新课标人教A版必修2高中数学直线方程部分学案

本章知识结构如下：从几何直观到代数表示（建立直线的方程）

从代数表示到几何直观（通过方程研究几何性质和度量）

1．“直线的倾斜角与斜率”首先探索平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素－－点和倾斜角。给出斜率的概念，并用代数方法表示它，导出用两点坐标表示斜率的公式，并根据直线的斜率判断两条直线平行与垂直。2．“直线的方程”一节首先在直角坐标系中建立直线的方程，然后介绍直线方程的点斜式、两点式、一般式，最后得出结论：在平面直角坐标系中，一切直线的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示直线。3．“直线的交点坐标与距离公式”通过直线的方程研究两条直线的交点，并由此判断两条直线的位置关系：相交、平行及重合。通过点的坐标和直线的方程，导出两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线间的距离。第一节直线的倾斜角与斜率(一)(倾斜角与斜率的概念)【自学导航】直线的倾斜角定义:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（１）特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定倾斜角＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿（２）倾斜角的范围________2.直线的斜率的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（垂直于x轴的直线斜率＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）3、已知则AB的斜率为＿＿＿＿＿＿＿＿．4、对斜率k的定义及对斜率与倾斜角关系的理解K=0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．k>0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．k<0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．垂直于x轴的直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿＿＿．【问题探究】〖问题一〗求下列直线的斜率：经过点，；直线的倾斜角为．〖问题二〗如右图中，菱形ＯＡＢＣ中，，求菱形各边与对角线的倾斜角与斜率．〖问题三〗已知两点，，若过点的直线与线段ＡＢ总有公共点，你能求出直线的倾斜角与斜率的取值范围吗？【当堂练习】１．已知直线的倾斜角，指出直线的斜率：(1)＝0°；（2）＝60°；(3)＝90°；（４）150°２.直线经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是３.过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为().4C或3或44.若图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则有()<k2<k3<k1<k2<k2<k1<k3<k25．已知M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是.6．已知P(3，m)在过M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m的值是 【拓展提升】A组1．若直线过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线的斜率为,倾斜角为2.已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角2为________.3．已知两点A(x,－2),B(3,0),并且直线AB的斜率为，则x=4．斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值是()=4,b=0 =－4,b=－3=4,b=－3 =－4,b=35．已知直线的倾斜角为，点，，则x的值为（） Ａ． Ｂ． Ｃ．０ Ｄ．８6．若三点，，共线，求的值．７．在同一直角坐标系中，画出经过点并且斜率分别为，，，１，０的五条直线．B组８．如果直线经过A(－1,2m)、B(2，)二点，求直线的斜率K的取值范围．９．光线从点出发，射入y轴上的点Ｐ，再由y轴反射经过点，试求点Ｐ的坐标及入射光线与反射光线所在直线的斜率．直线的倾斜角与斜率(2)(两条直线的平行与垂直)【自学导航】1.平面内不重合的两条直线的位置关系有______与____________.2.不重合的两条直线,的斜率分别为,,则(1)∥________;(2)_________________3.特例:(1)两条直线中一条斜率不存在另一条斜率也不存在时,则它们都垂直于_______,互相_____.(2)两条直线中一条斜率不存在另一条斜率为0时,它们互相_____________【问题探究】〖问题一〗四边形ABCD的顶点为,,,,试判断四边形ABCD的形状.〖问题二〗已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系.〖问题三〗已知点,,,求点D,使得CD⊥AB,且CB∥AD.【当堂练习】直线,,它们的倾斜角分别为,,斜率分别为,.(1)_____时,=1500;(2)_____时,⊥x轴;(3)_____时,∥;(4)_____时,与重合;;(5)_____时,⊥. 【拓展提升】A组１．已知直线经过两点(-1,-2)和(-1,4),直线经过两点,,且∥,则x=() B.-2 2.下列说法正确的是() A.平行的两条直线的斜率存在且相等 B.平行的两条直线的倾斜角相等C.垂直的两条直线的斜率的乘积为 D.只有斜率相等的两条直线才一定平行3．经过点和平行于斜率等于1的直线,则m的值为() B.1 或4 或34．已知直线与经过两点,的直线垂直,则直线的倾斜角为() B.1200 5．已知△ABC的三个顶点,,,则其形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定6.已知直线与的斜率是方程的两根,则与的位置关系为_________.7.已知直线的斜率为2,过点,,且∥,则___________.8.已知点,,,且,则_________________.9.已知点A(1,-1),,三点,求点D,使四边形ABCD为平行四边形.B组10.已知△ABC的顶点,,,若三角形ABC为直角三角形,求m的值.11．已知过原点的直线与函数的图象交于A、B两点，分别过A、B两点作y轴的平行线与的图象交于C、D两点。（1）证明C、D与原点O在一条直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.直线的方程(1)(直线的点斜式方程)【自学导航】1.由直线上一定点及其斜率确定的直线方程叫做直线的___________方程;2.点斜式方程:若直线过点,斜率为,则其方程为________________________.3.斜截式方程:若直线的斜率为,且在y轴上的截距为b,则其方程为___________________.4.点斜式与斜截式方程不能表示______________的直线;若直线过点且与x轴垂直,这时它的倾斜角为_______,斜率___________,这时的直线方程为________________________.【问题探究】〖问题一〗分别求下列直线的点斜式直线方程:1.经过点P(2,5),斜率为4;2.经过点M(3,-1),倾斜角为600.〖问题二〗已知直线求直线恒经过的定点;（2）当时,直线上的点都在x轴的上方,求直线的斜率为的取值范围?〖问题三〗已知直线,,试讨论:(1)的条件是什么?(2)的条件是什么?【当堂练习】下列四个直线方程中,可以看作是直线的斜截式方程的是()A. B.C. D.2.方程表示()A.通过点的所有直线 B.通过点的所有直线 C.通过点且不垂直于x轴的所有直线D.通过点且除去x轴的所有直线3.直线过点(1,2),且它的的倾斜角是直线倾斜角的2倍,则直线的方程为_________________.4.倾斜角是1350,在y轴上的截距是的直线的方程为_________________.5.已知直线在y轴上的截距为,且与坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线的方程【拓展提升】A组1．直线l的方程为y=xtanα+2，则()（A）α一定是直线的倾斜角(B）α一定不是直线的倾斜角（C）π–α一定是直线的倾斜角（D）α不一定是直线的倾斜角2．直线y–4=–(x+3)的倾斜角和所过的定点分别是()(A）–,(–3,4)（B）,(–3,4)（C）,(3,–4)（D）,(3,–4)3．下列说法中不正确的是()（A）点斜式y–y1=k(x–x1)适用于不垂直于x轴的任何直线（B）斜截式y=kx+b适用于不垂直于x轴的任何直线（C）两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线（D）截距式适用于不过原点的任何直线4．已知直线方程：y–2=3(x+1),,y=–x–4,，其中斜率相同的直线共有()（A）0条（B）2条（C）3条（D）4条5．在y轴上的截距为–3，倾斜角的正弦为的直线的方程是.6．经过点(–3,–2)，在两坐标轴上截距相等的直线的方程为其一或.7．已知直线的斜率k=2,P1(3,5)、P2(x2,7)、P3(-1,y3)是这条直线上的三点，求x2和y3.B组8.一直线经过点A(2,-3),它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，求该直线方程.9.ΔABC的顶点是A(0,5)、B(1,-2)、C(-5,4)，求BC边上的中线所在的直线方程.10.过点P(1，2)的直线l分别交x轴、y轴于A、B，若P是线段AB的中点，求l的方程．直线的方程(2)(直线的两点式方程)【自学导航】1.经过两点,(其中,)的直线的方程为_______________________.2.若(其中)的直线的方程为_______________________.3.经过两点,(其中)的直线的方程为_____________________.4.若直线与轴的交点为,与轴的交点为(其中,),则直线的方程为__________________________________.5.两点式与截距式方程不能表示______________的直线.6.若,则P1,P2的中点P的坐标为_______________________.【问题探究】〖问题一〗已知△ABC的三个顶点为,,.求:(1)直线BC的方程;(2)经过点B且将△ABC的面积平分的直线方程.〖问题二〗已知菱形的两条对角线长分别为8和6,并且分别位于x轴和y轴上,求菱形各边所在直线的方程.〖问题三〗求过点,且在两坐标轴上截距相等的直线方程.【当堂练习】1.求经过、两点的直线方程为（） A． B.C. D.2．直线bx+ay=1在x轴上的截距是（A）（B）b（C）（D）|b|3．△ABC的三个顶点为A(2,8),B(–4,0),C(6,0)，则AC边上的中线所在直线的方程为–y+4=0+2y+4=0 +y–4=0–2y4．下列说法中不正确的是A.点斜式y–y1=k(x–x1)适用于不垂直于x轴的任何直线B.斜截式y=kx+b适用于不垂直于x轴的任何直线C.两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线D.截距式适用于不过原点的任何直线【拓展提升】A组1．设点M(3，4)是线段PQ的中点，点Q的坐标是(－1，2)，则点P的坐标是()A.(1,3)B.(7,6)C.(－5,0)D.(3,1)2．如果直线被两个坐标轴截得的线段长为5,则c的值为()B.－1C.±D.±13.过两点和的直线在x轴上的截距为() A. B. C. 4．直线在x轴、y轴上的截距分别是(),–b2,±b,–b2D.±a,±b5.经过已知点（1，2），并且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有()条条条条6．已知△ABC的顶点是A(0,5),B(1,–2),C(–6,4)，则边BC上的中线所在的直线的方程为；以BC边为底的中位线所在的直线的方程为。7．一条直线过点P(–2,2)，且与两坐标轴围成单位面积的三角形,求直线的方程.B组8.三角形ABC的三个顶点,,求:(1)BC边所在直线的方程;(2)BC边上中线AD所在直线的方程;(3)BC边的垂直平分线DE的方程.9.求经过点且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.直线的方程(3)(直线的一般式方程)【自学导航】1.直线的一般式方程为:________________________________________________2.方程化为斜截式方程为:_______________________________,它的斜率为______________________,在y轴上的截距为__________________________3.已知直线的方程是Ax＋By＋C=0（A，B不同时为零），填表：的位置特征A，B，C满足的关系(1)经过原点(2)经过点（1，1）(3)平行于x轴(4)平行于y轴(5)与两坐标轴都相交(6)A－B＋C＝0(7)B＝0且A·C≠0(8)B≠0且A＝C＝0(9)A＝B＝C≠0(10)A＞0，B＜0，C＜0【问题探究】〖问题一〗求经过A（3，1）与B（6，－2）两点的直线的两点式方程，并把它们化为一般式、点斜式、截距式和斜截式.〖问题二〗求满足下列条件的直线方程:求经过点且与直线平行的直线方程;求经过点且与直线垂直的直线方程.〖问题三〗已知直线:在轴与轴上的截距分别为和4,求和的值.【当堂练习】1.在直角坐标系中，点(x，-4)位于点(0，8)和(-4，0)所在的直线上，则x等于()(A)-2(B)2(C)-8(D)-62．直线3x－2y=4的截距式方程是()（A）（B）（C）（D）3．如果pr＜0,qr＜0,那么直线px+qy+r=0不通过()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限4．直线ax+3y-5=0过以(-1,-2)、(2,4)为端点的线段中点，则a=_______.5.已知,过点(a,0)和(0,b)的直线都经过点A,那么A的坐标是.【拓展提升】A组1．直线的倾斜角为450,则有关系式()=B +B=0 =1 D.以上都不可能2．若,则直线一定会经过的定点是()A. B. C.D.3.若A＞0,B＞0,C＜0，那么直线Ax＋By＋C=0必经过()(A)一、三象限(B)一、二、四象限(C)二、三象限(D)二、三、四象限4．直线和的位置关系为() A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定;与m,n的取值有关5．已知点P（6，a）在过两点A（－1，3），B（5，－2）的直线上，则a的值等于____________。6.通过点(2，1)且与直线3x－y－6=0垂直的直线方程为________________7.以A(1，3)，B(－5，1)为端点的线段的垂直平分线的方程是____.8.过点(1，2)且与直线2x＋y=1平行的直线方程是____.9.经过P(5,－3),Q(－7,3)两点的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是________.B组10.已知直线:,:,求m的值,使得:(1)与相交; (2) (3)∥ (4)与重合11、若方程表示两条直线,求m的值第三节直线的交点坐标与距离公式(1)(两条直线的交点坐标)【自学导航】1．看下表填空：几何元素及关系代数表示点AA（a,b）直线点A在直线上直线与相交于A2.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组,若方程组有唯一解,则这两条直线有______个交点,此时两直线的位置关系为确_______________;若方程组无解,则这两条直线有__________个交点,此时两条直线的位置关系为了___________________________.【问题探究】〖问题一〗求下列两直线交点坐标：3x+4y-2=0和：2x+y+2=0〖问题二〗判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：（1）：，：（2）：，〖问题三〗三条直线可围成三角形，求的取值范围。【当堂练习】1.直线和的交点是（）A． B. C.D.(3,-2)2．不论m为何实数，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点（A）(1,－)（B）(－2,0)（C）(2,3)（D）(－2,3)3.已知直线:,,若与只有一个公共点,则有()A. B.C. D.4．直线方程为(3m＋2)x＋y＋8=0,若直线不过第二象限，则m的取值范围是【拓展提升】A组1．若直线与直线的交点在第一象限,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2．要保持直线y=kx–1始终与线段y=1(–1≤x≤1)相交，那么实数k的取值范围是A..[–2,2] B.(–2,2)C.(–∞,–2]∪[2,+∞)D.(–∞,–2)∪(2,+∞)3.若三条直线相交于一点,;;相交于一点,则的值是() A. B. D.4．若直线：不过点，则方程表示（A）与重合的直线 （B）与平行的直线（C）与相交的直线 （D）可能不表示直线5.已知点P(－1,0),Q(1,0),直线y＝－2x＋b与线段PQ相交，则b的取值范围是A.[－2,2]B.[－1,1]C.[－,]D.[0,2]6．已知点M(0,－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是()A.(－2,－1) B.(2,1) C.(2,3) D.(－2,3)7.光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程.8.求满足下列条件的直线方程：经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直.B组9.已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及轴上.第三节直线的交点坐标与距离公式(2)(距离公式)【自学导航】1．两点与之间的距离|P1P2|=____________________________________.特别地,点与任一点之间的距离|OP|=_____________________________-.2.点到直线的距离=__________________.3.两条平行直线与的距离是______________.【问题探究】〖问题一〗．以知点A（-1，2），B（2，），在x轴上求一点P，使,并求的值.〖问题二〗证明:平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.〖问题三〗求与两条平行直线的距离相等的直线方程。【当堂练习】1.若,,则|AB|=() B. D.2．若,,且|AB|=5,则a=() B. C.1 或 D.或53．在的距离等于5的点的坐标是______________.4.两平行线的距离是_____________________.5.若,,,则△ABC中BC边上的中线AD的长为_______________.【拓展提升】A组1．已知点,,则A,B两点之间的距离为() A. B. C. D.2．若与两点间的距离为,则a的值为() B.2 C. 或23.已知,则点到直线的距离为() A. B. C. D.4.若直线垂直于3x＋4y-7=0且与原点的距离为6，则该直线方程为__________.5.倾角为45°，且与原点距离为5的直线方程是________________________.6.已知x轴上一点P到直线3x＋4y-6=0的距离为4，则P点坐标为________.7.已知点A（，6）到直线3－４＝2的距离d=4，求的值.8.已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。B组9.已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3.且该直线过点（2，3），求该直线方程。10.已知,,在y轴上求一点P,使|PA|=2|PB|.直线方程单元测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.直线xy3=0的倾斜角是（） ° ° ° °2.已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）B.-2C.2D.不存在3．过点且平行于直线的直线方程为（）A．B．C．D．4．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= （）A．B． C． D．5．如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，则a= （）A．－3 B．－6 C． D．6．已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（） A．B．C．D．7.过点P(1,2)且倾斜角是直线x-y-3=0的倾斜角的两倍的直线的方程是()=0=1C.x-2y-4=0=28．直线，当变动时，所有直线都通过定点（）A． B．C． D．9．过点作直线，与两坐标相交，所得三角形面积为2，则这样的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条10．若方程表示一条直线，则实数满足（）A． B． C． D．，，二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11．点到直线的距离是________________.12．已知直线被坐标轴截得线段中点是，则直线的方程是___________.13．过点，且与轴、轴的截距相等的直线方程是_________________．14．已知直线和相交于点，则过点、的直线方程为_______________________．15．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的值是___________________.三、解答题（本大题共6题，共76分）16.已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0,求AC边上的高所在的直线方程.17、如图,已知正方形ABCD的对角线AC在直线x+2y－1=0上,且顶点A(－5,3),B(m,0)(m>－5),求顶点B,C,D的坐标.18、求经过直线的交点且平行于直线的直线方程。.19．已知点，，点在直线上，求取得最小值时点的坐标。20．求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程。第三章直线与方程学案答案直线的倾斜角与斜率(1)问题探究:一.(1);(2).二.,,,-三.或.(提示:数形结合,画出图形即可求解)当堂练习:1.①;②;③不存在;④.2..3. 5. 6.拓展提升A组:1.,; 2. 3. 6.7.略 B组:8.9.由物理知识知,B(4,3)关于y轴的对称点在入射光线所在的直线上,A(2,1)关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上.故有:,.直线的倾斜角与斜率(2)问题探究:一.,,故ABCD为平行四边形.二.相交三.设,由CD⊥AB,且CB∥AD有,,代入点D坐标解之有:当堂练习:①;②;③或;④;⑤拓展提升A组6.垂直 (x=3)9.B组:10.若为直角,则ACAB,,即,解之有;若为直角,则BCAB,同理解之有;若为直角则BCAC,解之有;故或或.11.(2)直线的方程(1)问题探究:一.①;②.二.(1)定点;(2)由直线方程式的性质有:即三.(1)且;(2)当堂练习:B; ②C; ③; ④;⑤设直线方程为:,与x轴的交点为,由题有:,解之有:,故直线的方程为:拓展提升A组5.6.,7.,解得,B组:8.所求直线的倾斜角为,.9.10.直线的方程(2)问题探究:一.(1)BC的方程为:(2)AC中点D的坐标为由两点式有所求方程为:二.所求方程为:;;;三.和当堂练习:B; ②A; ③D; ④D;拓展提升A组3.A6.,7.设所求直线方程为,由已知有:或代入即得所求方程.B组:8.(1);(2);(3)9.设所求直线方程为,则有:或故所求方程为:和直线的方程(3)问题探究:一.二.;三.,当堂练习:D; ②D; ③C; ④4; ⑤拓展提升A组2.C5.6.7.8.9.B组:10.