概率统计习题五解答

本文格式为Word版，下载可任意编辑——概率统计习题五解答概率论与数理统计习题五解答

1.正常人的脉搏平均为72次/分，现某医生测得10例慢性四乙基铅中毒者的脉搏（次/分）如下：

54676878706667706569

问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为听从正态分布。??0.05）解：设患者的脉搏为X,计算其样本均值与样本方差分别为x?67.4,s?5.93在检验水平??0.05下，检验假设H0:???0?72当假设H0为真时，取检验统计量T?H1:???0?72

X?72S/10~t(9)

???X?72?由P??t0.05(9)??0.05

??2?S/10?查表得：t0.05(9)?2.2622，故拒绝域为(??,?2.2622)?(2.2622,??).

2代入样本值得T值为T?67.4?725.93/10?2.453?2.2622

所以拒绝H0，即患者与正常人的脉搏有显著差异。

2.某厂生产的某种钢索的断裂强度听从N(?,?2)的分布，其中??40(kg/cm2)，现从一批这种钢索的容量为9的一个样本测得断裂强度X，它与正常生产时的?相比，较?大20(kg/cm2)，设总体方差不变，问在??0.01下能否认为这批钢索质量有显著提高？解：在检验水平??0.01下，检验假设H0:???0当假设H0为真时，取检验统计量U?H1:???0

X??0?/9~N(0,1)

?X??0?由P??Z0.01??0.01

??/9?查表得：Z0.01?2.325，故拒绝域为(2.325,??).代入样本值得T值为U?20?1.5?2.32540/3所以接受H0，即可以认为这批钢索质量没有显著提高。

3.某批矿砂5个样品中镍含量（%）经测定为3.25，3.27，3.24，3.26，3.24；设测定值X听从正态分布。问在?=0.01下能否认为这批矿砂的镍含量均值为3.25？

解：在检验水平??0.01下，检验假设H0:???0?3.25当假设H0为真时，取检验统计量T?H1:???0?3.25

X?3.25S/5~t(4)

???X?3.25?由P??t0.01(4)??0.01

??2?S/5?查表得：t0.01(4)?4.6041，故拒绝域为(??,?4.6041)?(4.6041,??).

2代入样本值x?3.252,s?0.013得T值为T?3.252?3.250.013/5?0.344?4.6041

所以接受H0，即可以认为这批矿砂的镍含量均值为3.25。

4.测定某种溶液中的水分，它的10个测定值给出x?0.452%,s?0.037%，设测定值总体为正态分

布，?为总体均值，试在??0.05下检验假设

(1)H0:??0.5%;H1:??0.5%(2)H0:??0.04%;H1:??0.04%

解：（1）当假设H0为真时，取检验统计量T?X?0.005S/10~t(9)

?X?0.005?由P???t0.05(9)??0.05

?S/10?查表得：t0.05(9)?1.8331，故拒绝域为(??,?1.8331).代入样本值x?0.452%,s?0.037%得T值为T?0.452%?0.5%0.037%/10??4.1024??1.8331

所以拒绝H0，接受H1。

(10?1)S2（2）当假设H0为真时，取检验统计量K?~?2(9)2(0.04%)?9S2?2由P???1?0.05(9)??0.052?(0.04%)?查表得：?20.95(9)?3.325，故拒绝域为(0,3.325).

9?(0.037%)2代入样本值x?0.452%,s?0.037%得K值为K??7.7006?3.3252(0.04%)所以接受H0，拒绝H1。

5.一种元件，用户要求元件的平均寿命不得低于1200小时，标准差不得超过50小时，今在一批元件中抽取9只，测得平均寿命x?1178小时，标准差s?54小时。已知元件寿命听从正态分布，试在??0.05下确定这批元件是否贴合要求？

解：（1）在检验水平??0.05下，检验假设H0:???0?1200当假设H0为真时，取检验统计量T?H1:???0?1200

X?1200S/9~t(8)

由P??X?1200???t0.05(8)??0.05

?S/9?查表得：t0.05(8)?1.8595，故拒绝域为(??,?1.8595).代入样本值x?1178,s?54得T值为T?1178?120234/9??1.2222??1.8595

所以接受H0，即可以认为这批元件的平均寿命大于1200小时。（2）在检验水平??0.05下，检验假设H0:???0?50H1:???0?50

(9?1)S22当假设H0为真时，取检验统计量K?~?(8)2(50)?8S2?2由P???0.05(8)??0.052?(50)?查表得：?20.05(8)?15.507，故拒绝域为(15.507,??).

8?(54)2代入样本值x?1178,s?54得K值为K??9.3312?15.507

(50)2所以接受H0，故可以认为这批元件的标准差没超过50小时。

综上分析得，这批元件贴合要求。

6.某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005欧姆。今在生产的一批导线中抽取样品9根，测得s?0.007欧姆。设总体为正态分布，问在水平??0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大？

解：在检验水平??0.05下，检验假设H0:???0?0.005H1:???0?0.005

(9?1)S22当假设H0为真时，取检验统计量K?~?(8)2(0.005)?8S2?2由P???(8)0.05??0.052?(0.005)?查表得：?20.95(8)?15.507，故拒绝域为(15.507,??).

8?(0.007)2代入样本值s?0.007得K值为K??15.68?15.507

(0.005)2所以拒绝H0，故可以认为这批导线的标准差显著地偏大。

7.某厂使用两种不同的原料A,B生产同一类产品，现抽取用原料A生产的样品220件，测得平均重量为2.46kg，标准差为0.57kg。抽取用原料B生产的样品205件，测得平均重量为2.55kg，标准差为0.48kg。设这两个总体都听从正态分布，且方差相等，问在显著水平??0.05下能否认为使用原料B生产的产品平均重量较使用原料A生产的产品平均重量为大？解：在检验水平??0.05下，检验假设H0:?A??B当假设H0为真时，取检验统计量T?H1:?A??B

X?YS?11?220235~t(220?205?2)

????X?Y???t0.05(223)??0.05由P?11?S?????220235??查表得：t0.05(223)?Z0.05??Z0.95??0.645，故拒绝域为(??,?1.645).代入样本值xA?2.46,T值为T?sA?0.57,xB?2.55,sB?0.48得2.46?2.55??1.7556??1.645

11?220235219?0.57?204?0.48220?205?222所以拒绝H0，故可以认为使用原料B生产的产品平均重量较使用原料A生产的产品平均重量大。8.机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取若干样品测量零件尺寸，测得数据如下：

机器甲：6.25.76.56.06.35.85.76.06.05.86.0机器乙：5.65.95.65.75.86.05.55.75.5

问两台机器的加工精度是否有显著差异（??0.05）？解：在检验水平??0.05下，检验假设H0:?1??2H1:?1??2

2222由于?1，?2，?1均未知，且不知?1是否相等，与?2，?22222?:?1?:?1故先检验假设H0。??2,H1??2?为真时，取检验统计量F?当假设H0S122S2~F(10,8)

2??S12?S1?由P?2?F0.05(10，8)?2?F0.05(10,8)??0.05

1?S2??22?S2?查表得：F0.05(10,8)?4.3,2F1?0.05(10,8)?211??0.2597，

F0.025(8,10)3.85故拒绝域为(0,0.2597)?(4.3,??).

2代入样本值s1?0.253,22s20.2532?2.1386?0.173得F值为F?20.173222?，故可以认为?1所以接受H0。??2再检验假设H0:?1??2H1:?1??2

当假设H0为真时，取检验统计量T?X?YS?11?119~t(11?9?2)

?????X?Y?由P??t0.05(18)??0.05

11?S?2????119??查表得：t0.025(18)?2.1009，故接受域为(?2.1009,2.1009).代入样本值x1?6,s1?0.253,x2?5.7,s2?0.173得

T值为T?6?5.710?0.253?8?0.17311?9?222?3.0226?2.1009

11?119所以拒绝H0，故可以认为两台机器的加工精度有显著差异。（注：书中答案不对。）

9.甲乙两位化验员，对一种矿砂的含铁量各独立地用一方法做5次分析，得到样本方差分别为0.4322

22和0.5006。若甲、乙测定值的总体都是正态分布，其方差分别为?甲，试在水平??0.05下和?乙2222检验假设H0:?甲。??乙,H1:?甲??乙

解：当假设H0为真时，取检验统计量F?2S甲2S乙~F(4,4)

22??S甲?S甲?由P?2?F0.05(4,4)?2?F0.05(4,4)??0.05

1?S乙??22?S乙?查表得：F0.05(4,4)?9.6,2F1?0.05(4,4)?21?0.1042，

F0.025(4,4)故拒绝域为(0,0.142)?(9.6,??).

22代入样本值s甲?0.4322,s乙?0.5006得F值为F?22所以接受H0，故可以认为?甲。??乙0.4322?0.8634

0.500610.某建筑构件厂使用两种不同的沙石生产混凝土预制块,各在所产产品中取样分析.取使用甲种沙石的预制块20块,测得平均强度为310kg/cm2,标准差为4.2kg/cm2,取使用乙种沙石的预制块16块,测得平均强度为308kg/cm2,标准差为3.6kg/cm2,设两个总体都听从正态分布,在?=0.01下,问(1)能否认为两个总体方差相等?

(2)能否认为使用甲种沙石的预制块的平均强度显著的高于用乙种沙石的预制块的平均强度?解：设使用甲、乙两种沙石的混凝土预制块的强度分别为X、Y，则X～N（?１,?1）,Y～N（?2,?2）.（