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定理:(1)当周期为2fx)展开成,an (n0,1,2,

f(x)sin (n1, nfx)bsinnxn

数时,它

f(x)cosnxdx(n0,1, bn (n f(x)

ancosnx 22例1设f(x)是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为f(x)x，将f(x)展开成 级数.在点x(2k1)(k0,1,2, )处不连收敛于() 2f(x)为奇函数 an (n0,1,2, f(x)sinnxdx

xsin

2cosn2(1)n1 (n1, n

f( x,3

sinn

x,3 例2将周期函数u(t)其中E是正常数

展开 级解所给函数在整个数轴上连续,满 bn0,(n1,2,

2

Esintdt

4E

0u(t)cosntdt

E0[sin(n1)tsin(nEEcos(n cos(n1)t

(n0 0 [(2k)2

,当n当n2k

(k1, a u(t)costdt Esintcostdt

4E

(tu(t)

(2n)2

,当na0

,

[(2k)2

当n2kf(x)0x令Fx)g

x

且Fx2F f(x)F(x)0f(

0xxx

F(x)f(f(

0xx例3fx)x1(0x)分别展开成(1)求正弦级数.fx)进行奇延拓an (n0,1,2, ),b

f(x)sin 20(x1)sin22(1cosncosn22当n13,5, 22

当n2[(2)sinxsin2x1(2)sin3x x 0x x 对f(x)进行偶延拓bn

(n (x (x1)cos 0 当n2,4,6, (cosn1)

,当n13,5,0

当n,当n2k

(k1,2, (2k 4 x1 1

(2n

(0x 证明当0x时cosnx

x2

x2解设f(x)

fx)

x)dx3a00(4

an (4 2)cosnxdxn2 a03,ann2x2

cos

(0x cosnx

xn故 n

将cosx在0x内展开成以2为周期的正弦级数并在2x2写出该级数的和函数．解对cosx进行奇延拓an

1 10[sin(n1)xsin(n1[1(1)n11

(n1 n2k, ,

n

k1,2,b

cosxsinxdx

sin2xdx

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