12 Zermelo选择公理与Zorn引理

本文格式为Word版，下载可任意编辑——12Zermelo选择公理与Zorn引理1.2Zermelo选择公理与Zorn引理

1.2.1序集

定义1.2.1对于给定的集X，若它的某些元之间能建立关系?，满足(1)x?x；(自反性(Reflexivity))

(2)若x?y，y?x，则x?y；(对称性(Symmetry))(3)若x?y，y?z，则x?z(传递性(Transitivity))

则称关系?为集X中的一个顺序(order)，集X为关于顺序?的半序集(partiallyorderedset).

注1x?y也记为y?x.

注2在半序集中，并非每两个元素之间都有顺序.

定义1.2.2设X是关于顺序?的半序集.若对?x,y?X，关系式x?y或y?x中必有一个成立，则称集X为关于顺序?的全序集(totalorderedset)，并称x,y可以比较(comparable).

于是，全序集中任何两个元素在顺序?下都可以比较.半序集和全序集统称为序集(orderedset).

例1.2.1设B是一个非空集，X是B的所有子集所成的集，即X?2B.若用包含关系?作为X中某些元素间的顺序，则X关于关系?成为一个半序集，但不是全序集.

例1.2.2自然数集N是一个全序集；[0,1]也是一个全序集.

定义1.2.3设X是半序集，A?X.若?b?X，使对一切x?A，有

x?b(b?x)，

则称b为A的上界(upperbound)(下界(lowerbound)).

?，均有又设b为A的上界，若对A的任一上界b?(b??b),b?b?为A的上确界(supremum)(下确界(infimum))，记作则称bsupA（infA）.

定义1.2.4设X是半序集，A?X，b?A.对一切x?A，有

x?b（b?x）或者x与b无关系，

则称b为A的极大元（微小元）.

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定义1.2.5设X是关于顺序?的全序集，且X的每个非空子集都有微小元，则称顺序?为良序（wellorder），X是良序集（well-orderedset）.

注1良序集的所有子集都是良序集.注2良序集一定是全序集，反之不然.注3一个有限的全序集一定是良序集.

例1.2.3自然数集N是一个良序集；[0,1]却不是一个良序集，例如：

(0.5,0.6]?[0,1]没有微小元.

1.2.2Zermelo选择公理与Zorn引理

Theorem1.2.1（Well-orderingtheorem）ForanysetX,thereisabinaryrelation?whichwell-ordersX.

Zermelo在1904年提出了选择公理，并用它证明白良序定理.

Theorem1.2.2（ZermeloAxiomofChoice）LetXbeafamilyofnon-emptysets.Thenthereexistsafunctionf,calleda\choicefunction,\X,andwhoserangeisaset,calledthe\choiceset,\X.

定理1.2.3（Zone’sLemma）设X是非空半序集.若X的每一个非空全序子集有上(下)界，则X有极大（小）元.

定理1.2.4（ZermeloAxiomofChoice）设S??A?其中I是指标集，则存在集L满足以下条件：

(1)L???I?是一族两两不相交的非空集合，

?A?；

??I(2)集L与S中每个集A?有且仅有一个公共元素.

注1