方差和标准差 教学设计（一）

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教学设计思想

本节内容一共需要二个课时来学习，第一课时通过观测与思考使学生直观感受甲、乙两人的射击平均成绩不分高低，但射击成绩波动大小不同，从而引出方差和标准差的概念。在教师引导下学生探究出如何刻画每个数据与平均数的偏差，如何表示所有数据的总偏差。其次课时提供了三个实际情景，通过对问题的分析和探究，使学生进一步理解方差的意义。

教学目标知识与技能

说出刻画数据离散程度的三个量——极差、方差、标准差——的概念，能借助计算器求出相应方差和标准差。

能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并能解决相应的实际问题。过程与方法

经历数据的收集与整理的过程，根据公式求一组数据的方差和标准差。情感、态度、价值观

体会方差、标准差是反映一组数据波动大小的量，在数据的整理与计算的过程中养成耐心、细致、认真的习惯，学会把知识应用于生活。

教学重难点

重点：计算一组数据的方差概念的理解。

难点：对方差的意义理解不透，有些问题弄不清该用方差衡量，还是该用平均数衡量。解决方法：通过学习明白对于一组数据来说，我们要衡量这组数据的集中趋势，可以通过平均数、众数和中位数这三个统计量来分析。假使要衡量这组数据中的离散趋势，也就要研究它的波动状况，就需要利用方差或标准差这两个统计量来衡量。

教学方法

合作探究，小组探讨教学用具多媒体课时安排2课时教学过程设计第一课时

我们常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平〞。但在评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的日走时误差时，只用平均数是不够的，有时还需要用一个新的数来

刻画一组数据的波动状况。

（一）观测与思考

甲、乙两名业余射击选手参与了一次射击比赛，每人各射10发子弹，成绩如下表：射击序号12345678910甲的成绩/环486105776107乙的成绩/环5768786797将数据用散点图表示，如图26—3。

1.观测图形，从图中能估计甲和乙射击成绩的平均水平吗?2.哪组数据围绕其平均值的波动较大?波动大小反映了什么?3.谁的射击成绩比较稳定？

注：观测两名业余射击选手比赛的成绩的散点图，直观感受两人成绩水平的高低及稳定性

1.大约都是7环左右。

2.甲选手的波动较大。波动大意味着成绩不稳定。

3.从图上观测，乙选手的成绩波动较小，比甲选手的成绩更稳定。

要比较甲和乙的射击水平，自然想到比较其射击成绩的平均数或中位数，但是，甲和乙射击成绩的平均数和中位数都是7(环)。两人相比，乙的成绩大多集中在7环附近，而甲的成绩相对于平均数的波动较大。

假使一组数据与其平均数的偏差(偏离平均数的大小)较小，我们就说这组数据比较稳定。

事实上，我们在研究问题时，仅考虑数据的“平均水平〞是不够的，还需要关注数据的离散程度，即它们与平均数的偏差大小。

设x是n个数据x1，?，xn的平均数，各个数据与平均数之差的平方的平均数，叫做这

n个数据的方差(variance)，用“s〞表示。即

2

1s2?[(x1?x)2?(x2?x)2?...?(xn?x)2]

n称方差的算术平方根

s?1[(x1?x)2?(x2?x)2?...?(xn?x)2]n为这组数据的标准差(standarddeviation)。

方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量。对平均数相等的两组数据，一般方差较小的这组数据相对于平均数的离散程度较小。

注：这里应强调，比较两组数据的波动大小时，以两组数据的平均数相等或比较接近为前提。

例如，甲和乙射击成绩的平均数都是7，方差分别为

2s甲?1222222（[4?7）?（5?7）?2（6?7）?3（7?7）?（8?7）?2（10?7）]?3.410122222（[5?7）?2（6?7）?4（7?7）?2（8?7）?（9?7）]?1.2102s乙?22由于s乙，说明乙的射击成绩比甲稳定。?s甲一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。极差也是刻画数据离散程度的一个统计量。如：

甲射击成绩的极差为10－4＝6(环)。乙射击成绩的极差为9－5＝4(环)。

极差反映数据的波动范围，它只用到数据的两个极端值，没有利用数据的全部信息。因此，在数学上常用方差刻画数据的离散程度。

（二）例题

例在某场女排比赛的一个时段里，甲、乙两队场上各自6名球员的身高分别如下；(单位，cm)

甲队：166178181175186182乙队：175176172183185177

用计算器计算此时每队场上6名球员身高的平均数和方差，并说明这一时段里哪个队场上球员的身高更整齐些。

解：(1)进入统计状态，选择一元统计。(2)输入球员的身高数据。

注：输人数据的方式与计算平均数时输入数据的方式一致。

(3)显示结果。按STATVAR键后屏幕显示nxSx?x。n表示数据的个数，x表

2

示平均数，?x表示标准差，利用?或?选择?x，再按键xENTER，屏幕自动

显示方差的值。

计算结果见下表：(方差确切到0.01)球队甲队乙队数据个数n66平均数x178178标准差?x6.3514.546方差s240.3320.6722这一时段里，两队场上球员平均身高一致，但s甲，所以乙队场上球员的身高比较?s乙整齐。

（三）练习

两个小组各5名同学目测同一本画册的宽度，目测误差的数据如下：(单位：cm)第一组：－2－1012其次组：－3－2023

(1)从直观上看，哪组同学目测得较确凿?

(2)分别计算两组数据的极差和方差，进行比较，验证第(1)题的结论。答案

(1)第一组同学目测较确凿。

22(2)两组数据的极差分别是4cm和6cm，方差分别为s1?2,s2?5.2

第一组的极差和方差都较小。（四）小结

引导学生总结本节的主要知识点。（五）板书设计

方差和标准差（一）观测与思考例题练习其次课时

张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择。他做了一番试验。第一周，星期一、星期三、星期五选A路线，星期二、星期四选B路线，每天两趟；其次周交换。记录所用时间如下表：试验序号12345678910A路线所花时间/min31513636584342325239B路线所花时间/min46504143474849484345（一）一起探究

根据两条路线所花时间绘制的折线统计图如图26—4所示。

1.观测图26—4，请说明选择哪条路线乘车平均用时较少，选择哪条路线乘车用时的波动较大。

2.用计算器分别计算选择A，B两条路线乘车所用时间的平均数和方差。3.假使上班路上的可用时间只有40min，乘车应选择哪条路线?4.假使路上可用时间为50min，乘车应选择哪条路线?注：这是一个十分现实的问题，综合性较强。

1.从图26—4看出，选择A路线平均用时较少，且所用时间的波动性也大。2.xA?42(min),sA?74,xB?46(min),sB?7.83.应选择A路线。4.应选择B路线。

经计算和分析得到：选择路线A乘车平均用时较少，但数据的离散程度大，有三次用时超过50min，说明时常有堵车现象发生；选择路线B乘车平均用时较多，但用时比较稳定，

22

可能路线B较长，但很少有堵车现象。

（二）做一做

画一个长和宽分别为3cm和2cm的长方形，用最小刻度为1mm的直尺测量长方形对角线的长度。6名同学一组，将测得的数据填入下表。测量人编号测量结果/cmABCDEF(1)计算6个数据的平均数和方差。(2)计算对角线的实际长度(确切到0.1)。

(3)用测量数据的平均数作为实际长度的近似值，记录估计的误差。(4)和其他小组比较你们估计的误差及测量数据的一致性。

注：设置该问题的目的，是让学生再次经历数据的收集和处理的过程，进一步体会方差的大小在实际问题中的意义。

(1)略。(2)13?3.6(3)计算x?3.6的值。

(4)应交流探讨估计误差和测量结果，体会误差越小，测得数据越接近实际长度，且方差也应越小。

（三）练习

测试甲、乙两种品牌的手表各100只，表示日走时误差数据的统计图如图26—5所示。

（1）甲、乙两种手表平均日走时误差分别是多少？

（2）甲、乙两种手表日走时误差的极差、方差分别是多少？（3）如何评价这