微分方程模型和应用

微分方程模型和应用第1页/共59页典型微分方程模型Malthus人口模型Logistic模型新产品推广模型物种竞争模型正规战-游击战模型Lotka-VolterraModels海洋种群生态学相互作用和变化问题第2页/共59页世界人口增长概况中国人口增长概况

年代19081933195319641982199019952000人口3.04.76.07.210.311.312.013.0年代186018701880……1960197019801990

人口31.438.650.2……179.3204.0226.5251.4美国人口的增长概况

年代1625183019301960197419871999人口5102030405060第3页/共59页马尔萨斯（Malthus）指数人口模型假设人口增长率r是常数

或

其中N0=N(t0)为时刻t0种群数。

特点：种群数量翻一番的时间固定种群数量翻一番的时间为T：故第4页/共59页模型检验-短期预测马尔萨斯模型的预报结果，1961年世界人口30.6（3.06×109）人口增长率2%，每35年增加一倍。1700年至1961的260年人口数量人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。第5页/共59页Logisitic模型模型检验Logistic模型效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（E·F·Gauss）做原生物草履虫实验，都和Logistic曲线吻合。

第6页/共59页Logistic模型描述种群增长高斯把5只草履虫放进盛有0.5cm3营养液的小试管，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：第7页/共59页得到Logistic微分方程：或改写成：

第8页/共59页TheLogisticModelwhereKiscapacity.InGeneralSituation:ApplicationofLogisticmodelmodelingpopulationgrowthmodelingofgrowthoftumorsInchemistry:reactionmodelsInphysics:FermidistributionInlinguistics:languagechangeDoublelogisticfunction第9页/共59页MalthusandLogistic模型

Malthus模型和Logistic模型。前一模型假设了种群增长率r为一常数。后一模型则引入了一个竞争项。Logistic模型的应用推广

第10页/共59页新产品的推广模型需求量上界K，销售数量x(t)，未使用人数K－x(t).统计筹算律记比例系数为k，则x(t)满足：

此方程Logistic模型，解为：第11页/共59页Logistic模型示例新技术的传播和商业品牌的S形传播谣言或网络信息的传播-选举应用计算机病毒或传染病的扩散模型城市房地产价格的logistic曲线细胞分泌胰蛋白酶原和污染浓度扩散公司财务危机的Logistic回归模型自治系统和非自治系统第12页/共59页Predator-preymodelPredator-preymodelsareargublythebuildingblocksofthebio-andecosystemsasbiomassesaregrownoutoftheirresourcemasses.Speciescompete,evolveanddispersesimplyforthepurposeofseekingresourcestosustaintheirstrugglefortheirveryexistence.Dependingontheirspecificsettingsofapplications,theycantaketheformsofresource-consumer,plant-herbivore,parasite-host,tumorcells(virus)-immunesystem,susceptible-infectiousinteractions,etc.Theydealwiththegeneralloss-wininteractionsandhencemayhaveapplicationsoutsideofecosystems.Whenseeminglycompetitiveinteractionsarecarefullyexamined,theyareofteninfactsomeformsofpredator-preyinteractionindisguise.第13页/共59页第14页/共59页Typesofpredators

Carnivores

食肉动物–killthepreyduringattackHerbivores

食草动物–

removepartsofmanyprey, rarelylethal.Parasites寄生生物–consumepartsofoneorfewprey,

rarelylethal.Parasitoids拟寄生类–

killonepreyduringprolonged

attack.第15页/共59页Predator-preyModelx=amountofprey, y=amountofpredatordx/dt=xg(x)–yp(x)dy/dt=y[-s+cp(x)]g(x)isagrowthfunction,g(x),monotonicnon-increasing,p(x)ispredationfunctionp(x),monotonicincreasing,g(x)xg(x)kkxy(x*,y*)B>0第16页/共59页

Lotka-VolterraModelsSimplestmodelofpredator-prey=Lotka-VolterraLotkaandVolterraindependentlyproposeapairofdifferentialequationsthatmodeltherelationshipbetweenasinglepredatorandasinglepreyinagivenenvironment:VariableandParameterdefinitionsx–preyspeciespopulationy–predatorspeciespopulationr–IntrinsicrateofpreypopulationIncreasea–Predationcoefficientb–Reproductionrateper1preyeatenc–Predatormortalityrate第17页/共59页Ratio-Dependent

Predator-PreyModelParameter/VariableDefinitionsx–preypopulationy–predatorpopulationa–capturerateofpreyd–naturaldeathrateofpredatorb–predatorconversionratePreygrowthtermPredationtermPredatordeathtermPredatorgrowthterm第18页/共59页两种群竞争模型-Lotka-Volterra模型应用竞争结局有三种结果（1）种1胜而种2被排除；（2）种2胜而种1被排除；（3）两种共存。

第19页/共59页第20页/共59页植物与食植动物的食物链模型其中：V为植物密度；H为食草动物密度；r1—植物内禀增长率；K—未放牧时植物最大密度；d1—在植被稀少时，动物的牧食效率（寻觅效率）；a—当草场被啃平时，动物的下降率；C1—每头食草动物最大取食率；C2—当草地高密度时对动物下降状况的改善率；d2—在植被变稀时的动物繁殖能力；第21页/共59页●意识●动物●植物●地球●环境●社会第22页/共59页Lotka-Volterra-正规战与游击战第23页/共59页第24页/共59页第25页/共59页战争建模的格式正规战争：正规部队与正规部队作战2)游击战争：游击队与游击队作战3)混合战争：正规部队与游击部队作战第26页/共59页求微分方程的数值解1,常微分方程数值解的定义2,建立数值解法的一些途径3,用Matlab软件求常微分方程的数值解返回第27页/共59页

输入命令：

[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；

x=simple(x)%将x化简

y=simple(y)z=simple(z)结果：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t

y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t

第28页/共59页

用Matlab软件求常微分方程的数值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.第29页/共59页解:令y1=x，y2=y1’1、建立m-文件vdp1000.m如下：

functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，输入命令：

[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3、结果如图ToMatlab（ff4）第30页/共59页解

1、建立m-文件rigid.m如下：

functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令：

[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、结果如图ToMatlab（ff5）图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.返回第31页/共59页地中海鲨鱼问题

鱼类种群相互制约关系，第一次世界大战1914年—1918年,地中海各港口几种鱼类捕获量的资料，发现鲨鱼等的比例有明显增，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？意大利数学家V.Volterra建立一个食饵—捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.第32页/共59页

模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型.第33页/共59页首先，建立m-文件shier.m如下：

functiondx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2));dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1));其次，建立主程序shark.m如下：

[t,x]=ode45('shier',[015],[252]);plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')plot(x(:,1),x(:,2))ToMatlab(shark)第34页/共59页求解结果：

左图反映了x1（t）与x2（t）的关系。可以猜测：x1（t）与x2（t）都是周期函数。第35页/共59页考虑人工捕获

设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1降为r1-e，捕食者的死亡率由r2增为r2+e设战前捕获能力系数e=0.3,战争中降为e=0.1,则战前与战争中的模型分别为:第36页/共59页模型求解:1、分别用m-文件shier1.m和shier2.m定义上述两个方程2、建立主程序shark1.m,求解两个方程，并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例x2(t)/[x1(t)+x2(t)]ToMatlab(shark1)

实线为战前的鲨鱼比例，“*”线为战争中的鲨鱼比例结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！第37页/共59页种群生态学

CreatingFoodSystems第38页/共59页3-Levelsystempredator-preyLotka-VolterraEcosystemmodelingwith3-levelsystemthatdescribesaplanktonicmarineecosystem.FranksandChencoupledaNutrient-Phytoplankton-Zooplankton(NPZ)modelintoaprimitiveequationmodelandappliedittoexaminethesummertimeplanktondynamicsonGB.Thatwasthefirstmodelingefforttostudythebiologicalprocessunderthe“realistic”physicalenvironmentintheGoM/GBregion.第39页/共59页第40页/共59页第41页/共59页第42页/共59页第43页/共59页第44页/共59页第45页/共59页2009ICMChinauniversityofminingandtechnology第46页/共59页第47页/共59页ImprovedAlgaspicesmodel第48页/共59页Spicesofpopulation2第49页/共59页Spicesofpopulation3第50页/共59页Modelof3-Populations第51页/共59页第52页/共59页AnalyticalHierarchyProcess第53页/共59页Developacommercialpolyculturetoremedia