导数压轴满分之同构式大法

我们发现，fx同构式模型：①axlogxexlna□e"xnx- ee^xlnx xee1.>X=> > =>lnx 我们发现，fx同构式模型：①axlogxexlna□e"xnx- ee^xlnx xee1.>X=> > =>lnx xlnaexlnaxlnx elnxlnx xlnalnxaee，>lnan- > =n>n>xlnxelnxlnx xxlnx4—；，二n>n>e①eaxaxlnx1i > 【例1】对于任意的x1elnx+1 lnx1axlnx1.±__4二 ± ±_> ± x0,不等式ax〉logx(a〉0,且ax1)恒成立，则a的取值范围是lnx lnx解：axlogx exlna xlnaexlna xlnx elnxlnx，故只需xlnalnxlna，由于fxa lna xInx在0,eT,e,+8J，故fxfe-，lnaL即a>eI.max e e【例2】（2018•长郡月考）已知函数f（x）=aex-lnx-1,若f（x）>0恒成立，则实数a的取值范围是解：由题意得：aex、1nexfaexex、exlnex^ae,xexelnexlnex恒成立，则需要满足ae11x>lnex_lnxX1,1显然x_Ulnx恒成立，故只需ae11，即-e【例3】对Vx〉0，不等式2ae2x-Inx+Ina>0恒成立，则实数a的最小值为（ ）B.-X=2\:ex_x__x_ _xx解：由题意得：2ae2x、lnxlna_2xe2x、—ln— _elnxln--2x、ln一 令一 t2at、lnt 此时要构造过一 aaa a'a'1 1c1 1原点的切线放缩模型lnt，故2"一，即a〉—.e e 2e【例4】（2018.武邑期中）设实数九〉0，若对任意的xe（OQ,不等式e履-等0恒成立,则则的取值范围是 lnx解：ex——儿0n九xeax>xlnx=elnxlnx，即xx、lnx恒成立，.丸〉••专题7指对跨阶系列二之同构式构造秒杀秘籍：同构式问题构造xex与Xnxifx)=xln(x)ifx)=xln(x)cn, xlnx在0,1J，在-,+8个，在考查同构式的类型中,e)构造xex来求取值范围，构造xlnx来判断零点个数及分布;

【例5】（2019•衡水金卷）易知a0，不等式.iex’alnx〉0对任意的实数【例5】（2019•衡水金卷）易知a0，不等式.iex’alnx〉0对任意的实数x1恒成立，则实数a的最,十 二小值是（） < — >A・—— B・—2e C・—— D・一e2e e解：由题意得： xai•ex+aInx20=xex>annX=—ln—=elnxaln—=xln—对x1恒成立，此时Xa xa xa xa xaa>-，即ae，选D.InInx）max【例6】（2019・武汉调研）已知函数fx则实数a的取值范围为（ ）（）A・（0,e] B・0,e2exalnaxaaa0,若关于x的不等式fx00恒成立，=——+>C・ [1,e2]D・ （1,e2）解：由题意可知：exalnaxaa竺inalnx11exinaexlnaxlnae1nx1lnx1，只需xlnalnx1xlnx1xlnax1lnx1,即构成同构式2lna，ae2,故选B.T— > T — . .【例7】已知方程x2lnxalnaalnx有3个实根，则实数a的取值范围是二解：构造xlnxalna，根据定义域可知a0，如图，当xxx使xlnx=aln—，此时只存在两个实根，不合题意；当0x1 1xx（偏移情况），考虑到极值是左偏的，故m时，—aex0, ae'ee>x1时，yxlnx0，此时，仅存在丫二―，x1x

21时，则一定存在x=a或者1x1,0x1xe1 32，定义域要求完全覆盖，故ae1，即ae【例8】（2019•榆林一模）已知不等式ex—1kx+lnx，对于任意的xe（0,+s）恒成立，则k的最大值2秒杀秘籍：放对再放指，常数是关键关于指对跨阶,由于e属于递增过快,若不是存在*3—1nx+1或者|=ex_lnx.x-lnxH之类的可以直接消除对数的，一般考虑对递增较慢的lnx进行放缩，但在区间0,1内重点考虑切线放缩，通常放缩有：□lnx〈x_1；□lnx「（取等条件x=e）；①1nx,x1 1lnxj1（取等条件x1）；e 一 x—x~xlnx>1-xlnx〉x_1； □lnx<x1.lnex<ex1.lnx<ex_2（取等条件x1）； □x eex1yx^ex>ex取等条件x=1ex>x+1n<exe2e-ex22空x2取等条件x：4二2exe3ee'-ex3之ex3取等条件x27二3；〉ex，x12x〉0（取等条件x0以及x=1，□和□根据找基友证明）二十一ex>x2+1x>0（取等条件x0）；□e1xkx，即k<e1・【例9】【例9】（2019•重庆巴蜀月考）已知fx竺alnx．x（1）当a0时，求函数fx在0,+8上的最小值;(2)若0<a~~~，求证：fx00.解：（1）a0时，解：（1）a0时，fxxexexx2x0,1时，fxJ，当x£1,+8时，fx.f1e；min（2）思路：此题若放缩竺，定会遇到很多问题,

x所以根据“放对再放指”的原理，由于fxex竺lnx，2先放ln先放lnx，由于此题无常数项，故不采用lnx-x1来增加常数项，由于，丝的出现暴露了需要“降次”，

2故试用lnxv故试用lnxv%，则可得fx

eexex八7万°，此时只需证明exex2，此时再利用“指数找基友”即可证明不2等式，或者放缩成ex>e2x2>ex2也可以；4 2证明:0<a-e-，由于lnx.，故fxexxfe e2证明:0<a-e-，由于lnx.，故fxexxfe e2fa1nx_71nx，故只需x2xeex2-x

ex0当x=e时gxIne

， max0，即lnx」x，故只需证ex

eexxe-x22—Inx0令gxlnx2 ，0，只需证ex22令hx

exex2，ex，故hX在0,2T,在2,+8当x2时，即证・【例10】（2018•甘肃会宁）已知函数f（x）=ex一,g(x)=lnx+1转，构造fx受Whx，利用fxehxhe3x x3 min max思路2：“放对后放指”，要证明x2exlnx1，只需证明x2exxe2.；311xInx1，故只需证明xex失败，失败区间在0,1，故思考取等区间在0,1上的切线放缩式子，构造lnexex1,取等条件为x1显然1e即Inx,ex2，只需证x2exex1，这时需要涉及找点的知识，虽然此式已经构造成功，但这里不详叙述；构造exln?利用切线放缩，过原点切线ex.ex，丝xln"，故exex丝x由工恒成立・x2 3 x2 3 x2达标训练1.（2018•广东期末）已知函数f（x）的定义域是R，其导函数是f（x），且f（x）0，则满足不等式f(lnt)+f(lnt)+lnt-1<f(1)A.[e,+s)的实数t的集合是（ ）B.[1,+8）C・(0,e]D.[e-1,e]2.（2019•沈阳一模）已知函数f（x）=alnx-2x，若不等式f（x+1）>ax-2ex在xe（0,+s）上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）C・a0D・0a2A・C・a0D・0a2.(2019•全国口卷调研)设实数m>0，若对任意的x>e，若不等式x2lnx-me1>0恒成立，则m的最大值为()1eTOC\o"1-5"\h\zA・— B. - C 2e D・ e.(2018•衡水中学)已知x0是方程2x2e2xlnx0的实根，则关于实数x0的判断正确的是( )A.工八21口2 (2018•浙江期末)已知函数f(x)=空.x(1)求函数f((2018•浙江期末)已知函数f(x)=空.x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a2■，求证：af(x)>lnx.e20 0—e 0+ 0= 0一iS.i\aeax-1>2x+—Inx.(2019•长沙测试)若Vx>。，恒有 I x；，则实数a的最小值为( )A・1- B・2 C・1 D・2.(2018•南通期末)已知函数f(x)的定义域为(0,+s),f(x)是函数f(x)的导函数，对任意的x>0,f(x)-xf'(x)<0恒成立，则关于实数t的不等式f(X"2—t—2)<、.匚If(>-771)的解集是 ..(2018•芮城期末)已知函数f(x)=aex-lnx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点，求a的值并求g(x)=f(x)+lnx--的单调区间；e2(2)若不等式f(x)0在(0,+8)恒成立，求a的取值范围..(2018•德阳模拟)已知函数f(x)=ex+mx-1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若曲线f(x)在点(0,0)处的切线垂直于直线y=-x+2，求证：当x>0时，f(x)-21nx>3-2ln2..(2018•荆州一模)已知函数f(x)=ex-m-xlnx-(m-1)x，mgR，f(x)为函数f(x)的导函数.(1)若m=1,求证：对任意xg(0,+s),f(x)0；(2)若f(x)有两个极值点，求实数m的取值范围..(2018•新课标①)已知函数f(x)=aex-1nx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间;(2)证明：当a1时，f(x)0.e

.(2014•全国卷I)设函数fG)=aexlnx+处之，曲线y=fQ)在点(1,fG))处的切线方程为y=e