2023年六年级数学思维训练构造论证二

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2023年六年级数学思维训练：构造论证二

一、兴趣篇

1．如下图，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格．现在已经建了两个哨所．请你挑拣一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到．

2．（1）把1，2，3，…，8，9按适合的顺序填在下表其次行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数．123456789（2）能否将1，2，3，…，10，11按适合的顺序填在下表其次行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？12345678910113．今有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根．请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：（1）一个正方体框架；（2）一个长方体框架？4．老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是1分或者2分，数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分．假使一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀．测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？5．把如图中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数？

6．（1）能否在4×4的方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，15，16，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？

（2）能否在5×5方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？7．如图是把一张6×6的方格纸去掉两个角所得的图形．

（1）请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个1×2小长方形（不管横竖）的2个方格中都恰有1个红格和1个蓝格；

（2）能否用1×2的小长方形恰好拼满这张表格？

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8．全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座．在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？

9．将一个4×4的方格表分为如图的5块区域，在其中填人16个互不一致的正整数，使得每一块区域中所填数的和都相等．这16个数的总和最小是多少？

10．能否将1，2，3，…，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于15？

二、拓展篇

11．有7个不为0的自然数，它们的和正好等于它们的积．请写出一组满足要求的数．12．如图，平面上有5个点，它们之间可以连10条线段，请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这5个点为顶点的三角形？

13．平面上6条直线，它们的交点称为“结点〞，每条直线上“结点〞的个数称为这条直线的“标志数〞，图1中的3条直线的“标志数〞都等于2，只有一种取值；图2中的3条直线的“标志数〞却有两种取值．现在请你用直尺画出6条直线，使得它们中间任何3条直线都不共点，且相应的6个“标志数〞至少取3个不同的数值．

14．（1）能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？（2）能否将l至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？15．一本故事书有10篇故事，这些故事占的篇幅从1页到10页各不一致，假使从书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？

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16．在（图2）4×4的方格表中至少应当去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图1所示的“L型〞？

17．有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走一致数目的石子（各次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放人另外任一堆石子中．请问：

（1）假使开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？

（2）假使开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？

假使可以，请设计一种取石子的方案；假使不可以，请说明理由．18．（1）能否将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？（2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？19．（1）能否用16个如图1所示的“T型〞拼成一个（图3）8×8的棋盘？

（2）能否用8个如图1所示的“T型〞和8个如图2所示的“L型〞拼成一个（图3）8×8的棋盘？

（3）能否用1个如图1所示的“T型〞和15个如图2所示的“L型〞拼成一个（图3）8×8的棋盘？

20．（1）能否用9个如图1所示的1×4的长方形拼成一个（图3）6×6的棋盘？（2）能否用9个如图2所示的“L型〞拼成一个（图3）6×6的棋盘？

三、超越篇21．能否可以用77个3×3×1的长方体小木块装满一个7×9×11的长方体匣子（匣内不留任何空隙）？若能，请给出具体装法；若不能，请说明理由．

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22．黑板上写着两个数1和2，按以下规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b+a+b这个数，譬如：可增写5（由于1×2+1+2=5）；可增写11（由于1×5+l+5=11）．一直写下去，请问：能否得到下面两个数？若能，请你写出得出的过程；若不能，请说明理由．（1）143；（2）144．

23．将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一．证明：无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两个端点是同样颜色的．

24．在6×6的方格表中至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，如图中阴影部分的三个格子组成的直线也是与对角线平行的直线．）

25．（1）能否从图1中的A格出发，每次走到相邻的小格子，最终走到B格，并且每个格子都刚好到一次？

（2）中国象棋的马是走“日〞字型路线．如图2，假使马在A点，那么它能跳到B、C、D、E四点之一．假使马开始在A点，它能否跳3步后回到A点；能否跳9步后回到A点？

26．如图，用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形共多少个？

27．六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就作为观众欣赏演出．要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少要安排几场？为什么？

28．把11×11的方格纸分成若干张3×3、2×2或1×1的小纸片，最少能分成多少张？

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2023年六年级数学思维训练：构造论证二

参考答案与试题解析

一、兴趣篇

1．如下图，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格．现在已经建了两个哨所．请你挑拣一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到．

如图，标有“?〞的格子是能被监视到的格子，有八个格子不能被监视到，其中第一行有2个，其次行有3个，第三行有2个，第五行有1个；根据每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格，可得其次行第三列相交处的格子能监视到这八个格子，所以应在其次行第三列处再建一个哨所，据此解答即可．

解：如图，标有“?〞的格子是能被监视到的格子，有八个格子不能被监视到，

其中第一行有2个，其次行有3个，第三行有2个，第五行有1个；根据图示，可得其次行第三列相交处的格子能监视到这八个格子，所以应在其次行第三列处再建一个哨所．

2．（1）把1，2，3，…，8，9按适合的顺序填在下表其次行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数．123456789（2）能否将1，2，3，…，10，11按适合的顺序填在下表其次行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？1234567891011（1）由于1到9，任意两个数的和在2到18之间，在2到18之间的平方数有：4，9，16，那么只要其次行填上1到9且使上下两行的和是4，9或者是16即可；1+3=4，1+8=9，2+2=4，2+7=9，3+1=4，3+6=9，4+5=9，5+4=9，6+3=9，7+2=9，7+9=16，据此解答即可；

（2）1到11之间和从2到22，那么平方数仍旧是4，9，16，根据第一问的分析即可．解：（1）由于1到9，任意两个数的和在2到18之间，在2到18之间的平方数有：

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4，9，16，那么只要其次行填上1到9且使上下两行的和是4，9或者是16即可；如图：123456789826543917（2）由于：1到11之间的数字，任意两个数相加，和从2到22，所以平方数还是4，9，16，

如图：由于11只能和5相加才是平方数，而4也只能和5相加，所以5出现两次．123456789101132151110987653．今有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根．请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：（1）一个正方体框架；（2）一个长方体框架？（1）由于正方体的12条棱长相等，所以所有数的和应是12的倍数，又由于

1+2+3+…+199=（1+199）×199÷2=19900，19900÷12=1658…4，由于19900不是12的倍数，所以不可能焊接成一个正方体框架；

（2）由于长方体的棱长和是4的倍数，19900÷4=4975，19900是4的倍数，所以有可能焊接成一个长方体框架；由于199=1+198=2+197=3+196=…=99+100，所以把199个金属杆边长100个长度为199的金属杆即可，进而求出长方体框架的长、宽、高分别是多少即可．（答案不唯一）解：（1）由于正方体的12条棱长相等，所以所有数的和应是12的倍数，

又由于1+2+3+…+199=（1+199）×199÷2=19900，19900÷12=1658…4，由于19900不是12的倍数，

所以不可能焊接成一个正方体框架；

（2）由于长方体的棱长和是4的倍数，19900÷4=4975，19900是4的倍数，所以有可能焊接成一个长方体框架；

由于199=1+198=2+197=3+196=…=99+100，

所以把199个金属杆边长100个长度为199的金属杆即可，由100÷4=25，10+8+7=25，

可得让长方体金属框架的长、宽、高分别为：199×10，199×8，199×7即可．

4．老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是1分或者2分，数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分．假使一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀．测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？假定6个人总分一致而各科分数却不尽一致的状况：任意两人进行比较必然互为高低，经过枚举试验，发现总分为6时可枚举出6人：

6=1+1+4=1+2+3=1+3+2=2+1+3=2+2+2=2+3+1，由此即可得出这6位同学的三科分别得分．解：假定6个人总分一致而各科分数却不尽一致的状况：任意两人进行比较必然互为高低，经过枚举试验，发现总分为6时可枚举出6人：

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6=1+1+4=1+2+3=1+3+2=2+1+3=2+2+2=2+3+1；即这6位同学的三科得分分别为：1、1、4；1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、2、2；2、3、1．5．把如图中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数？

首先假设成立，利用5条线上的红圈数相加仍是奇数，而红圈数被计算了2次，从而相加的总和应当是偶数，与假设矛盾，从而将假设推翻，得出结论．

解：假设每条线上红圈都是奇数个，那么5条线上的红圈数相加仍是奇数．但另一方面，5条线上的红圈数相加时，由于每一个圈都在两条线上，因而都被计算了2次，从而相加的总和应当是偶数；

两方面的结果矛盾，所以不可能使同一条线上的红圈数都是奇数．6．（1）能否在4×4的方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，15，16，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？

（2）能否在5×5方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？（1）假设可以使每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和，那么每行数的和一定为偶数，4行之和也必定为偶数．1+2+3+…+16=136的和是偶数，符合要求，假设的状况能出现．

（2）假设可以使每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和，那么每行数的和一定为偶数，5行之和也必定为偶数．1+2+3+…+25的和是奇数，不符合要求，假设的状况不能出现．解：（1）能，如下图：

第一行：取出2和3，剩余1和4，则2+3=1+4；其次行：取出6和7，剩余5和8，则6+7=5+8；

第三行：取出10和11，剩余9和12，则10+11=9+12；第四行：取出14和15，剩余13和16，则14+15=13+16；

（2）假设能实现，那么每行数的和一定为偶数，5行之和也必定为偶数．1+2+3+…+25=325的和是奇数，不符合要求，假设的状况不能出现．

7．如图是把一张6×6的方格纸去掉两个角所得的图形．

（1）请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个1×2小长方形（不管横竖）的2个方格中都恰有1个红格和1个蓝格；

（2）能否用1×2的小长方形恰好拼满这张表格？

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（1）因只涂两种颜色，所以34个格子可平均分，每种格子可涂17个，要使一个红格一个蓝格可交替涂色．

（2）因用1×2的小方格来拼图，因去掉两个角，根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．所以拼成的图形不能密铺．解：（1）

（2）去掉两个角，根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．所以拼成的图形不能密铺．

8．全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座．在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？

将奇行奇列的涂上红色，偶行偶列的也涂上红色，共13个红方格，那么知道红色的邻位就是无涂色，而红色方格上的人只能送礼物给无色的，但无色只有12格，所以不能实现．

解：将奇行奇列的涂上红色，偶行偶列的也涂上红色，共13个红方格，那么知道红色的邻位就是无涂色，而红色方格上的人只能送礼物给无色的，但无色只有12格，所以不能实现．答：不能．

9．将一个4×4的方格表分为如图的5块区域，在其中填人16个互不一致的正整数，使得每一块区域中所填数的和都相等．这16个数的总和最小是多少？

先不考虑只包含一个方格的那一块区域．剩下的四块区域共15个方格进行考虑．从最小开始尝试．每块应当为31，31×5=155．

解：除去只包含一个方格的那一块区域，剩下的四块区域共15个方格．从最小开始尝试．每块区域的和应当为31，31×5=155，即这16个数的总和是155．答：这16个数的总和是155．

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10．能否将1，2，3，…，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于15？

首先计算所有的数字之和是55，若每相连的3个数都不大于15，则前9个数的和不大于3×15=45，这样导致第10个数必需为10；同理，后9个数的和不大于45，可得出第一个数必需为10，显然这是不可能的．解：不能．理由如下：由于所有数的总和为55，假使每相连的3个数都不大于15，则前9个数的和不大于3×15=45，故第10个数不小于10，即只能为10．同理，后9个数的和不大于45，故第1个数不小于10，因此，也必需为10，显然这是不可能的．

二、拓展篇

11．有7个不为0的自然数，它们的和正好等于它们的积．请写出一组满足要求的数．没有1或0时，它们的乘积一定会比和大，所以根据算式中含有几个1进行探讨求解．

解：可以依照含有1的多少进行分类，计这7个数是a，b，c，d，e，f，g：没有1时，它们的乘积一定会比和大，不成立，

有1个1的话：bcdefg=1+b+c+d+e+f+g，由于bcdefg都至少是2，所以我们看一下这极端状况．有64＞13，显然不可能，无解；

有2个1的话：cdefg=2+c+d+e+f+g，cdefg同样至少是2，所以1×1×2×2×2×2×2＞1+1+2+2+2+2+2，无解；

有3个1的话：defg=3+d+e+f+g，同样defg至少是2，所以1×1×1×2×2×2×2＞1+1+2+2+2+2，无解；

有4个1时，efg=4+e+f+g，同样efg至少是2，所以1×1×1×1×2×2×2＜1+1+1+1+2+2+2，无解；

有5个1时，fg=5+f+g，同样fg至少是2，设f=2，g=7，则1×1×1×1×1×2×7=1+1+1+1+1+2+7，有唯一解．

因此，这7个自然数为1，1，1，1，1，2，7．

12．如图，平面上有5个点，它们之间可以连10条线段，请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这5个点为顶点的三角形？

去掉4条线，就可以没有三角形出现．解：由以上分析可得：

设顶点为A，顺时针顺序各点为ABCDE．去除AB、CD、DE、CE即没有三角形

13．平面上6条直线，它们的交点称为“结点〞，每条直线上“结点〞的个数称为这条直线的“标志数〞，图1中的3条直线的“标志数〞都等于2，只有一种取值；图2中的3条直线的“标志数〞却有两种取值．现在请你用直尺画出6条直线，使得它们中间任何3条直线都不共点，且相应的6个“标志数〞至少取3个不同的数值．

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根据题意，可画4条直线共点，第5条直线截前4条直线，最终1条直线截前5条直线，据此画出6条直线即可．

解：14．（1）能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？（2）能否将l至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？（1）为了解答便利，将直线上的8个数依次记为a1，a2，a3，…，a8，则有

S=a1+a2+a3+…+a8=1+2+3+…+8=36．假设任意3个相邻的数都大于13，所以：a1+a2+a3≥14；a2+a3+a4≥14；…；a6+a7+a8≥14；将以上6个不等式相加，得3S≥84，从而S＞26＜36，因此矛盾．

（2）为了解答便利，将圆圈上8个数依次记为a1，a2，a3，…，a8，则有

S=a1+a2+a3+…+a8=1+2+3+…+8=36．假设任意3个相邻的数都大于13，所以：a1+a2+a3≥14；a2+a3+a4≥14；…；a7+a8+a1≥14；a8+a1+a2≥14．将以上8个不等式相加，得3S≥112，从而S＞37，这与S=36矛盾．解：（1）为了解答便利，将直线上的8个数依次记为a1，a2，a3，…，a8，则有S=a1+a2+a3+…+a8=1+2+3+…+8=36．假设任意3个相邻的数都大于13，所以：a1+a2+a3≥14；a2+a3+a4≥14；…；a6+a7+a8≥14；将以上6个不等式相加，得3S≥84，从而S＞26＜36，因此矛盾．故不能使得任意三个相邻数之和都不小于13．

（2）将圆圈上的8个数依次记为a1，a2，a3，…，a8，则S=a1+a2+a3+…+a8=1+2+3+…+8=36；假设任意3个相邻的数都大于13，所以：

a1+a2+a3≥14；a2+a3+a4≥14；…；a7+a8+a1≥14；a8+a1+a2≥14．

将以上8个不等式相加，得3S≥112，从而S＞37，这与S=36矛盾．故不能使得任意三个数之和都不小于13．

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15．一本故事书有10篇故事，这些故事占的篇幅从1页到10页各不一致，假使从书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？

每个故事的页数从1到10各不一致，页数从1到10各不一致，所以奇数页和偶数页的故事一样多，即偶数页故事与奇数页故事各10÷2=5个．

假使先印偶数页故事，则5个故事的首页都是从奇数页开始，末页是偶数页终止；然后再印奇数页故事，第一个故事奇数页开始，奇数页终止，则其次个故偶数页开始，偶数页终止，…，由此可知，前4个奇数页故事共有2个奇数页开始，2个偶数页开始，第5个故事则是奇数页开始，奇数页终止，所以最多可有5+2+1=8个故事从奇数页起头；

反之，假使先奇数页故事，前5个奇数页故事共有3个奇数页起头；后5个偶数页故事中第一个故事是从偶数页开始的，所以这5个故事都是从偶数页开始，奇数页终止．则最少有3个故事从奇数页起头．

解：偶数页故事与奇数页故事各10÷2=5个．假使先印偶数页故事，则最多可有：5+4÷2+1=8（个）故事从奇数页起头．假使先印奇数页故事，则最少可有：4÷2+1=3（个）故事从奇数页起头．

答：故事从奇数页起头的最多有8篇，最少有3篇．

16．在（图2）4×4的方格表中至少应当去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图1所示的“L型〞？

应至少去掉中间两竖行的8个格子才能使得剩下的图形中不存在如图1所示的“L型〞．

解：每个2×2的格子，至少得去掉2个才能保证不存在如图1所示的“L型〞，所以4×4的格子，至少得去掉2×4=8个．

答：在（图2）4×4的方格表中至少应当去掉8个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图1所示的“L型〞．

17．有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走一致数目的石子（各次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放人另外任一堆石子中．请问：

（1）假使开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？

（2）假使开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？

假使可以，请设计一种取石子的方案；假使不可以，请说明理由．（1）利用每次从这三堆石子中同时拿走一致数目的石子（各次这个数目可以改变），分别进行试验即可得出答案；根据操作方法得出得出三堆石子的和能被3整除；（2）利利用每次从这三堆石子中同时拿走一致数目的石子（各次这个数目可以改变），分别进行试验即可得出答案；根据操作方法得出得出三堆石子的和不可能被3整除．

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解：（1）先同时取34个石子，剩下0、21、48，再变为24、21、24，再同时取20个石子，剩下4、1、4，再变为2、3、4，再同时取2个石子，剩下0、1、2，再变为1、1、1，再同时取1个石子即可．

（2）要把三堆石子都取光是不可能的；按操作规则，每次拿出去的石子总和是3的倍数，即不改变石子总数被3除；而80+60+50=190被3除余1．故三堆石子都拿光是办不到的．18．（1）能否将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？（2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？（1）由于1+2=3、15+14=29，要使任意相邻两数的和为平方数，则其最大和为25、最小和为4．

又由于这一串数一共有14个相邻和，要满足条件，它们必需为4、9、16、25．两数和为4，只可能有一种状况：1+3

两数和为9，只可能有三种状况：1+8、2+7、3+6、4+5

两数和为16，只可能有六种状况：1+15、2+14、3+13、4+12、5+11、6+10、7+9两数和为25，只可能有种状况：10+15、11+14、12+13

其中，8、9出现了一次，与这串数“最外边的两个数与相邻数加一次、其余的数要与相邻数加两次〞相吻合，经尝试，可以排出满足题中的条件的排法，如：8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9．

（2）由于在1﹣﹣15之间，1+2=3、15+14=29，最大和为29，最小和为3，在3﹣29之间的质数有：1，3，5，7，11，13，17，19，23，29．因此可以试着排一下，如：15、2、3、14、5、8、9、10、13、4、1、12、7、6、11．解：（1）由于1+2=3、15+14=29，要使任意相邻两数的和为平方数，则其最大和为25、最小和为4．

又由于这一串数一共有14个相邻和，要满足条件，它们必需为4、9、16、25．两数和为4，只可能有一种状况：1+3

两数和为9，只可能有三种状况：1+8、2+7、3+6、4+5

两数和为16，只可能有六种状况：1+15、2+14、3+13、4+12、5+11、6+10、7+9两数和为25，只可能有种状况：10+15、11+14、12+13可以排出满足题中的条件的排法，如：

8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9．

因此，能将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数．

（2）1+2=3、15+14=29，最大和为29，最小和为3，在3﹣29之间的质数有：1，3，5，7，11，13，17，19，23，29．

将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数，可以排成：15、2、3、14、5、8、910、13、4、1、12、7、6、11．

因此，能将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数．19．（1）能否用16个如图1所示的“T型〞拼成一个（图3）8×8的棋盘？

（2）能否用8个如图1所示的“T型〞和8个如图2所示的“L型〞拼成一个（图3）8×8的棋盘？

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（3）能否用1个如图1所示的“T型〞和15个如图2所示的“L型〞拼成一个（图3）8×8的棋盘？

（1）如将棋盘里黑白相间涂色，8×8棋盘64个方格有32个白格，32个黑格，相邻两个方格不同色．一个T字形盖住3个或1个白格．而16个T型能够盖住偶数个黑格或白格；而棋盘上的白格数或黑格数是一个偶数．因此能用16个如图1所示的“T型〞拼成一个（图3）8×8的棋盘；

（2）8个如图1所示的“T型〞和8个如图2所示的“L型〞够盖住偶数个黑格或白格；但黑白格子数不能相等；而棋盘上的白格数或黑格数是一个偶数．因此能用8个如图1所示的“T型〞和8个如图2所示的“L型〞不能拼成一个（图3）8×8的棋盘；

（3）如将棋盘里黑白相间涂色，8×8棋盘64个方格有32个白格，32个红格，相邻两个方格不同色．一个“T〞字形盖住3个白格或1个白格，一个L字形盖住3个或1个白格．故1个如图1所示的“T型〞和15个如图2所示的“L型〞盖住的白格子数或黑格子数的数量是不等的，所以不能拼成一个8×8的棋盘．解：将棋盘里黑白相间涂色，

（1）如将棋盘里黑白相间涂色，8×8棋盘64个方格有32个白格，32个红格，相邻两个方格不同色．一个T字形盖住3个或1个白格．而16个T型能够盖住偶数个黑格或白格；而棋盘上的白格数或黑格数是一个偶数．因此能用16个如图1所示的“T型〞拼成一个（图3）8×8的棋盘；

（2）8个如图1所示的“T型〞和8个如图2所示的“L型〞够盖住偶数个黑格或白格；但黑白格子数不能相等而棋盘上的白格数或黑格数是一个偶数．因此能用8个如图1所示的“T型〞和8个如图2所示的“L型〞不能拼成一个（图3）8×8的棋盘；

（3）如将棋盘里黑白相间涂色，8×8棋盘64个方格有32个白格，32个红格，相邻两个方格不同色．一个“T〞字形盖住3个白格或1个白格，一个L字形盖住3个或1个白格．故1个如图1所示的“T型〞和15个如图2所示的“L型〞盖住的白格子数或黑格子数的数量是不等的，所以不能拼成一个8×8的棋盘

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20．（1）能否用9个如图1所示的1×4的长方形拼成一个（图3）6×6的棋盘？（2）能否用9个如图2所示的“L型〞拼成一个（图3）6×6的棋盘？

（1）6×6的棋盘的棋盘每边都要6个方格，无认怎样拼，拼成的一边是6个方格，其它的边一定不能是6个方格．据此解答；

（2）6×6的棋盘的棋盘每边都要6个方格，无认怎样拼，拼成的一边是6个方格，其它的边一定不能是6个方格．据此解答．解：（1）根据以上分析可知不能用9个如图1所示的1×4的长方形拼成一个（图3）6×6的棋盘；

（2）不能用9个如图2所示的“L型〞拼成一个（图3）6×6的棋盘．

三、超越篇21．能否可以用77个3×3×1的长方体小木块装满一个7×9×11的长方体匣子（匣内不留任何空隙）？若能，请给出具体装法；若不能，请说明理由．

木块体积为11×9×7=693立方厘米，77块3×3×1立方厘米的积木也恰为693立方厘米，假使能将11×9×7立方厘米的木块切割为77块3×3×1立方厘米的积木，那么11×7的侧面将被小积木的侧面盖满，而小积木侧面面积要么是3平方厘米，要么是9平方厘米，即11×7不能满足条件，进而得出结论．

解：由分析可知：大长方体木块的体积和77块小长方体的体积和相等，假使能将11×9×7立方厘米的木块切割为77块3×3×1立方厘米的积木，那么11×7的侧面将被小积木的侧面盖满，而小积木侧面面积要么是1×3=3平方厘米，要么是3×3=9平方厘米，即11×7不能满足条件，

所以不可以用77个3×3×1的长方体小木块装满一个7×9×11的长方体匣子．22．黑板上写着两个数1和2，按以下规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b+a+b这个数，譬如：可增写5（由于1×2+1+2=5）；可增写11（由于1×5+l+5=11）．一直写下去，请问：能否得到下面两个数？若能，请你写出得出的过程；若不能，请说明理由．（1）143；（2）144．（1）根据上述规律：1×2+1+2=5，1×5+1+5=11，5×11+5+11=71，1×71+1+71=143．（2）由于偶×奇+偶+奇=奇，且奇×奇+奇+奇=奇．据此进行判断．解：（1）1×2+1+2=51×5+1+5=115×11+5+11=711×71+1+71=143

（2）由于偶×奇+偶+奇=奇，且奇×奇+奇+奇=奇．

但没有两个偶数同时存在的状况，增写的数不可能为偶数，2是唯一的偶数，144不存在．

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23．将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一．证明：无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两个端点是同样颜色的．

从平面中取边长为1的等边三角形，其三个顶点中必有两个顶点同色，由于边长为1的等边三角形有无数个，所以无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两个端点是同样颜色的．

解：将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一．

从平面中取边长为1的等边三角形，其三个顶点中必有两个顶点同色，由于边长为1的等边三角形有无数个，

所以无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两个端点是同样颜色的．

24．在6×6的方格表中至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，如图中阴影部分的三个格子组成的直线也是与对角线平行的直线．）

要保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子，放的棋子就要放在行、列和对角线相交的公共点上，这样可以保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子，．据此解答．

解：要保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子，放的棋子就要放在行、列和对角线相交的公共点上．

如图：

答：至少要放12枚棋子．25．（1）能否从图1中的A格出发，每次走到相邻的小格子，最终走到B格，并且每个格子都刚好到一次？

（2）中国象棋的马是走“日〞字型路线．如图2，假使马在A点，那么它能跳到B、C、D、E四点之一．假使马开始在A点，它能否跳3步后回到A点；能否跳9步后回到A点？

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（1）根据图，并结合题意，通过实际画图，看从图1中A格出发，能否走到B格；（2）通过题意，然后进行实际操作，可以得出：假使马开始在A点，它不能跳3步后回到A点；不能跳9步后回到A点；由此解答即可．解：如图：

（1）从图1中的A格出发，每次走到相邻的小格子，并且每个格子都刚好到一次，最终能走到B格；

（2）由于两个“日〞字可以组成一个边长是2的正方形，所以从A点出发，只有在走偶数次，才能回到原来原点，所以走3次不能回到原点，跳9步后也不能回到A点；

26．如图，用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形共多少个？

要尽量多用1×7的小长方形，所以先用12个1×7的小长方形拼成7×12的长方形，再用8个1×6的小长方形拼成4×12的长方形，合起来就是11×12的长方形，一共用了12+8=20个小长方形，据此解答即可．

解：要使用的小长方形最少，就要尽量多用1×7的小长方形，

所以先用12个1×7的小长方形拼成7×12的长方形，再用8个1×6的小长方形拼成4×12的长方形，

合起来就是11×12的长方形，一共用了小长方形：12+8=20（个）．

答：最少要用小长方形共20个．

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27．六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就作为观众欣赏演出．要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少要安排几场？为什么？

首先假设两个音乐家A和B，A听过B演奏算是一种关系，那么要使每一个音乐家作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，就一共要产生6×5=30种关系．每次演出，6位音乐家被分为两组，假设一组有a人，另一组有b人，那么这次演出共产生a×b种关系，显然在a=b=3时，a×b最大为9．所以每次演出最多产生9种关系，因此至少需要4次演出（3×9=27＜30，4×9=36＞30），进一步利用构造法说明4次演出的可行性即可．解：设六位音乐家分别为A，B，C，D，E，F；

规定（A，B，C）﹣（D，E，F）表示A、B、C演出，D、E、F欣赏，那么可以安排这样四场演出：（A，B，C）﹣（D，E，F）（C，D，E）﹣（A，B，F）（A，E，F）﹣（B，C，D）（B，D，F）﹣（A，C，E）

简单验证，这样安排，每人都观看了其它所有音乐家的表演．

28．把11×11的方格纸分成若干张3×3、2×2或1×1的小纸片，最少能分成多少张？

把11×11的方格纸分成若干张3×3、2×2或1×1的小纸片，要使分成的小纸片的张数最少，就要使3×3的小纸片的数量尽量多，然后是2×2的小纸片的数量尽量多，据此分别求出3×3、2×2以及1×1的小纸片的数量，求和即可．解：由于11÷3=3…2，

所以11×11的方格纸最多能分成3×3的方格纸的数量为：3×3=9（张）；

由于11÷2=5…1，9÷2=4…1，

所以剩下的方格纸最多能分成2×2的方格纸的数量为：5+4=9（张）；

1×1的小纸片的张数为：

11×11﹣9×（3×3）﹣9×（2×2）=121﹣81﹣36=4（张）；

所以最少能分成：9+9+4=22（张）．答：最少能分成22张．

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参与本试卷答题和审题的老师有：奋斗；pysxzly；忘忧草；lqt；齐敬孝；WX321；TGT；zcb101；admin；73zzx（排名不分先后）菁优网

2023年5月22日

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考点卡片

1．图形的拼组

1．平面镶嵌的概念：用形状、大小完全一致的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起，这就是平面镶嵌．2．规律：

用一致的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形．用不同的正多边形镶嵌：

（1）用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；

（2）用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌．

常考题型：

例：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形的周长是（）A、24厘米B、36厘米C、38厘米分析：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形有边长就是（3×2）厘米，根据正方形有周长公式可列式解答．解：根据题意画图如下，

正方形的周长：（3×2）×4，=6×4，

=24（厘米）．

答：周长是24厘米．应选：A．

点评：此题考察了学生对拼组图形周长的计算能力．画图可更好的帮助学生理解．

2．长方体的特征长方体的特征：

1．长方体有6个面．有三组相对的面完全一致．一般状况下六个面都是长方形，特别状况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全一致．

2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．4．长方体相邻的两条棱相互垂直．

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常考题型：

例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是由于长方体（）

A、只有三个面B、只能看到三个面C、最多只能看到三个面分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特别状况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积一致．再根据观