x+a（x）2=0，1212代入两根之和与两根之积，解得a=1．21．如图，在四棱锥P﹣中底面是矩形．已知AB=3，AD=2，，（）明AD⊥面PAB；（）异面直线PC与AD所成角的正切值；（）二面角P﹣﹣的正切．

，∠PAB=60°．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析）过就是2+AD=PD，证明⊥．结合ADAB．后证明⊥面PAB．（Ⅱ）说明∠PCB（或其补角）异面直线PC与AD所成角．eq\o\ac(△,在)PAB中，由余弦定理得，断PBC是直角三角形，然后求解异面直线与AD成的角正切函数值．（Ⅲ）过点P做PH⊥于过HEBD于E连结证明∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平角RT△PHE中．【解答）明：在PAD中，由题设，可得PA+AD=PD，是AD⊥PA．在矩形中，AD⊥．PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，∥，以PCB或其补角）是异面直线