河北大名2023年高三一诊考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.若双曲线:-与=13>0力>0）的一条渐近线与直线6x—3y+l=o垂直，则该双曲线的离心率为（）

crb~

A.2B.立C.—D.2G

22

2.若数列{%}为等差数列，且满足3+%=%+6，S,为数列{%}的前〃项和，则S产（）

A.27B.33C.39D.44

3.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,3,4},则集合电（AUB）=（）

A.{1,2,6}B.{1,3,6}C.{1,6}D.{6}

4.已知抛物线。：/=4〃%（P>0）的焦点为/,过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与），轴的正半轴交于

点S,与准线/交于点T,且|E4|=2|AS|,则第=（）

II

27

A.-B.2C.-D.3

52

5.在正项等比数列｛““｝中，05-01=15,@4-02=6,则a3=()

1

A.2B.4C.-D.8

2

6.已知产抽，一2%+17)的值域为［s+oo),当正数,21

2，"泄I—m,火！J/Q十七2刑取4、但力

3a+ha+2b

()

5+20

4­

7.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）

8.已知函数/（x）=J—x（a>0）,若函数y=/（x）的图象恒在x轴的上方，则实数。的取值范围为（）

A.B.（0,e）C.（e,+oo）D.1一,1）

9.（%2-2卜工+2）5的展开式中含/的项的系数为（）

A.-20B.60C.70D.80

10.已知六棱锥P-ABCD砂各顶点都在同一个球（记为球。）的球面上，且底面ABC0EF为正六边形，顶点P在

底面上的射影是正六边形ABC£>£~的中心G,若PA=压,AB=O,则球。的表面积为（）

16万9万，

A.------B.-C.6"D.9%

34

11.已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为（）

49316

A.—B.—C.—D.—

31649

12.如图，圆。是边长为2g的等边三角形ABC的内切圆，其与3c边相切于点。，点M为圆上任意一点，

BM=xBA+yBD(x,yeR),则2x+y的最大值为()

M

BD

A.V2B.V3C.2D.272

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.的展开式中含/的系数为.(用数字填写答案)

X

22

14.若双曲线工-二=1(。>0力>0)的两条渐近线斜率分别为占，k,,若k1k,=-3,则该双曲线的离心率为.

a'b-

15.在棱长为2的正方体—中，E是正方形的中心，M为GA的中点，过4M的平面夕与

直线DE垂直，则平面a截正方体ABC。-AgG。所得的截面面积为.

16.点尸是AA8c所在平面内一点且方+无=而，在AA8C内任取一点，则此点取自AP3C内的概率是一

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/'(x)=l+2x--6aInx存在一个极大值点和一个极小值点.

x

(1)求实数a的取值范围；

(2)若函数/(X)的极大值点和极小值点分别为七和马,且/(%)+/(&)<2-6e,求实数a的取值范围.(e是自

然对数的底数)

18.(12分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习

惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出4,B,C,。四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后

由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为XAXBXBD,家长猜测的序号依次为％wycyo,其中

XAXBXC-XD和明吸火山)都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(6-卅)2+(XB-JB)2+(xc-jc)2+

(xn-jD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.

(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.

(i)求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；

(u)求X的分布列(简要说明方法，不用写出详细计算过程)；

(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足XV4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说

明理由.

19.(12分)已知抛物线r：V=2px(p>0)的焦点为凡尸是抛物线「上一点，且在第一象限，满足丽=(2,273)

(1)求抛物线「的方程；

(2)已知经过点A(3,-2)的直线交抛物线「于M,N两点，经过定点8(3,-6)和M的直线与抛物线r交于

另一点L,问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由.

22

20.(12分)已知椭圆E：±y+2_=l,过Q(T,0)的直线/与椭圆£相交于A,B两点，且与)，轴相交于。点.

62

一3一

(1)若PA=]AQ,求直线/的方程；

(2)设A关于x轴的对称点为C,证明：直线过x轴上的定点.

LAI—

21.(12分)在AABC中，角4B、C的对边分别为a、b、c,且2百sir?—+sinA—43=0.

2

(1)求角A的大小；

(2)已知AABC外接圆半径R=6,AC=6,求AABC的周长.

22.(10分)如图，在四棱锥P—A8c。中，四边形A3CD为平行四边形，BDLDC,A尸。为正三角形，平面PCD_L

TOABCD,E为PC的中点.

(1)证明：AP〃平面EBDi

(2)证明：BELPC.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合02=/+〃，构造齐次关系即得解

【详解】

22

双曲线二-4=13>0力>0)的一条渐近线与直线61一3丁+1=0垂直.

a~b~

双曲线的渐近线方程为y=±；%•

b1A1212212

-=—9得4。=a,c—a——a.

a24

则离心率6=£=逝.

a2

故选：B

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

2.B

【解析】

利用等差数列性质，若m+n=p+q,贝ij+/=%,+为求出4=3,再利用等差数列前〃项和公式得

用=113；%)=114=33

【详解】

解：因为3+%=%+6，由等差数列性质，若m+Ap+q,则得，

,4=3.

S,为数列{«„}的前〃项和，则s产卫怨皂=Ha=33.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列性质与等差数列前〃项和.

⑴如果{q}为等差数列，若〃?+〃=?+[,则%+%=4+%(m,n,p,qGN*).

(2)要注意等差数列前〃项和公式的灵活应用，如S2,T=(2〃-1)%.

3.D

【解析】

根据集合的混合运算，即可容易求得结果.

【详解】

•/AuB={1,2,3,4,5},故可得电(AUB)={6}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的混合运算，属基础题.

4.B

【解析】

过点A作准线的垂线，垂足为M,与）‘轴交于点N,由|E4|=2|AS|和抛物线的定义可求得|TS|,利用抛物线的性

112,,

质由+由=/可构造方程求得忸目，进而求得结果.

【详解】

过点A作准线的垂线，垂足为A/,AM与＞轴交于点N,

由抛物线解析式知：尸（P，O）,准线方程为x=一〃.

'.-|E4|=2|AS|,.•.苗=g,...阿=g|OF|=],...|喇="

由抛物线定义知：|AF|=|AM|=gp,.•」AS|=；|4H=gp,即|=2〃，

.-.|75|=|SF|=2p.

1121311,,

由抛物线性质昼石+而后=丁=一得：丁+万后=一，解得：忸月=4〃，

\AF\\BF\2〃p4〃\BF\p11

,阀=4p

.同一行.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.

5.B

【解析】

根据题意得到%-q=15,_4=%q3-%q=6,解得答案.

【详解】

（-1[a=-16

43q=]

a-a=aq=15,%%夕一%＜7=6,解得＜或〈1（舍去）.

5xx[4=2q）

故的=qq-=4.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.

6.A

【解析】

利用y=log2（f-2x+17）的值域为何求出孙再变形，利用1的代换，即可求出7。+4）的最小值.

【详解】

解：Vy=log2（Y-2x+17）=k）g2［（x-l『+16］的值域为［m,”），

/.m=4,

.•.^―+'=4,

6。+2Z?a+2b

7a+4h=-［（6a+2b）+（a+2h］］\—--+—^―|

4LV'v〃（6a+2ba+2b）

_j_5।6a+2b।4(a+2Z?)小(5+4)=?

4a+2b6。+2。

当且仅当"土竺=4”2'）时取等号，

a+2b6a+2b

9

:.7a+4b的最小值为一.

4

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了对数复合函数的值域运用，同时也考查了基本不等式中“1的运用”，属于中档题.

7.A

【解析】

由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1,圆柱的底面

半径为1,高为1.再由球与圆柱体积公式求解.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，

半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.

1A57

贝U几何体的体积为丫=5*3%*/+%*12*1=丁.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8.B

【解析】

函数y=/（x）的图象恒在X轴的上方，G-x>0在（0,+8）上恒成立.即C>x,即函数y=e的图象在直线y=x

上方，先求出两者相切时”的值，然后根据“变化时，函数y=t•的变化趋势，从而得”的范围.

【详解】

由题J—X>0在（0,+8）上恒成立.即幺>x,

y=—的图象永远在》=x的上方,

设y=J与y=X的切点（X。,%），则，，解得a=e,

易知。越小，y=—图象越靠上，所以0<a<e.

a

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒

成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围.

9.B

【解析】

展开式中含/的项是由（x+2）5的展开式中含/和V的项分别与前面的常数项-2和X2项相乘得到，由二项式的通

项，可得解

【详解】

由题意，展开式中含小的项是由（x+2）5的展开式中含力和f的项分别与前面的常数项-2和尤2项相乘得到，

所以（V-2）（%+2）5的展开式中含x4的项的系数为-2C；x2+C；x2、=60.

故选：B

【点睛】

本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.

10.D

【解析】

,_________3

由题意，得出六棱锥P-ABCDEF为正六棱锥，求得PG=yJpA'-AG2=2，再结合球的性质，求得球的半径R=~,

利用表面积公式，即可求解.

【详解】

由题意，六棱锥P-A8CDE77底面ABCDE户为正六边形，顶点尸在底面上的射影是正六边形A3CDE厂的中心G,

可得此六棱锥为正六棱锥，

又由AB=/，所以47=拒，

在直角AE4G中，因为上4=&，所以PG^PA2-AG?=2,

设外接球的半径为R,

3

在A4OG中，可得4?2=AG2+OG2,即R2=（2一R）2+（0）2,解得/?=万，

所以外接球的表面积为S=4乃&=9乃.

故选:D

【点睛】

本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用

球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.

11.D

【解析】

分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.

【详解】

设圆柱的底面圆半径为小则厂=衣彳=/，所以圆柱的体积匕=兀•（百『x2=6兀.又球的体积

43“23-2--7---

匕=一兀、23=二-兀，所以球的体积与圆柱的体积的比及=」_="，故选D.

33V；—6乃—9

【点睛】

本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.

12.C

【解析】

建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x+y的表达式，进而得到最大值.

【详解】

以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系,

设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心，1为半径的圆；

根据三角形面积公式得到；X/周长Xr=s=gXABXACXSin60°,

可得到内切圆的半径为1；

可得到点的坐标为：B(-V3,0),C(V3,0),A(0,3),D(0,0),A/(cos0,1+sin0)

W=(cos0+73,1+sin(9),丽=(6,3),丽=(6,0)

故得至(JBM=(cos6+g,l+sin6)=(Gx+\/^y,3x)

故得到cos6=yj^x+y/5y-百,sin6=3x-1

1+sin。

x=-------

3ccos。sin。42.、4,。

=><，2x+y=y+—+w=wSin(e+0+[<2.

cos0sin62\i3JJJJ

y=—7=------1—

括33

故最大值为：2.

故答案为C.

【点睛】

这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等

式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一

般方法.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.10

【解析】

由题意得，二项式展开式的通项为=(—2)，C05-2『,

X

令r=l,则7；=(—2)(，=_10总所以v得系数为TO.

14.2

【解析】

力2h2

由题得勺&二一彳=一3,再根据彳=/一1求解即可.

aa

【详解】

双曲线与一4=1的两条渐近线为y=±%，可令匕=上左,=2,则供=一与=_3,所以4=e2—l=3,解得

a'b-aaaa'a-

e=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.

is.2n

【解析】

确定平面AWCN即为平面a,四边形A"CN是菱形，计算面积得到答案.

【详解】

如图，在正方体—中，记A3的中点为N,连接MC,CN,N%,

则平面4MCN即为平面a.证明如下：

由正方体的性质可知，A.MHNC,则4，M,CN,N四点共面，

记CG的中点为连接。尸，易证_LMC.连接所，则瓦'LMC,

所以MC,平面则。E_LMC.

同理可证，DELNC,NCHMC=C,则。平面A"CN,

所以平面4MCN即平面a,且四边形AMCN即平面a截正方体ABC。—44G2所得的截面.

因为正方体的棱长为2,易知四边形AMCN是菱形，

其对角线4。=26，MN=2日所以其面积S=gx2啦x2G=2指.

故答案为：2m

DtM

【点睛】

本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

1

16.-

3

【解析】

S1

设。是BC中点，根据已知条件判断出AP,。三点共线且P是线段AZ)靠近O的三等分点，由此求得三皿=£,

结合几何概型求得点取自三角形P8C的概率.

【详解】

设。是BC中点，因为方+定=丽，所以2丽=丽，所以A、P、。三点共线且点/)是线段AO靠近。的三等

分点,

故》£.=：,所以此点取自APBC内的概率是1.

【点睛】

本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

<4A/、

17.(1)-,+oo；(2)(e,-Hx)).

I，/

【解析】

（1）首先对函数/（X）求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围;

（2）首先求出/（3）+/（占）的值，再根据/（%）+/（工2）＜2—60求出实数”的取值范围.

【详解】

（1）函数“X）的定义域为是（0,+8）,

2a6a2x2-6ax+2a

/3=2

+7一2

XX

若/（X）有两个极值点，则方程2/—6以+2a=0一定有两个不等的正根,

设为王和々，且王＜“2，

△=36。2一16"0

4

所以＜X+%=3。＞0解得。＞一,

9

xxx2=a＞0

此时=2（…口…2）,

当0＜x＜X时，/'（x）＞0,

当办cxcx?时，

当时，/'（x）＞。，

故X1是极大值点，Z是极小值点，

故实数a的取值范围是［［，+8］;

(2)由(1)知，xi+x2=3a,xtx2=a,

2a2〃

则/(玉)+/(*2)=]+2尤i-----6aIn玉+1+2x>------6aInx,,

否

=2+2（x+二2）―24（%+尤2）_6a］n元］电，

王天2

ccr2。•3。/1c/1

=2+2x3a6aIna=2-6aInci,

a

由f(xJ+/(%2)<2—6e,得2-6alnav2-6e,即alnQ>e,

令g(a)=alna[a〉：)，考虑到g(e)=elne=e,

所以alna>e可化为g(a)>g(e),

4i

而g'(a)=l+ln。>l+ln—>14-ln-=0,

所以g(a)在偿,+j上为增函数，

由g(a)>g(e),得a>e,

故实数a的取值范围是(e,E).

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.

18.(D(i)?(ii)分布表见解析；(2)理由见解析

【解析】

(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有禺=24种等可

能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游

戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率.

(ii)根据(i)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列.

(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P(XV4)=尸(X=0)+P(X=2)=，，三轮游戏结果

都满足“XV4”的概率为一!〈工，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

2161000

【详解】

(1)(0若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，

则家长对小孩的排序是随意猜测的，

先考虑小孩的排序为以，XB,xc,切为1234的情况，家长的排序有A：=24种等可能结果，

其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

.••家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率尸=U.

248

基小孩对四种食物的排序是其他情况，

只需将角标A,B,C,〃按照小孩的顺序调整即可，

假设小孩的排序XA,XB,XC,m为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB,

再研究yAynycyn的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，

他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为1.

O

(«)根据(力的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况,

列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

112111£1]_1

P

248246121212624824

(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.

理由如下：

假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由(1)可知，在一轮游戏中，

P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=L

6

三轮游戏结果都满足“XV4”的概率为(!)3=」—<―，

62161000

这个结果发生的可能性很小，

...这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

19.(1)j2=4x；；(2)直线NL恒过定点(-3,0),理由见解析.

【解析】

(1)根据抛物线的方程，求得焦点尸弓，Q),利用丽=(2,26)，表示点尸的坐标，再代入抛物线方程求解.

4x+yny>4x+yny,

(2)设M(xo,y0),N(xi,ji),L(M,%),表示出MN的方程y=------山和ML的方程y=-----------,因为

%+X为+%

A(3,-2),B(3,-6)在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得山口=12,然后表示直线NL的方程为：y-

42

山=------(x-里v)，代入化简求解.

%+%4

【详解】

(1)由抛物线的方程可得焦点尸(5,0),满足丽=(2,2百)的尸的坐标为(2+5,2月)，P在抛物线上，

所以(2道)』2p(2+^),即p2+4p-12=0,p>0,解得p=2,所以抛物线的方程为：/=4*；

(2)设Af(xo,jo)>N(xi,ji),L(X2,J2),则以2=4X],"=4X2,

；一一儿一一-)‘。—4

直线MN的斜率kMNN-%):_%2X+No，

，

4v?

则直线MN的方程为：y-y°=----------(x—2-),

X+%4

4x+x)y①

即广

%+x

4x+yy,

同理可得直线ML的方程整理可得>=——巫n之②,

将A(3,-2),B(3,-6)分别代入①，②的方程

12+%)

-2

%+

可得<消以可得yi>2=12,

12+%%

-6

%+%

44V2

易知直线ANL=------,则直线NL的方程为：=-----------(x-

X+%M+%4

4,।X%412

即广故》=------------X~^---------------

X+>2X+%

4

所以y=(x+3),

因此直线NL恒过定点(-3,0).

【点睛】

本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的

能力，属于中档题.

20.(1)y=^x+也或y=-也无一1；(2)见解析

-82-82

【解析】

(1)由已知条件利用点斜式设出直线/的方程，则可表示出点P的坐标，再由西=|湎的关系表示出点A的坐标,

而点A在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程中可求出直线的斜率

（2）设出A,8两点的坐标，则点C的坐标可以表示出，然后直线的方程与椭圆方程联立成方程，消元后得到关

于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系，再结合直线的方程，化简可得结果.

【详解】

（1）由条件可知直线/的斜率存在，则

可设直线/的方程为），=依%-4）,则P（0,4外，

__3__3

由序=5项，有⑶，以一的二万J"%—以），

所以乙=一二，以=1-，

（128cf_12?（8%丫