高中数学“数列的综合问题”doc

高中数学“数列的综合问题”doc高中数学“数列的综合问题”doc高中数学“数列的综合问题”doc感谢赏析专题讲座高中数学“数列的综合问题”一、对本专题数学知识的深层次理解（一）数列综合问题的几个要点内容数列的综合问题课标中并无明确的陈述，但经常是高观察看涉及到的问题，如：数列乞降问题；数列与不等式综合问题；关于递推数列的问题等。这些问题经常涉及数列知识的综合和高考的察看要点，讲课中教师要恩赐关注并较好的掌握。（二）讲课内容的要点、难点要点：在解决数列问题中要关注数列的属性、项数，用函数的见解研究数列；掌握数列乞降的基本方法及基本的递推数列问题。难点：数列与不等式综合问题中的放缩问题；解决递推数列问题的策略。二、“数列综合问题”的教与学的策略（一）解决数列问题的基本思路判断所要求研究的数列可否为特别数列：等差数列或等比数列，若是是，用公式和性质解决.若是不是等差、等比数列，要么转变成等差数列或等比数列，要么搜寻其他方法.所以我们拿到一个数列的问题时，要注意关注数列的属性。1．关注数列的属性感谢赏析感谢赏析此题的要点是定性，即关注数列的属性。2．关注数列的项数感谢赏析感谢赏析此题涉及等差、等比数列的综合问题，察看了等比中项，等差数列的通项公式等基本知识，察看了方程思想，要点是利用已知条件找到Kn与n的关系。3．用函数的见解认识数列感谢赏析感谢赏析此题的要点是用函数的见解去对待数列问题，此题也涉及到不等式的知识.感谢赏析感谢赏析以上几个例题从不同样角度反响了数列是特其他函数这一问题，所以解决数列问题，经常能够利用解决函数问题的思虑方式。（二）关注数列乞降问题的讲课数列乞降的问题需要依据数列特色选择解决方法，必然掌握常用的数列乞降方法，但数列乞降经常和其他知识综合在一起，综合性较强.若为等差（比）数列，则直接用公式乞降；若非等差（比）数列，则需搜寻间接乞降的方法.常有的有：“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”等.1．用公式乞降感谢赏析感谢赏析剖析:课本上推导等差数列的前项和公式的方法为倒序相加法,故设感谢赏析感谢赏析数列乞降的问题需要依据数列特色选择解决方法这一点在讲课中应该素来坚持。（三）数列与不等式综合问题的讲课感谢赏析感谢赏析关于学生来说，他们特别清楚证明此题的方向，即先放缩再乞降，但是学生的问题就是放缩的偏差过大，而不能够够判断是什么原由致使的偏差过大.学生解法：提出以下改进方案.方案1：通项放缩不变，减少放缩的项数试一试1：第一项不放缩，从第二项开始放缩感谢赏析感谢赏析依旧失败，但是离成功更近了.试一试3：前三项不放缩，从第四项开始放缩终于成功了！方案2：减小通项的放缩偏差感谢赏析感谢赏析反思：关于改进1，只管最后没有成功，但从上边方案1的最后成功能够获得启示，改进为在乞降时第一项不放缩，从第二项开始放缩。不等式得证.感谢赏析感谢赏析解题要在已有的知识基础上，研究解题思路的发现过程。（四）关于递推数列的讲课这种问题是学生学习的疑点或盲点。一方面，他们不能够够牢固掌握解决此类问题的一般思想方式：即第一利用公式中消去an或Sn使递推式得以一致，再思虑可否从简化的递推式中发现与an或Sn相关的特别数列，甚至是走“察看—归纳—猜想—证明”的研究之路；另一方面，在应用公式进行变换的过程中，常忽略n取值范围的变化，而使求解与论证失掉谨慎性。在讲课中要防备题型套题型，没有思想方法的主线，讲课变成纷乱无章的堆砌的现象。也要防备采纳灌输的方法，将这些题型和方法强加给学生的现象，这种只给结果的讲课是不能够能奏效的，由于没有对解法的本源的任何交代，学生是没法理解的。常有做法——归纳题型，总结技巧：题型套题型，没有思想方法作为主线，显得纷乱无章。感谢赏析感谢赏析这是一个数列递推问题，一般地，抽象问题详尽化，一般问题特别化是数学中采纳的基本策略。所以，先察看几个特其他详尽问题，以便从中找出思路。设计企图：此题是解决整个问题的要点，取p=2，q=1，是由于这时比较简单察看出其构造特色，并能够采纳“凑”的方法，将数列化归为等比数列。注意，讲课中应该在这里舍得花时间，松手让学生自己去做，教师不用干预过多。学生可能会计算出数列的前几项，进而猜想出通项公式，这应该是学生思想的火花，教师应该实时激励。感谢赏析感谢赏析感谢赏析感谢赏析当n=1时也建立能够用思虑五解题的学生，很好地利用迭代的方法解决问题。设计企图：在前面几个问题的铺垫下，这一问题的解决已经水到渠成，自然，由于实行了“同类事物”，所以要注意“齐全性”，要对细节、特例进行讨论。感谢赏析感谢赏析上述设计，我们不是把“待定系数法”强加给学生，而是经过从特别到一般指引学生发现这种问题的构造特色，让学生经过独立思虑而获得这种问题的一般解法。固然其构造性很强，但方法不是从天上掉下来的，而是“合情推理”的结果。要点掌握三各种类的由递推公式求通项方法感谢赏析感谢赏析感谢赏析感谢赏析此题学生应该在理解的基础上，自觉应用迭乘法，而不是简单的套用公式。三、学生学习目标的检测（一）课标与高考对数列综合问题内容的要求数列作为一种特其他函数，是反响自然规律的基本数学模型．学生将经过对平时生活中大批实诘责题的剖析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，研究并掌握它们的一些基本数目关系，感觉这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实诘责题．在数列的基本问题一讲中，我们已经陈述了课标对数列内容的要求，关于数列的综合问题课标没有详尽的陈述，但是从历年高考的状况我们能够发现，高考数列综合试题经常呈现以下特色：以知识和方法立意察看等差、等比数列的相关知识，以求数列的通项公式和前n项和公式为主线，察看数列中的重要方法能力立意，以数列为素材，要点察看学生的研究能力、思想能力、综合能力、创新意识，此类题目背景、立意、构造都较奇异。感谢赏析感谢赏析（二）典型题目剖析经过例题看察看要求感谢赏析感谢赏析此题以数列为背景，经过新定义察看学生自学能力、创新能力、研究能力。这种题目经常作为高考创新问题，此题学生在阅读理解上可能会遇到阻截，即是怎样产生的，其他学生也可能会在运用新定义上产生迷惑，教师应该从特别到一般的方法指引学生解决问题。互动对话【参加人员】郭洁北京市东城区教师研修中心中学数学教研室主任，特级教师陈昌林东城区骨干教师，高级教师胡园燕东城区骨干教师，一级教师感谢赏析感谢赏析【互动话题】1．讲课方案要有益于不同样层次学生的学习讲课方案是多种多样的，有的以“教”为中心，有的以“学”为中心，风格各异。怎样进行数列的讲课方案才能让学生更好地学会知识和方法呢？我感觉采纳哪一种模式的讲课方案，要依据学生的状况而决定，其实不是必然要必然一方，而否定另一方。比方，等差数列引入见解讲课，我们给出两个方案，面对不同样层次的学生就可以选择不同样的方案。2．怎样掌握数列综合问题的办理方法有一些数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是却能够经过代数变形转变成等差等比数列，今后用等比数列的知识解决此类问题。用例题说明。3．解决数列综合问题中怎样浸透“消项”的思想求数列前n项和的思路和方法是多种多样的，必然依据所乞降式的特色来采纳。推导等差数列的前n项和公式,是依据等差数列的对称性，所用的方法是“倒序相加法”。对等比数列的前n项和,是用错位相减法获得的。其实这些方法的实质近似于初中方程组求解的消元思想，消元的目的是减少未知数的个数，消项的目的是减少量列和式中的多个项数，他们有异曲同工之妙。4．怎样办理好数列中的实诘责题数列作为特其他函数，在实诘责题中有着广泛的应用，如增加率，减薄率，银行信贷，浓度般配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用相关见解式外，还要擅长察看题设的特色，联想相关数学知识和方法，迅速确立解题的方向，以提升解数列题的速度.下边以分期付款中的相关计算为例说明。5．怎样掌握数列综合问题习题的难度——用例题说明。事例评析【事例信息】感谢赏析感谢赏析事例名称：《递推数列求通项公式问题》讲课教师：胡晓梅（北京宏志中学）评析教师：郭洁（北京市东城区教师研修中心）【课堂实录】【事例评析】递推数列求通项公式问题这节课教师第一设置了明确的讲课目的。即加深理解等差数列、等比数列的通项公式及求通项公式的方法。经过构造等差、等比数列求递推数列通项公式，使学生领悟化归转变的数学思想，经过由特别到一般的解决问题方法，培育学生的归纳推理能力。带领学生经历将陌生问题转变成熟习问题，复杂问题转变成简单问题，再利用有关知识解题的过程，广阔学生思虑问题思路，优化学生数学思想质量。其他教师正确掌握了讲课的要点：递推数列通项公式的求法研究和讲课难点：等差、等比数列的构造方法。在课堂讲课中教师采纳了教师指引，学生研究的讲课方式，切合新课标的理念，切合学生的思想特色。在讲课过程中，教师经过问题串儿的形式，启示学生的思想，经过从特别到一般的思想路线指引学生学习递推数列求通项公式问题。在复习引入阶段教师经过以下三个问题：等差数列、等比数列的定义。等差数列、等比数列的通项公式。提出问题，还有一类用递推公式表示的数列，叫做递推数列。也是一种比较特其他数列，我们若是来求它的通项呢？加深学生同样差数列、等比数列这种特别数列的认知，同时激发学生对对递推数列通项求法的研究热忱。在问题研究阶段，教师注意突出要点，打破难点，先后设置了四个问题感谢赏析感谢赏析问题1：已知数列的通项公式.关于问题1，教师启示学生，解决这个问题的要点是什么指引学生关注式子，进而希望找到对式子的办理方法。当学生用两边各加1的方法解决此题后，教师实时总结解决此题的要点是构造等比数列，将复杂问题转变成简单问题，将未知问题转变成已知问题。并追问学生怎么想到这种解法的，进而揭露学生的思想过程。紧接着，教师将问题由特别引向一般，追问：拥有何种形式的递推公式可用此类方法求通项公式？进一步将学生的思想引向深入，解决形如的问题，并研究解决的方法：待定常数法，化为等比数列。讲课中“待定系数法”不是强加给学生，而是经过从特别到一般指引学生发现这种问题的构造特色，让学生经过独立思虑而获得这种问题的一般解法。固然其构造性很强，但方法不是从天上掉下来的，而是“合情推理”的结果。经过问题1的解决过程学生领悟到怎样将一个递推数列转变成为熟习的特别数列，常用的方法是构造的方法，也就是说，依据题目所给的条件，构造一个新数列，使这个数列转变成为等差数列或等比数列.在学生已有认知的基础上，经过对问题1的研究让学生感知怎样由递推公式构造出切合等差数列定义的新数列，进而求通项的方法。领悟化归的思想.经过对问题1这种递推公式求通项方法的总结，使学生领悟由解决一个题到解决一类题，由特别到一般的思想过程，提升归纳推理能力。同时对已有知识的一次新认识又激发了学生更浓的研究兴趣.有了问题1的铺垫，对问题2的思虑及种类和方法的总结就显得水到渠成了。同时学生也会由于初步掌握这种研究问题的方法而有成就感。在问题再研究阶段，同样差、等比数列求通项的方法进行回顾，学生能够从中读出了不同样样的内容，是很典型的“温故而知新”。此时问题3、4的提出及归纳总结，就完满能够松开由学生讨论解答，让学生去尽兴享受这种数学思想所带来的规律、有型、有序的逻辑之美。感谢赏析感谢赏析递推数列求通项公式问题这节课，思路清楚，设计合理，方法适合，奏效突出。在教学中教师没有采纳题型套题型的迂腐套路，也没有采纳灌输的方法，将这些题型和方法强加给学生，而是以思想方法的主线，重申对解法的本源的思虑，学生易于理解和掌握。讲课中的问题：课堂中发现有些学生同样差、等比数列的基础知识有忘记的表现，若是时间赞成，能够让学生总结这节课解决问题的方法和策略。思虑与活动【思虑与活动】请就解决数列问题的基本思路，说说您的讲课反思。学生在学习《数列与不等式》时有哪些迷惑，说说您对这些迷惑的办理方法。请写出《数列乞降复习课》的讲课方案。参照资料【相关资源】例说数列前n项积的求法（PDF）怎样求解数列的综合问题（PDF）感谢赏析感谢赏析【参照文件】1．文章《是不测，仍是必然？———对一类数列乞降问题解法的再思虑》.中学数学讲课参照.2010年4月上旬2．文章《关于分段数列乞降的一点注记》.中学数学讲课参照.2010年6月上旬3．文章《例说数列前项积的求法》.数学讲课2009年第11期4．文章《等比数列乞降公式的逆向应用》中学数学讲课参照.2010年10月上旬课程简介高中数学“数列的综合问题”讲课研究【课程简介】本课程主要阐述认识决数列综合问题的基本思路；关注数列乞降问题的讲课；数列与不等式综合问题的讲课；关于递推数列的讲课的问题。这些问题经常涉及数列知识的综合和高考的察看要点。本课程对在解决数列问题中要关注数列的属性、项数；用函数的见解研究数列；掌握数列乞降的基本方法及基本的递推数列等问题进行了研究。本课程对数列与不等式综合问题中的放缩问题；解决递推数列问题提出了相应的讲课策略。拥有较强的指导性。【学习要求】1．明确解决数列综合问题的基本思路，第一要判断所研究的数列的属性，今后注意转变，最后搜寻解决问题的方法.2．关注数列乞降问题的讲课策略，经过学习能够掌握数列乞降讲课的基本思想3．研究数列与不等式综合问题的讲课策略，认识学生的迷惑和疑难之处，能够采纳恰当的讲课方法进行讲课.感谢赏析感谢赏析4．掌握递推数列的讲课难度，理解高考要求，掌握要点解决的几个递推数列问题，并能够掌握适合的讲课方法.5．重视高考对数列综合问题的要求，掌握放缩的尺度。教师团队【主讲教师】郭洁：1982年毕业于北京师范大学数学系。北京市中学数学特级教师，北京市东城区教师研修中心中学数学教研室主任。长久从事中学数学讲课、教研及高考模拟试题的命题工作。现任北京市课改实验工作专家指导组成员，主持课程