上海市复旦大学附属高中2021-2022高二下学期期中考数学试卷+答案

复旦大学附属中学2021－2022学年第二学期高二年级数学期中考试试卷一、填空题（本大题满分44分）本大题共有10题，第1－6题每题4分，第7－10题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果，并按要求拍照上传．1.空间两点、之间的距离为______．2.棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为______．3.正四棱台的上、下底面分别为边长为1和2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的侧面积为______．4.已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，给出下列命题：①，；②，；③，，．其中假命题的序号是______．（写出所有假命题的序号）5.若一个圆锥的母线长为4，其侧面积为过圆锥轴的截面面积的倍，则该圆锥的高为______．6.如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，，则异面直线与所成角的大小是______．7.在矩形ABCD中，AB＝2，，沿对角线AC将矩形折成直二面角D－AC－B，则线段BD的长为______．8.如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE．若D、E分别是AB、BC的中点，则______．9.已知如下的定理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积之比均为一定值，则这两个几何体的体积之比也为”．设、为两个常数，且满足，则半椭圆绕轴旋转一圈所得的几何体体积为______．10.已知正方体的棱长为1，其内切球（即该球与正方体的六个面均有且仅有一个公共点）上有两个动点M、N，点P为正方体表面上一动点，当线段MN长度最大时，的取值范围是______．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，请直接在智学网上作答．11.已知、是平面两条斜线，则“、与平面所成角相等”是“”的（）条件A充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要12.设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令，，，则、、三个向量（）A.互不相等 B.有且仅有两个相等 C.都相等 D.以上均有可能13.如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（）A.2 B.4 C.6 D.814.为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）A.CD与BE是异面直线B.异面直线AB与CD所成角的大小为45°C.由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为D.球面上的点到底座底面DEF的最大距离为三、解答题（本大题共有5题，本大题满分56分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤，并按要求拍照上传．15.在长方体中，AB＝1，AD＝2，，E、F分别为线段BC、上的点，且CE＝1，CF＝1．（1）求证：平面；（2）求异面直线EF与所成角的余弦值．16.如图所示，某农户拟在院子墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA、OB、两两垂直（OA、OB、均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．（1）若木板较长的一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？（2）应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值．17.在平面直角坐标系内，我们知道ax＋by＋c＝0（a、b不全为0）是直线一般式方程．而在空间直角坐标系内，我们称ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0）为平面的一般式方程．（1）求由点，，确定平面的一般式方程；（2）证明：为平面ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0）的一个法向量；（3）若平面的一般式方程为ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0），为平面外一点，求点P到平面的距离．18.如图所示，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，，点C为底面圆周O上的动点．记三棱锥的体积为V．（1）证明：平面平面；（2）求V的最大值；（3）当V取最大值时，求直线与平面所成角的正弦值．19.如图所示，已知球的半径为，在球的表面上有三点、、，且、、、四点不共面，．（1）若⊥平面，求球心到平面的距离；（2）若CO⊥平面，一个经过点、、的球也经过点，求球的表面积；（3）若线段上存在一点，使得，求三棱锥体积的最大值．

复旦大学附属中学2021－2022学年第二学期高二年级数学期中考试试卷一、填空题（本大题满分44分）本大题共有10题，第1－6题每题4分，第7－10题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果，并按要求拍照上传．1.空间两点、之间的距离为______．答案：3【详解】因点、，则.故答案为：32.棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为______．答案：【详解】如图所示，在正方体中，可得平面，平面，因为平面，平面，所以且，所以为异面直线与的公垂线，又由正方体的棱长为，可得，所以异面直线与的距离为.故答案为：.3.正四棱台的上、下底面分别为边长为1和2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的侧面积为______．答案：【详解】正四棱台的侧面为一个等腰梯形，如图示：.过C作于E，则.所以等腰梯形的面积为.所以该棱台的侧面积为.故答案为：.4.已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，给出下列命题：①，；②，；③，，．其中假命题的序号是______．（写出所有假命题的序号）答案：①②③【详解】如图，长方体中，平面为平面，若直线分别为直线，满足，，而a与b相交，①不正确；若直线为b，直线为a，满足，，而，②不正确；若平面为平面，直线为b，直线为a，满足，，，而a与b不平行，③不正确.故答案为：①②③5.若一个圆锥的母线长为4，其侧面积为过圆锥轴的截面面积的倍，则该圆锥的高为______．答案：26.如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，，则异面直线与所成角的大小是______．答案：##【详解】如图所示，取的中点，分别连接，因为、分别为与的中点，可得，且，所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，在中，因为，所以，所以，即直线与所成的角为，所以异面直线与所成的角.故答案为：.7.在矩形ABCD中，AB＝2，，沿对角线AC将矩形折成直二面角D－AC－B，则线段BD的长为______．答案：【详解】如图，作于，连接，由二面角D－AC－B为直二面角，所以平面，则，在中，，，，所以，，作于，，所以，所以.故答案为：8.如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE．若D、E分别是AB、BC的中点，则______．答案：【详解】因为平面，且平面平面，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，且E分别是BC的中点，所以，同理，因此，设上底面的面积为，高为，则下底面的面积为，所以，故答案为：.9.已知如下的定理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积之比均为一定值，则这两个几何体的体积之比也为”．设、为两个常数，且满足，则半椭圆绕轴旋转一圈所得的几何体体积为______．答案：【详解】如下图所示：直线交半椭圆于、两点，交半圆于、两点，由题意可得，将半椭圆和半圆绕着轴旋转一圈后，利用垂直于轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为、，由题意可知，设半椭圆绕轴旋转一圈所得的几何体体积为，则，所以，.故答案为：.10.已知正方体棱长为1，其内切球（即该球与正方体的六个面均有且仅有一个公共点）上有两个动点M、N，点P为正方体表面上一动点，当线段MN长度最大时，的取值范围是______．答案：【详解】解：设内切球的球心为，当线段MN长度最大时，为球的直径，不妨设分别是内切球在正方体左右侧面的切点，如图所示，则，，当点位于正方体的顶点时，取得最大值，当点位于切点时，取得最小值，所以，即的取值范围是.故答案为：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，请直接在智学网上作答．11.已知、是平面的两条斜线，则“、与平面所成角相等”是“”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要答案：B【详解】在正方体中，如下图所示：以直线为直线，直线为直线，平面为平面，因为平面，所以，直线与平面所成的角为，同理可知，直线与平面所成的角为，所以，，但直线、相交，即“、与平面所成角相等”“”；如下图所示，设直线、与平面分别交于点、，在直线上一点（异于点）作，在直线上一点（异于点）作，垂足分别为点、，连接、，则直线、与平面所成角分别为、，因为，，则，因为，由等角定理可知，所以，，即“、与平面所成角相等”“”.因此，“、与平面所成角相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.12.设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令，，，则、、三个向量（）A.互不相等 B.有且仅有两个相等 C.都相等 D.以上均有可能答案：B详解】，，若，则，即，则B，C重合，于是A、B、C、D共面，矛盾，所以，即、、三个向量有且仅有两个相等，故选：B13.如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：A【详解】作出平面，使得平面，当时，平面或平面，结合旋转分析可知有两次使得．故选：A14.为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）A.CD与BE是异面直线B.异面直线AB与CD所成角的大小为45°C.由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为D.球面上的点到底座底面DEF的最大距离为答案：C【详解】取中点N，M，连接，如图，因为正三角形，则，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，同理平面，即，，因此，四边形是平行四边形，有，则直线CD与BE在同一平面内，A不正确；由选项A，同理可得，则异面直线AB与CD所成角等于直线DF与CD所成角，B不正确；由选项A知，，同理可得，正外接圆半径，由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面圆是的外接圆，此截面面积为，C正确；体积为的球半径，由得，由选项C知，球心到平面的距离，由选项A，同理可得点A到平面的距离为，即平面与平面的距离为，所以球面上的点到底座底面DEF的最大距离为，D不正确.故选：C【点睛】易错点睛：异面直线所成的角的取值范围是，当求出角的余弦值为负时，要取其相反数作为异面直线夹角余弦．三、解答题（本大题共有5题，本大题满分56分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤，并按要求拍照上传．15.在长方体中，AB＝1，AD＝2，，E、F分别为线段BC、上的点，且CE＝1，CF＝1．（1）求证：平面；（2）求异面直线EF与所成角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）（1）取AD的中点M，棱上取点N使得DN＝1，如图，可得且NF＝EM，所以四边形EFNM为平行四边形，所以，又EF不在平面上，平面，所以平面；（2）取的中点P，连接MP，如图，则∠PMN为异面直线EF与的所成角，因为，，所以，故异面直线EF与所成角的余弦值为．16.如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA、OB、两两垂直（OA、OB、均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．（1）若木板较长一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？（2）应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值．答案：（1）和（2）体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°（1）法一：设其中一个锐二面角的大小为，则三棱柱底面两条直角边长分别为、，高为1，体积，解得或，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为和．法二：设三棱柱底面的一条直角边长为，则另一条直角边长为，高为1，体积，解得x＝1或，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为和．（2）（2）法一：同（1）中法一所设，若长边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；若短边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；显然，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°．法二：同（1）中法二所设，若长边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；若短边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；显然，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°（也可描述底面两条直角边长）．17.在平面直角坐标系内，我们知道ax＋by＋c＝0（a、b不全为0）是直线的一般式方程．而在空间直角坐标系内，我们称ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0）为平面的一般式方程．（1）求由点，，确定的平面的一般式方程；（2）证明：为平面ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0）的一个法向量；（3）若平面的一般式方程为ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0），为平面外一点，求点P到平面的距离．答案：（1）6x＋4y＋3z－12＝0（2）证明见解析（3）（1）将点，，代入后得：，不妨令，则，故平面的一般方程为：，即6x＋4y＋3z－12＝0；（2）记平面的方程为ax＋by＋cz＋d＝0，在平面上任取一条直线，该直线上任取两个不同的点和，则，，故有；因为，，所以，故所以垂直于平面上的任意一条直线，所以是平面的一个法向量．（3）由（2）知：为平面ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0）的一个法向量，任取平面上一点，则，点P到平面的距离d是向量在的方向上的投影的模，于是，所以点P到平面的距离为．18.如图所示，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，，点C为底面圆周O