八年级数学下册第19章一次函数193课题学习选择方案教案新人教版

19.3课题学习选择方案

教学目标

知识技能:进一步了解一次函数的解析式和图象在解决简单实际中的应用．

数学思考:尝试解决最佳方案设计问题．

解决问题:建立函数模型解决实际问题.

情感态度:通过小组讨论交流合作，培养学生的合作意识和探索精神；通过本节的学习，认

识到函数与现实有密切关系，感受到数学的实际价值．

教学重点:建立函数模型选择最佳方案．

教学难点:建立函数模型选择最佳方案．

教学过程设计

活动一.方案设计:问题1用哪种灯省钱

一种节能灯的功率为10瓦（0.01千瓦），售价为60元；一种白炽灯的功率为60瓦，售价为3

元.两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时以上）.如果电费价格为0.5元/（千瓦时），

消费者选用哪种灯可以节省费用？

分析:设照明时间为x小时，(总费用=用电费+灯的售价)则

用节能灯的总费用y为:y=0.5×0.01x+60①

11

用白炽灯的总费用y为:y=0.5×0.06x+3②

22

讨论:根据①②两个函数，考虑下列问题:

（1）x为何值时y=y（2）x为何值时y＞y（3）x为何值时y＜y

121212

试利用函数解析式及图象给出解答，并结合方程、不等式进行说明.

解:设照明时间为x小时，则

用节能灯的总费用y为:y=0.5×0.01x+60=0.005x+60①

11

用白炽灯的总费用y为:y=0.5×0.06x+3=0.03x+3②

22

在同一直角坐标系中画出函数的图象

由图看出，两条直线交点是P（2280，71.4）.

（1）x=2280时,y=y（2）x＜2280时,y＞y（3）x＞2280时,y＜y

121212

所以,x=2280时,消费者选用两种灯费用相同.

x＞2280时,消费者选用节能灯可以节省费用.

x＜2280时消费者选用白炽灯可以节省费用.

活动二.方案设计:问题2怎样租车

某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆

汽车上至少要有1名教师.现在有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表:

(1)共需租多少辆汽车？(2)给出最节省费用的租车方案.

甲种客车乙种客车

载客量（单位:人/4530

辆）

租金（单位:元/辆）400280

分析:

（1）从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车条件

①要保证240名师生有车坐，则汽车总数不能小于6辆

②要使每辆汽车至少要有1名教师.则汽车总数不能大于6辆

∴汽车总数只有6辆

（2）如果设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车是（6-x）辆

根据租车费用（单位:元）是x的函数，可得y=400x+280（6-x）

即y=120x+1680

讨论:x的取值范围

①保证240名师生有车坐则4≤x≤6②租车费不超2300元则0≤x＜6

∴x的取值范围是4≤x≤5即x=4或5两种可能.为节省应选甲车4辆，乙车2辆方案.

活动三.方案设计:问题3怎样调水

从A，B两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，A、B两水库各可

调出水14万吨.从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米.设计一

个调运方案使水的调运量（单位:万吨千米）尽可能小.

设从A水库调往甲地的水量为x吨；设水的调运量为y万吨千米；则有

y=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）=5x+1275

甲乙合计

Ax14-x14

B15-xx-114

合计151328

活动四.知识梳理,课堂小结

解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量之间的关系,从中选取有代表性的变量作为

自变量,然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数,以此作为解决问题的数学模型.

八年级上学期期末数学试卷

一、选择题（每题只有一个答案正确）

3x6

1．当x时，分式的值为0（）

2x1

11

A．x≠-B．x=-C．x≠2D．x=2

22

【答案】D

【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子等于零；（2）分母不等于零．两个条件需同时具备，

缺一不可．据此可以解答本题．

3x6

【详解】解：∵分式的值为0

2x1

3x60

∴

2x10

∴x2．

故选：D

【点睛】

本题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．

2．（3分）25的算术平方根是（）

A．5B．﹣5C．±5D．

【答案】A

【解析】试题分析：∵，∴21的算术平方根是1．故选A．

考点：算术平方根．

3．如图，ABCDCB，要说明ABCDCB，需添加的条件不能．．是（）

A．ABDCB．ADC．BMCMD．ACDB

【答案】D

【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可．

【详解】A、在△ABC和△DCB中

ABDC

ABC＝DCB

BC＝BC

∴△ABC≌△DCB，故本选项正确；

A＝D

B、在△ABC和△DCB中ABC＝DCB

BC＝BC

∴△ABC≌△DCB，故本选项正确；

C、∵BMCM

∴DBCACB

在△ABC和△DCB中

ACBDBC

ABC＝DCB

BC＝BC

∴△ABC≌△DCB，故本选项正确；

D、根据两边和其中一边的对角不能判断两三角形全等；故本选项错误；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据等腰三角形的性质及全等三角形

的判定定理进行证明是解此题的关键．

4．下列选项所给条件能画出唯一ABC的是（）

A．AC3，AB4，BC8B．A50，B30，AB2

C．C90，AB90D．AC4，AB5，B60

【答案】B

【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．

【详解】解：A、3+4<8，不能构成三角形，故A错误；

B、A50，B30，AB2，满足ASA条件，能画出唯一的三角形，故B正确；

C、C90，AB90，不能画出唯一的三角形，故C错误；

D、AC4，AB5，B60，不能画出唯一的三角形，故D错误；

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题

关键．

5．下列计算，正确的是（）

A．a2a2=2a2B．a2+a2=a4C．（﹣a2）2=a4D．（a+1）2=a2+1

【答案】C

【详解】解：A.a2a2a4.故错误；

B.a2a22a2.故错误；

C.正确；

D.a12a22a1.

故选C．

【点睛】

本题考查合并同类项，同底数幂相乘；幂的乘方，以及完全平方公式的计算，掌握运算法则正确

计算是解题关键．

6．下列各式中，正确的是（）

aa22(x1)2ab1a2b2

A．B．C．＝b+1D．＝a+b

bb21x21xaab

【答案】B

aa22(x1)

【分析】等式成立的条件是a＝0或a＝b时；因式分解法化简分式＝

bb21x2

2(x1)ab11

；根据分式的基本性质化简＝b+．

(1x)(1x)aa

aa2

【详解】解：A.与在a＝0或a＝b时才成立，故选项A不正确；

bb2

2(x1)2(x1)2

B.＝＝，故选项B正确；

1x2(1x)(1x)1x

ab11

C.＝b+，故选项C不正确；

aa

a2b2

D.不能化简，故选项D不正确；

ab

故选：B．

【点睛】

本题考查分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的基本性质.

7．已知x28xa可以写成一个完全平方式，则a可为()

A．4B．8C．16D．16

【答案】C

【解析】∵x28xa可以写成一个完全平方式，

∴x2-8x+a=(x-4)2，

又（x-4）2=x2-8x+16，

∴a=16，

故选C.

8．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴对称的点B的坐标为（）

A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）

【答案】D

【解析】试题分析：关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点A

（﹣1，2）关于x轴对称的点B的坐标是（﹣1，﹣2）．故选D．

9．满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是()

A．b2c2a2B．a:b:c3:4:5

C．CABD．A:B:C3:4:5

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理可判断A、B两项，根据三角形的内角和定理可判断C、D两项，

进而可得答案．

【详解】解：A、∵b2c2a2，∴a2b2c2，

∴∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；

B、由a:b:c3:4:5可设a3k,b4k,c5k，

∵a2b23k24k225k25k2c2，

∴∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；

C、∵CAB，∴BCA，

∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠A=180°，

∴∠A=90°，所以△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；

D、由A:B:C3:4:5可设A3k,B4k,C5k，

∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3k4k5k=180°，解得：k15，

∴A45,B60,C75，所以△ABC不是直角三角形，本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，属于基础题型，熟练掌握勾股定理的逆定

理是解题的关键．

10．我们定义：如果一个等腰三角形有一条边长是3，那么这个三角形称作帅气等腰三角形.已知

ABC中，AB32，AC5，BC7，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割

成两个三角形，若其中一个三角形是帅气等腰三角形，则这样的直线最多可画（）

A．0条B．1条C．2条D．3条

【答案】B

【分析】先根据各边的长度画出三角形ABC，作AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，BD，结合

图形可分析出结果.

【详解】已知如图，所做三角形是钝角三角形，作AD⊥BC，

根据勾股定理可得：AC2-CD2=AB2-BD2

所以设CD=x,则BD=7-x

所以52-x2=（32）2-（7-x）2

解得x=4

所以CD=4,BD=3,

所以，在直角三角形ADC中

AD=AC2CD252423

所以AD=BD=3

所以三角形ABD是帅气等腰三角形

假如从点C或B作直线，不能作出含有边长为3的等腰三角形

故符合条件的直线只有直线AD

故选：B

【点睛】

本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键;并注意第二问的

分类讨论的思想，不要丢解.

二、填空题

11．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____

个．

【答案】1

【分析】由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝15°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x

轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.

【详解】（1）当点P在x轴正半轴上，

①如图，以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴∠AOP＝15°，OA＝22，

当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，

当∠OAP为顶角时，AO=AP，

∴OPA=∠AOP=15°，

∴∠OAP=90°，

∴OP=2OA=1，

∴P的坐标是（1，0）或（22，0）.

②以OA为底边时，

∵点A的坐标是（2，2），

∴∠AOP=15°，

∵AP=OP，

∴∠OAP=∠AOP=15°，

∴∠OPA=90°，

∴OP=2，

∴P点坐标为（2，0）.

（2）当点P在x轴负半轴上，

③以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴OA＝22，

∴OA＝OP＝22，

∴P的坐标是（﹣22，0）．

综上所述：P的坐标是（2，0）或（1，0）或（22，0）或（﹣22，0）．

故答案为1．

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题

关键．

12．数据-3、-1、0、4、5的方差是_________．

【答案】9.1．

【分析】根据公式求出这组数据的平均数与方差．

【详解】这组数据的平均数是：

(3)(1)045

x1

5

1

方差是s2[(31)2(11)2(01)2(41)2(51)2]9.2．

5

故答案为：9.1．

【点睛】

本题考查了求数据的平均数与方差的问题，解题时利用平均数与方差的公式进行计算即可．

13．如图AB∥CD，∠B＝72°，EF平分∠BEC，EG⊥EF，则∠DEG＝______°．

【答案】1

【解析】直接利用平行线的性质得出∠BEC＝108°，再利用角平分线的定义得出答案．

【详解】解：∵AB∥CD，∠B＝72°，

∴∠BEC＝108°，

∵EF平分∠BEC，

∴∠BEF＝∠CEF＝54°，

∵∠GEF＝90°，

∴∠GED＝90°﹣∠FEC＝1°．

故答案为：1．

【点睛】

此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出∠BEC的度数是解题关键．

14．把命题“三边分别相等的两个三角形全等”写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式_____________.

【答案】如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等

【分析】命题一般都可以写成如果…那么…形式；如果后面是题设，那么后面是结论．

【详解】把命题“三边分别相等的两个三角形全等”写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式为：如果两个

三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等.

故答案为：如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等

15．直角坐标平面上有一点P（﹣2，3），它关于y轴的对称点P′的坐标是_____．

【答案】（2，3）

【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．根据关于y轴对称的

点的特点解答即可．

【详解】解：点P（﹣2，3）关于y轴的对称点P'的坐标是（2，3），

故答案为：（2，3）．

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系内，点关于y轴对称的点的坐标的特征，掌握关于y轴对称的点的特

征是解题的关键．

2x

16．使分式有意义的x满足的条件是__________________．

x2

【答案】x2；

【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为1．

【详解】解：∵x20，

∴x2；

故答案为：x2.

【点睛】

本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为1时，分式有意义．

17．在8×8的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点（位置如图）．若

一个格点P使得△PBC与△PAC的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有_____

个“好点”．

【答案】1

【分析】要使△PBC与△PAC的面积相等，则P点到BC的距离必是P点到AC距离有2倍，通过

观察便可确定P的所有位置，从而得出答案．

【详解】解：∵AC＝1，BC＝4，

∴当P到BCBC的距离是P点到AC的距离的2倍时，△PBC与△PAC的面积相等，

满足这样的条件的P点共有如图所示的1个格点，

∴在这张格子纸上共有1个“好点”．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了三角形的面积，识图能力，正确理解新定义，确定P到BC，BC的距离是P点到AC的

距离的2倍是解题的关键．

三、解答题

18．一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，梯子的顶端下滑

2米后，底端将水平滑动2米吗？试说明理由．

【答案】梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米

【解析】根据题意两次运用勾股定理即可解答

【详解】解：由题意可知，AB=10m，AC=8m，AD=2m，

在Rt△ABC中，由勾股定理得BC===6；

当B划到E时，DE=AB=10m，CD=AC﹣AD=8﹣2=6m；

在Rt△CDE中，CE===8，

BE=CE﹣BC=8﹣6=2m．

答：梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米．

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，根据两边求第三边是解决问题的关键

19．如图，ABC三个顶点的坐标分别为A1,1,B4,2,C3,4．

（1）请画出ABC关于y轴对称的ABC，并写出A、B、C的坐标；

111111

（2）在x轴上求作一点P，使PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．

【答案】（）见解析；（，）、（，）、（，）；（）见解析；点坐标为（﹣，）．

1A111B142C1342P20

【分析】（1）先在坐标系中分别画出点A，B，C关于y轴的对称点，再连线，得到ABC，

111

进而写出A、B、C的坐标即可；

111

（2）先画出点B关于x轴的对称点B′，再连接B′A交x轴于点P，即为所求．

【详解】（）如图所示：△，即为所求，

1A1B1C1

、、的坐标分别为（，）、（，）、（，）；

A1B1C1A111B142C134

（2）如图所示，画出点B关于x轴的对称点B′，连接B′A交x轴于点P，此时PAPB的

值最小，即△PAB的周长最小，此时P点坐标为：（﹣2，0）．

【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系中，图形的轴对称变换，通过点的轴对称，求两线段和的最小值，

是解题的关键．

20．某种优质蜜柚，投入市场销售时，经调查，该蜜柚每天销售量y（千克）与销售单价x（元/

千克）之间符合一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）某农户今年共采摘该蜜柚4500千克，其保质期为40天，若以18元/千克销售，问能否在

保质期内销售完这批蜜柚？请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣10x+300；（2）能在保质期内销售完这批蜜柚，理由见解析

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以求得y与x的函数关系式；

（2）将x＝18代入（1）的函数解析式，求出相应的y的值，从而可以求得40天的销售量，然

后与4500比较大小即可解答本题．

【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，

将点(10,200),(15,150)代入解析式中得

10kb200k10

解得

15kb150b300

即y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300；

（2）能在保质期内销售完这批蜜柚，

理由：将x＝18代入y＝﹣10x+300，得

y＝﹣10×18+300＝120，

∵120×40＝4800＞4500，

∴能在保质期内销售完这批蜜柚．

【点睛】

本题主要考查一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键.

21．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．

（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；

（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计

算写出你能写出的点C的坐标；

（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存

在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．

备用图1备用图2

【答案】（1）AB=25；（1）C1（0,3），C2（0，-2），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样

的点P．

【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；

（1）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；

（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，

即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．

【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，

由已知可得，BD=2，AD=1．∴在Rt△ABD中，AB=25

（）如图，①以为直角顶点，过作⊥交轴于，交轴于．

1AAl1ABxC1yC1

②以为直角顶点，过作⊥交轴于，交轴于．

BBl1ABxC3yC2

③以为直角顶点，以为直径作圆交坐标轴于、、．（用三角板画找出也可）

CABC5C6C3

由图可知，（），（，），（）、（）．

C10,3C20-2C5-1,0C61,0

（3）不存在这样的点P．

作的垂直平分线，则上的点满足，

ABl3l3PA=PB

作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，

由图可以看出两线交于第一象限．

∴不存在这样的点P．

【点睛】

本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题

的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．

22．甲乙两人同时登同一座山，甲乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函

数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）乙在提速前登山的速度是______米／分钟，乙在A地提速时距地面的高度b为__________

米．

（2）若乙提速后，乙比甲提前了9分钟到达山顶，请求出乙提速后y和x之间的函数关系式．

（3）登山多长时间时，乙追上了甲，此时甲距C地的高度为多少米？

【答案】（1）15，30；（2）y30x30；（3）登山6.5分钟，乙追上了甲，此时甲距C地的高

度为65米

【分析】（1）根据1分钟的路程是15米求出速度；用速度乘以时间得到此时的高度b；

（2）先求出t，设乙提速后的函数关系式为：ykxb，将（2，30）（11,300）即可得到解析式；

（3）先求出甲的函数解析式，再解甲乙的函数解析式组成的方程组求出交点的坐标，即可得到

答案.

【详解】（1）乙在提速前登山的速度是15115（米／分钟），乙在A地提速时距地面的高度

b为15230（米）；

（2）t=20-9=11，

设乙提速后的函数关系式为：ykxb，图象经过（2，30）（11,300）

302kb

则

30011kb

解得：k30,b30

所以乙提速后的关系式：y30x30．

（3）设甲的函数关系式为：ymxn，将点（0，100）和点（20，300）代入，则

n100

，

20mn300

解得：m10,n100

甲的函数关系式为：y10x100；由题意得：

y30x30

y10x100

解得：x6.5,y165，

相遇时甲距C地的高度为：165﹣10065（米）

答：登山6.5分钟，乙追上了甲，此时甲距C地的高度为65米.

【点睛】

此题是一次函数的实际应用，考查待定系数法，函数图象的交点坐标，会将已知条件与图象结合

求点的坐标及字母的值.

1

23．（1）482712

3

32+181

（2）-83

22

103

【答案】（1）；（2）1

3

【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；

（2）先化简各二次根式，再进行乘除运算，最后进行减法运算即可．

1

【详解】（1）482712

3

3

=43-3323

3

3

=33

3

103

=；

3

32+181

（2）-83

22

423232

=22

22

=7-6

=1．

【点睛】

本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的顺序和运算法则．

24．（1）计算：x(x2y)(xy)2．

11

（2）已知a5，求a的值．

aa

x24x1

（3）化简：．

x2x24x24

【答案】（1）-1xy-y2；（2）21；（3）x2+1．

【分析】（1）根据整式的乘法法则运算即可；

111

（2）先将a5得到a223，再由完全平方差得出a的值即可；

aa2a

（3）根据分式的加法和除法法则运算即可．

【详解】（1）解：原式=x2-2xy-(x2+2xy+y2)

=x2-2xy-x2-2xy-y2

=4xyy2

1

（2）解：∵a5，

a

1

∴(a)225，

a

1

∴a2225，

a2

1

∴a223

a2

11

∵(a)2a22=23221，

aa2

1

∴a=21

a

x24x

（3）解：原式=[+]×(x+2)(x-2)

x2(x2)(x2)

=(x-2)2+1x

=x2-1x+1+1x

=x2+1

【点睛】

本题考查了整式的乘法、完全平方公式、分式的混合运算，解题的关键是熟悉上述知识点的运算

法则．

25．如图，已知网格上最小的正方形的边长为1（长度单位），点A、B、C在格点上.

（1）直接在平面直角坐标系中作出ABC关于y轴对称的图形ABC（点A对应点A，点C

111

对应点C）；

1

（2）ABC的面积为（面积单位）（直接填空）；

（3）点B到直线AC的距离为（长度单位）（直接填空）；

11

【答案】（1）（图略）；（2）5；（3）2.

【解析】（1）分别作出点A和点C关于y轴的对称点，再与点B首尾顺次连接即可得；

（2）利用割补法求解可得；

1

（3）根据•AC•h=S且AC=1求得h的值即可得．

211△ABC11

【详解】（）如图所示，即为所求．

1△A1BC1

111

（2）△ABC的面积为4×4-×2×4-×1×2-×4×3=1，

222

故答案为1．

（）∵22，

3A1C1=34=1

11

∴•AC•h=S，即×1×h=1，

211△ABC2

解得h=2，

∴点到直线的距离为，

BA1C12

故答案为2．

【点睛】

本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出

变换后的对应位置．

八年级上学期期末数学试卷

一、选择题（每题只有一个答案正确）

1．正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x-k的图像大致是（）．

A．B．C．

D．

【答案】B

【分析】根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，得k0；在结合一次函数y=x-k

的性质分析，即可得到答案．

【详解】∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大

∴k0

∴当x0时，一次函数yxkk0

∵一次函数y=x-k的函数值y随x的增大而增大

∴选项B图像正确

故选：B．

【点睛】

本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、正比例函数的性质，从而完成求

解．

2．计算：2a1212a2的值是（）

A．0B．4a2C．24aD．24a或4a2

【答案】D

【解析】试题分析：根据a2a的性质进行化简．原式=2a112a，当1a－1≥0时，

原式=1a－1+1a－1=4a－1；当1a－1≤0时，原式=1－1a+1－1a=1－4a．综合以上情况可得：原

式=1－4a或4a－1．

考点：二次根式的性质

3．如图，在ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定

是平行四边形的是（）

A．AE＝CFB．DE＝BFC．∠ADE＝∠CBFD．∠AED＝∠CFB

【答案】B

【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可；

【详解】解：A、由AE＝CF，可以推出DF＝EB，结合DF∥EB，可得四边形DEBF是平行四

边形；

B、由DE＝BF，不能推出四边形DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形；

C、由∠ADE＝∠CBF，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，结合DF∥EB，可得四边形

DEBF是平行四边形；

D、由∠AED＝∠CFB，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，结合DF∥EB，可得四边形

DEBF是平行四边形；

故选：B．

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型．

4．如图，高速公路上有A,B两点相距10km，为两村庄，已知DA4km,CB6km,DAAB

于A，CBAB于B,现要在AB上建一个服务站E，使得C,D两村庄到E站的距离相等，则

EB的长是（）km．

A．4B．5C．6D．20

【答案】A

【分析】根据题意设出EB的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．

【详解】设EB=x，则AE=10-x，

由勾股定理得：

在Rt△ADE中，

DE2AD2AE24210x2，

在Rt△BCE中，

CE2BC2BE262x2，

由题意可知：DE=CE，

所以：4210x2=62x2，

解得：x4(km)．

所以，EB的长为4km．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查的是勾股定理的运用，主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，运

用方程思想求解．

5．下列各组数中,以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）

A．6,8,10B．8,15,16C．4,3，7D．7,24,25

【答案】B

【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．

【详解】解：A、∵62+82=100=102，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

B、∵82+152=289=172≠162，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；

2

C、∵7+32=16=42，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

D、∵72+242=625=252，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角

形就是直角三角形．

6．若点a,y，a1,y在直线ykx2上，且yy，则该直线经过象限是（）

1212

A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四

【答案】B

【分析】根据两个点的横坐标、纵坐标的大小关系，得出y随x的增大而减小，进而得出k的取

值范围，再根据k、b的符号，确定图象所过的象限即可．

【详解】解：∵a＜a+1，且y1＞y2，

∴y随x的增大而减小，

因此k＜0，

当k＜0，b=2＞0时，一次函数的图象过一、二、四象限，

故选：B．

【点睛】

本题考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性是正确解答的前提．

114x5xy4y

7．若分式2，则分式的值等于（）

xyx3xyy

3344

A．﹣B．C．﹣D．

5555

【答案】B

【解析】试题分析：整理已知条件得y-x=2xy；

∴x-y=-2xy

将x-y=-2xy整体代入分式得

4x5xy4y4(xy)5xy8xy5xy3xy3

．

x3xyy(xy)3xy2xy3xy5xy5

故选B．

考点：分式的值．

xx213aba

8．下列各式：,,,中，分式的个数有（）

3x12a2

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则

不是分式．

x3ab

【详解】解：,的分母中含有字母，是分式；

3x1a2

x21a

,的分母中不含字母，不是分式；

2

故选：B．

【点睛】

本题主要考查分式的概念，掌握分式的概念是解题的关键.

1ab2mnbc3x2

9．在，，0.7xyy3，，，中，分式有（）

x5m5a

A．2个；B．3个；C．4个；D．5个；

【答案】B

【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则

不是分式．

1ab2mnbc3x21mnbc

【详解】在，，0.7xyy3，，，中，分式有，，，一

x5m5axm5a

共3个．

故选B．

【点睛】

本题主要考查分式的定义，分母中含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

10．下列运算正确的是()

A．a2·a3＝a6B．(－a2)3＝－a5

C．a10÷a9＝a(a≠0)D．(－bc)4÷(－bc)2＝－b2c2

【答案】C

【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可．

【详解】解：A、a2•a3＝a5，故A错误；

B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B错误；

C、a10÷a9＝a（a≠0），故C正确；

D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2，故D错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．

二、填空题

11．0.000608用科学记数法表示为．

【答案】6.08×10﹣1

【解析】试题分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与

较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前

面的0的个数所决定．

解：0.000608用科学记数法表示为6.08×10﹣1，

故答案为6.08×10﹣1．

考点：科学记数法—表示较小的数．

3

12．已知a+b=1，ab=，则a3b2a2b2ab3（__________）．

16

3

【答案】

64

【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可．

【详解】解：a3b−2a2b2＋ab3，

＝ab（a2−2ab＋b2），

＝ab（a−b）2，

＝ab[（a＋b）2−4ab]

3333

把a＋b＝1，ab＝代入得：原式＝×（12−4×）＝，

16161664

3

故答案为：．

64

【点睛】

本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，熟练掌握运算法则是解题的

关键．

13．请将命题"等腰三角形的底角相等"改写为"如果……,那么……"的形

式:____________________________________.

【答案】如果一个三角形是等腰三角形,那么它的两个底角相等

【分析】命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角

相等，应放在“那么”的后面．

【详解】题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：这个三角形的两个底角相等，

故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角

相等．

故答案为如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．

【点睛】

本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是

条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．

b

14．已知直线AB的解析式为：y=kx+m，且经过点A（a，a），B（b，8b）（a＞0，b＞0）．当

a

是整数时，满足条件的整数k的值为．

【答案】9或1．

【详解】把A（a，a），B（b，8b）代入y=kx+m得：

aakm

，

8bbkm

7

8ba7b

解得：k==+1=a+1，

baba1

b

b

∵是整数，k是整数，

a

a17

∴1﹣=或，

b28

解得：b=2a或b=8a，

则k=1或k=9，

故答案为9或1．

k

15．已知函数y2x与y的图像的一个交点坐标是（1，2），则它们的图像的另一个交点的

x

坐标是____．

【答案】（-1，-2）

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

k

【详解】∵函数y2x与y的图像都是中心对称图形，

x

k

∴函数y2x与y的图像的一个交点坐标是（1，2）关于原点对称的点是（-1，-2），

x

∴它们的图像的另一个交点的坐标是（-1，-2）．

故答案是：（-1，-2）．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相

反数．

16．如图，在△ABD中，∠D＝90°，CD＝6，AD＝8，∠ACD＝2∠B，BD的长为_____．

【答案】1．

【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的外角的性质得到∠B＝∠CAB，根据等腰三角形

的性质求出BC，计算即可．

【详解】解：∵∠D＝90°，CD＝6，AD＝8，

∴AC＝CD2AD2＝6282＝10，

∵∠ACD＝2∠B，∠ACD＝∠B+∠CAB，

∴∠B＝∠CAB，

∴BC＝AC＝10，

∴BD＝BC+CD＝1，

故答案：1．

【点睛】

本题考查勾股定理、三角形的外角的性质，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，

那么a2+b2=c2．

17．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1a|a2___________.

【答案】1

【解析】根据数轴得到a0，1a0，根据绝对值和二次根式的性质化简即可．

【详解】由数轴可知，a0，

则1a0，

∴1aa21aa1，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了绝对值和二次根式的化简及绝对值的性质，关键是根据数轴得出a0．

三、解答题

18．如图，已知ABC．

（1）按以下步骤把图形补充完整：A的平分线AD和边BC的垂直平分线相交于点D，过点D

作线段DF垂直于AC交AC的延长线于点F；

（2）求证：所画的图形中ABAC2CF．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）按照要求作出A的平分线AD和边BC的垂直平分线以及过点D作线段DF垂直

于AC即可；

（2）根据角平分线的性质首先得出DF=DM，再利用全等三角形的判定定理求出

△AFD≌△AMD，得出AF=AM，再利用垂直平分线的性质得出CD=BD，进而得出

Rt△CDF≌Rt△BDM，即可得出CF=BM，即可得解.

【详解】（1）如图所示：

（2）连接CD、DB，作DM⊥AB于M，如图所示：

∵AD平分∠A，DF⊥AC，DM⊥AB

∴DF=DM

∵AD=AD，∠AFD=∠AMD=90°，

∴△AFD≌△AMD（Hl）

∴AF=AM

∵DE垂直平分线BC

∴CD=BD

∵FD=DM，∠AFD=∠DMB=90°，

∴Rt△CDF≌Rt△BDM（Hl）

∴BM=CF

∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF

∴AB=AC+2CF

∴AB-AC=2CF.

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质和角平分线的性质等知识，解题关

键是作好辅助线利用全等求解.

19．已知：ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连接AD，在线段AD的右侧作射线

DP且使∠ADP=30°，作点A关于射线DP的对称点E，连接DE、CE．

（1）当点D在线段BC上运动时，如图，请用等式表示线段AB、CE、CD之间的数量关系，

并证明；

（2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB、CE、CD之间的数量关系，不需证明．

【答案】（1）AB=CE+CD，见解析；（2）当点D在线段CB上时，AB=CE+CD；当点D在CB

的延长线上时，AB=CD-CE,当点D在BC延长线上时，AB=CE-CD．

【分析】（1）由对称可得DP垂直平分AE,则AD=DE,由∠ADP=30°可得△ADE是等边三角形,

进而可得△ABC是等边三角形,可得AB=AC=BC，∠BAC=60°,进而可得∠BAD=∠CAE,由SAS

可得△BAD≌△CAE,得BD=CE,进而可证得结论;

（2）数量关系又三种，可分三种情况讨论：①当点D在线段BC上时，（1）中已证明；②当点

D在CB的延长线上时，如图所示，易知△ADE是等边三角形，可得AD=AE,

DAEADE60,由△ABC是等边三角形,可得AB=AC=BC，∠BAC=60°,进而可得

∠BAD=∠CAE,由SAS可得△BAD≌△CAE,可得BD=CE,进而可得此种情况的结论；③当点D

在BC延长线上时，如图所示，易知△ADE是等边三角形，可得AD=AE,DAEADE60,

由△ABC是等边三角形,可得AB=AC=BC，∠BAC=60°,进而可得∠BAD=∠CAE,由SAS可得

△BAD≌△CAE，可得BD=CE,进而可得此种情况的结论.

【详解】解：（1）AB=CE+CD

证明：∵点A关于射线DP的对称点为E，

∴DP垂直平分AE,

∴AD=DE,

又∵∠ADP=30°,

∴∠ADE=60°,

∴△ADE是等边三角形,

∴AD=AE，∠DAE=∠ADE=60°,

又∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC=BC，∠BAC=60°,

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,

即：∠BAD=∠CAE,

在△BAD和△CAE中,

ABAC

BADCAE

ADAE

∴△BAD≌△CAE,

∴BD=CE,

∴AB=BC=BD+CD=CE+CD;

（2）AB=