大一上微积分1第十一讲

1这周有习题课26.1定积分的概念和性质6.1.1曲边梯形的面积6.1.2定积分的概念6.1.3定积分存在的条件6.1.4定积分的性质36.1.1曲边梯形的面积4例1(求曲边梯形的面积)方法第一步:分割5同时区域D被分割为若干小曲边梯形第二步:近似6那么这个极限值就第三步:取极限上述过程既给出了曲边同时也给出了求面积的直观上觉得:面积的近似值就越接近于面积的精确值.是曲边梯形的面积.梯形面积的定义,一个方法.这就是f

的定积分76.1.2定积分的概念8定义6.1.1并且构造相应的积分和9并称该极限为函数f(x)在区间[a,b]上的黎曼积分,或者定积分.这个积分的值只与函数f与自变量的记号x无关，的定义和区间[a,b]有关.这句话的意思是10116.1.3定积分存在的条件121.定积分存在的必要条件定理6.1.1证明.13定理6.1.2定理6.1.32.定积分存在的充分条件14例2.156.1.4定积分的性质16则有这个性质称为定积分对于被积函数的线性性质.则有这个性质称为定积分对于区间的可加性.则有17则有推论1则有推论2证明1819206.若

f(x)在[a,b]可积,则|f(x)|也在[a,b]可积,并且5.若

f(x),g(x)在[a,b]可积,则f(x)g(x)也在[a,b]可积.217.积分中值定理设

f(x)在[a,b]连续,g(x)在[a,b]可积且不变号.使得证明不妨设g(x)0.又假设由mf(x)M以及

g(x)0推出积分得到22或者则得到又根据连续函数的介值定理知道:于是得到故定理成立.23注释如果再加上条件g(x)连续且恒正，则在积分中值定理的下列等式中：248.定积分的方向性:若f(x)在[a,b]上可积,则规定特别地,有25例3证明根据积分中值定理得到:于是由此立即得到：26例4证明由此立即得到结论.27下面的证明是错误的！根据积分中值定理：于是请同学们自己研究哪一步有问题.28例5证明求证：根据积分中值定理，再由f(x)的单调性得证.296.2微积分基本定理6.2.1变上限积分6.2.2牛顿—莱布尼茨公式30称F(x)为变上限积分.设函数f(x)在区间[a,b]上可积,定理6.2.1(1)若

f(x)在[a,b]上可积,则F(x)在[a,b]连续.(2)若f(x)在

[a,b]连续,重要启示则F(x)是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.6.2.1变上限积分31证明(1)为了证明F(x)在[a,b]连续,只需要证明:即存在正数

M,使得于是由此立即看出:这就证明了F(x)在[a,b]连续.32(2)用导数定义证明第二个结论.设f(x)在[a,b]连续.为此只需要证明:3334(2)也可以用积分中值定理来证明.请大家作为练习来证明35定理6.2.2(例6.2.4)36证明1.根据定积分的方向性:也可以作如下证明:则:37例1解根据定理6.2.2的结论3,有38例2解求极限(洛必达法则)(等价无穷小代换)396.2.2牛顿—莱布尼茨公式40定理6.2.3则有证明并且于是（牛顿—莱布尼茨公式）41例3解用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分.42例4解用牛顿-莱布尼茨公式计算(m,n>0):同样可以得到:43同样可以得到:例5解所以44例6典型例题(用定积分求数列极限)45除了顽强的毅力和失眠的习惯,牛顿不承认惠威尔(Whewell)在«归纳科学史»中对于牛顿的描写:另一次他宣称:如果他在科学上作了一点事自己与常人有什么区别.当有人问他是怎样作出自己的科学发现时,他的回答是:

‘老想着它们”.情,那完全归功于他的勤奋与耐心思考,‘心里总装著研究的问题,等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明’.46牛顿最初对功课不感兴趣，成绩平平，乃至被同学蔑视。看不到半点神童的影子.有一次一名蛮横无理、学习成绩又素在他之上的同学欺负牛顿，精神和肉体上的双重痛苦使他忍无可忍，他奋起还击，打败了那个家伙。这使他领悟到学习不过如此，只要不畏困难就可成功。从此牛顿发奋图强，并开始喜欢读书。。。。。47作业：P270-271.1(6),2(3),3(2),4(5),5(2)P280-282.