空间向量及其运算 学案

※§空间向量及其运算一、知识导学1空间直角坐标系：（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则，，，，，．（2）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若，则．5．夹角公式：．6．两点间的距离公式：若，，则二、疑难知识导学1、对于这部分的一些知识点，读者可以对照平面向量的知识，看哪些知识可以直接推广，哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于记忆；2、空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性，所以本节的学习难点在于掌握应用空间向量的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化的思想方法．如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．3、向量运算的主要应用在于如下几个方面：(1)判断空间两条直线平行(共线)或垂直；(2)求空间两点间的距离；(3)求两条异面直线所成的角.4、本节内容对于立体几何的应用，读者需自行复习，这里不再赘述。三、经典例题导讲[例1]下列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是（）ABCABCD错解：B、C、D中任选一个错因：对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系．正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选(C)．[例2]已知点A(－3，－1，1)，点B(－2，2，3)，在Ox、Oy、Oz轴上分别取点L、M、N，使它们与A、B两点等距离．错因：对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。分析：设Ox轴上的点L的坐标为(x，0，0)，由题意可得关于x的一元方程，从而解得x的值．类似可求得点M、N的坐标．解：设L、M、N的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)．由题意，得(x＋3)2＋1＋1＝(x＋2)2＋4＋9，9＋(y＋1)2＋1＝4＋(y－2)2＋9，9＋1＋(z－1)2＝4＋4＋(z－3)2．分别解得，故评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：若点P、Q的坐标分别为(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)，则P、Q的距离为必须熟练掌握这个公式．[例3]设，，且，记，求与轴正方向的夹角的余弦值错解：取轴上的任一向量，设所求夹角为，∵∴，即余弦值为错因：审题不清。没有看清“轴正方向”，并不是轴正解：取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，∵∴，即为所求[例4]在ΔABC中，已知＝(2,4,0),＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿解：=∴∠ABC＝135°[例5]已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标分析：⑴∴∠BAC＝60°，⑵设＝(x,y,z)，则解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1).[例6]已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，求异面直线和的距离解：以为原点，所在的直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，则，设，∵在平面上，∴，即，∴，∵，∴，解得：，∴，∴．另外,此题也可直接求与间的距离设与的公垂线为，且，设，设，则，∴，∴，同理，∴，∴，∴，解得：，，．四、典型习题导练1．已知向量的夹角为（） A．0°B．45° C．90°D．180°2．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足 则△BCD是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定3．已知是空间二向量，若的夹角为.4．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若为 .5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥