2023届高考数学一轮复习-第七章-立体几何与空间向量-第3节-空间点、直线、平面的位置关系练习-新人教A版

第七章第3节空间点、直线、平面的位置关系[基础训练组]1．(导学号14577641)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能解析：D[在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．]2．(导学号14577642)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()解析：D[在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面；在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面，故选D.]3．(导学号14577643)如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A．互相平行 B．异面且互相垂直C．异面且夹角为eq\f(π,3) D．相交且夹角为eq\f(π,3)解析：D[将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合．故l1与l2相交，连接AD，△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为eq\f(π,3).故选D.]4．(导学号14577644)已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断：①MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD)；②MN＞eq\f(1,2)(AC＋BD)；③MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD)；④MN＜eq\f(1,2)(AC＋BD)．其中正确的是()A．①③ B．②④C．② D．④解析：D[如图，取BC的中点O，连接MO，NO，则OM＝eq\f(1,2)AC，ON＝eq\f(1,2)BD.在△MON中，MN＜OM＋ON＝eq\f(1,2)(AC＋BD)，∴④正确．]5．(导学号14577645)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体过P，Q，R的截面图形是()A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形解析：D[如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，且QP反向延长线与CD延长线交于N，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，∴截面为六边形PQFGRE.]6．(导学号14577646)如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件______时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件______时，四边形EFGH是正方形．解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD7．(导学号14577647)(2023·安庆市二模)正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为________.解析：如图，连接CF，取BF的中点M，连接CM，EM，则ME∥AF，故∠CEM即为所求的异面直线角．设这个正四面体的棱长为2，在△ABD中，AF＝eq\r(3)＝CE＝CF，EM＝eq\f(\r(3),2)，CM＝eq\f(\r(13),2)，∴cos∠CEM＝eq\f(\f(3,4)＋3－\f(13,4),2×\f(\r(3),2)×\r(3))＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)8．(导学号14577648)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________.(把你认为正确的结论的序号都填上)解析：AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错．易知③④正确．答案：③④9．(导学号14577649)已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG，FH是▱EFGH的对角线，所以EG与HF相交．10．(导学号14577650)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)如图，连接AC，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.(2)如图，连接BD，由(1)知AC∥A1C1.∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角为90°.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.[能力提升组]11．(导学号14577651)如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面解析：A[连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．故选A.]12．(导学号14577652)(理科)长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE＝3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为eq\f(5\r(3),9)，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为()A．4B.eq\r(51)C．4或eq\r(51) D．4或5解析：C[设AE＝x，则EB＝x，BC＝eq\r(9－x2)，AC＝eq\r(9＋3x2).因为A1C1∥AC，所以∠ACE为异面直线A1C1与CE所成角，由余弦定理得eq\f(9＋3x2＋9－x2,2×3×\r(9＋3x2))＝eq\f(5\r(3),9)，所以x4－7x2＋6＝0，所以x2＝1或6，所以x＝1或eq\r(6).设球O的半径为R，则2R＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋AC2)＝eq\r(AB2＋AC2)＝4或eq\r(51).故选C.]12．(导学号14577653)(文科)如图是三棱锥D－ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,2)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(2),2)解析：A[如图，三棱锥D－ABC的棱AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则AE＝1，OE＝1，∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．DE＝eq\r(2)，AO＝eq\r(2)，DO＝eq\r(3).在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝eq\f(1＋3－2,2×1×\r(3))＝eq\f(\r(3),3).故选A.]13．(导学号14577654)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________.解析：如图，取A1C1的中点D1，连接B1D1.因为D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝eq\r(2)a，所以AB1＝eq\r(3)a，B1D1＝eq\f(\r(3),2)a，AD1＝eq\r(\f(1,4)a2＋2a2)＝eq\f(3,2)a.所以，在△AB1D1中，由余弦定理得cos∠AB1D1＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋B1D\o\al(2,1)－AD\o\al(2,1),2AB1·B1D1)＝eq\f(3a2＋\f(3,4)a2－\f(9,4)a2,2×\r(3)a×\f(\r(3),2)a)＝eq\f(1,2)，所以∠AB1D1＝60°.答案：60°14．(导学号14577655)如图，在体积为eq\r(3)的正三棱锥A－BCD中，BD长为2eq\r(3)，E为棱BC的中点，求：(1)异面直线AE与CD所成角的余弦值；(2)正三棱锥A－BCD的表面积．解：(1)过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的中心，由eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3×AO＝eq\r(3)，得AO＝1.又在正三角形BCD中得OE＝1，所以AE＝eq\r(2).取BD中点F，连接AF，EF，故EF∥CD，所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角．在△AEF中，AE＝AF＝eq\r(2)，EF＝eq\r(3).所以cos∠AEF＝eq\f(AE2＋EF2