初二数学难题30道

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1已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）ADPCB

2已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的

延长线交MN于E、F．

F求证：∠DEN＝∠F．E

NC

D

AB

M3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，

点P是EF的中点．

D求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）GCE

ABQ4、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）

DA

FE

BC

5、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF．（初二）

ADF

BCPF

E

6、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求证：PA＝PF．（初二）AD

BPC7、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）

APB8、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）A

P

BC9、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．AECD10、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．

ADP

1.如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，BE=EC，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，连接DE交AB于点BF，试探究线段DF与EF的数量关系，并加以证明。

C

3：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.(1)当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；

(2)当AB=AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.

E

D

AF

4：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌〞表示，并加以证明。

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。

B

C

5：如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交

BC于点E，D∥BC交AC于点F．

（1）点D是△ABC的________心；（2）求证：四边形DECF为菱形．

ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过

点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．

(1)当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋

336：在矩形

PQ；

（2）若BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的

三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。

解：

7：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的

E点上,BG=10.

(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.

AFBEHDAFBEDG图（1）

CGACFH(A)E(B)DB图（2）

GC

8：如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、

C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

APD

BE

C

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x,△PBE的面积为y.

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值

9：如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究以下图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG围着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度?，得到如图2、如图3情形．请你通过观测、测量等方法判断①中得到的结论是否依旧成立,并选取图2证明你的判断．