排队论基础及模型

排队论基础及模型1第1页，共85页，2023年，2月20日，星期五学习内容大纲内容知识要点基本概念排队系统泊松分布、负指数分布排队系统排队系统的一般指标排队模型的运用M/M/1、M/M/C排队问题的仿真Excel仿真2第2页，共85页，2023年，2月20日，星期五引导案例-1银行排队系统3第3页，共85页，2023年，2月20日，星期五引导案例-2医院排队系统4第4页，共85页，2023年，2月20日，星期五形形色色的排队系统达到的顾客要求服务的内容服务的机构出故障的机器修理技工病人电话呼叫进港货船入水库河水达到机场上空的飞机刑事案件达到路口的车辆来犯敌机修理领取修配零件诊断（或治疗）通话装（卸）货放水、调整水位降落侦破通过路口截击修理技工发放修配零件的管理员医生（或治疗设备）交换台装（卸）货码头（泊位）水闸、管理员跑道刑侦部门交通信号灯我防空部队5第5页，共85页，2023年，2月20日，星期五为什么会出现排队现象？假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每位顾客的平均服务时间为15分钟。如果顾客到达的间隔时间正好是15分钟，而服务人员为每位顾客的服务时间也正好是15分钟，那么，就只需要一名服务人员，顾客也根本用不着等待。

在以下情况将出现排队现象：平均到达率高于平均服务率顾客到达的间隔时间不一样（随机）服务时间不一样（随机）顾客离开顾客顾客排队服务设施6第6页，共85页，2023年，2月20日，星期五到达数量时间普通能力排队问题并不是系统的固定状态，它与系统设计与管理的控制有很大关系。如快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客留出特定的时间段；也可以通过使用更快的服务人员、机器或采用不同的设施布局和政策来影响顾客的到达时间和服务时间。7第7页，共85页，2023年，2月20日，星期五1排队论的基本问题

1.1排队论的主要研究内容数量指标研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统的基本运行特征。统计推断检验系统是否达到平稳状态；检验顾客达到间隔的独立性；确定服务时间分布及参数。系统优化系统的最优设计和最优运营问题。8第8页，共85页，2023年，2月20日，星期五1.2排队论的经济含义排队问题的核心问题实际上就是对不同因素做权衡决策。管理者必须衡量为提供更快捷的服务（如更多的车道、额外的降落跑道、更多的收银台）而增加的成本和相应的等待造成的费用之间的关系。9第9页，共85页，2023年，2月20日，星期五服务成本与等待成本的权衡（成本－效益平衡）总成本成本最佳能力等待成本服务成本最小值排队分析的目的是使顾客等待成本与服务能力成本这两项成本之和最小10第10页，共85页，2023年，2月20日，星期五2排队论概述

2.1基本概念概念在队列中，等待服务的顾客（customer）和服务台（server）就构成了一个排队系统（queuingsystem）。本质研究服务台与顾客之间服务与接收服务的效率问题。总体目标以最少的服务台满足最多的客户需求。11第11页，共85页，2023年，2月20日，星期五2.2排队系统的一般形式排队可以是有形的队列，也可以是无形的队列。排队可以是人，也可以是物。顾客源排队结构服务机构顾客到来排队规则服务规则顾客离去服务系统12第12页，共85页，2023年，2月20日，星期五3排队问题的特征总体来源到达与服务模式排队纪律（服务顺序）服务员数量（通道）13第13页，共85页，2023年，2月20日，星期五有限顾客源例如：公司只有三台机器时，需要维修的数量潜在顾客数量无限顾客源例如：排队等候公共汽车的乘客人数3.1总体来源分析排队问题所用方法取决于潜在顾客数量是否有限。本章讨论的重点14第14页，共85页，2023年，2月20日，星期五3.2顾客到达与服务模式常用的模型假定顾客到达速度服从泊松分布，服务时间服从指数分布。15第15页，共85页，2023年，2月20日，星期五3.2.1泊松分布定义：设N（t）为时间[0，t]内达到系统的顾客数，如果满足下面三个条件：平稳性：在[t，t+△t]内有一个顾客达到的概率与t无关；独立性：在任意两个不相交时间区间内顾客达到相互独立；普通性：在[t，t+△t]内多于一个顾客达到的概率极小，为(△t)，可以忽略。则称｛N（t），t≥0｝为Poisson过程，其对应的分布为泊松分布（Poisson分布）。16第16页，共85页，2023年，2月20日，星期五泊松分布的形式相对频度01234567891011120.200.180.160.140.120.100.080.060.040.020.00泊松分布（比率）每单位时间顾客数图泊松分布17第17页，共85页，2023年，2月20日，星期五泊松分布的概率密度函数如果一个系统的平均到达率是每分钟有3个顾客到达（=3），求1分钟内有5个人到达的概率18第18页，共85页，2023年，2月20日，星期五3.2.2指数分布当顾客以完全随机的方式到达服务实施时，相邻到达间隔时间服从指数分布，但平均到达率不变；随机服务时间服从指数分布，但平均服务率不变；19第19页，共85页，2023年，2月20日，星期五（负）指数分布的形式图负指数分布指数分布（时间）相对频率％0时间20第20页，共85页，2023年，2月20日，星期五（负）指数分布的概率密度函数21第21页，共85页，2023年，2月20日，星期五（1）（2）（3）t（分钟）下一个顾客在大于等于t分钟内到达的概率下一个顾客在小于等于t分钟内到达的概率01.0000.50.610.391.00.370.631.50.220.782.00.140.86表下一个到达的顾客的时间间隔的概率22第22页，共85页，2023年，2月20日，星期五3.2.3泊松分布和指数分布的关系泊松分布与指数分布可以互相推导得到。泊松分布的期望值和方差相等，都为；指数分布期望值为1/,方差为1/

2

。相邻顾客到达时间间隔服从指数分布，单位时间段内到达的顾客数服从泊松分布。23第23页，共85页，2023年，2月20日，星期五3.3排队纪律/排队规则/服务顺序排队规则的3种类型

损失制

等待制排队规则混合制24第24页，共85页，2023年，2月20日，星期五等待制的四种类型等待制最短处理时间SPT随机服务RS后到先服务LCFS先到先服务FCFS25第25页，共85页，2023年，2月20日，星期五3.4服务员数量排队系统中的常见变形Titleinhere多通道单阶段Titleinhere单通道多阶段Titleinhere单通道单阶段Titleinhere多通道多阶段排队系统26第26页，共85页，2023年，2月20日，星期五排队系统的四种变形-1单通道多阶段

服务台单通道，单阶段

排队单通道、单阶段排队系统单通道、多阶段排队系统

排队

服务台

服务台27第27页，共85页，2023年，2月20日，星期五多通道单阶段多通道多阶段多通道、单阶段排队系统多通道、多阶段排队系统排队系统的四种变形-228第28页，共85页，2023年，2月20日，星期五4排队模型

4.1排队问题的一般表达方式一般形式：X/Y/CX—顾客相继达到时间间隔的概率分布；Y—服务时间的概率分布；C—服务台的个数；29第29页，共85页，2023年，2月20日，星期五4.2一些特殊排队模型模型分布服务阶段顾客源到达分布排队规则服务时间分布队列长度典型例子模型表示1单通道单一无限泊松FCFS指数无限只有一个出口的收费桥M/M/12单通道单一无限泊松FCFS常数无限游乐园的过山车M/G/13多通道单一无限泊松FCFS指数无限银行柜台服务M/M/C4多通道单一有限泊松FCFS指数无限工厂里故障机器的维修指数分布常数分布30第30页，共85页，2023年，2月20日，星期五4.3模型符号定义（无限顾客源）符号代表顾客到达速度（到达率）；1/代表相邻到达平均时间间隔µ,u服务速度（服务率）；

1/µ

代表平均服务时间ρ系统利用率，即到达率与服务率的比值Lq等候服务的顾客平均数Ls系统中的顾客平均数（正在等候的＋正在接受服务的）Wq顾客排队等候的平均时间Ws顾客在系统中花费的平均时间（排队等候时间＋服务时间）r正在接受服务的顾客平均数n系统中的平均顾客数C服务台（通道）数量P0系统0个顾客概率Pn系统有n个顾客的概率Lmax队列中等候的最大期望值31第31页，共85页，2023年，2月20日，星期五系统利用率正在接受服务的顾客平均数系统中的平均顾客数系统中等待的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均等待时间4.4模型参数计算-1（M/M/1）32第32页，共85页，2023年，2月20日，星期五三种重要的关系“管道原理”:稳定系统中平均输出=平均输入（率）=时间的可加性在系统中逗留的时间等于服务时间加排队利特尔法则33第33页，共85页，2023年，2月20日，星期五4.4模型参数计算-2（M/G/1）系统利用率正在接受服务的顾客平均数系统中等待的平均顾客数系统中的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均等待时间常数服务时间能将系统的平均顾客数砍掉一半34第34页，共85页，2023年，2月20日，星期五4.4模型参数计算-3（M/M/C）-1系统利用率正在接受服务的顾客平均数系统中等待的平均顾客数系统中的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均等待时间35第35页，共85页，2023年，2月20日，星期五4.4模型参数计算-3（M/M/C）-236第36页，共85页，2023年，2月20日，星期五例1一个码头，设待卸货船到达时间间隔服从负指数分布，平均到达2艘/小时；服务台是1台吊车，卸货时间服从负指数分布，平均每20分钟可卸一艘货船，当被占用时，新到货船只能停在码头等待。求在平稳状态下码头上货船的平均数；等待卸货船只的平均数；每艘货船在码头的平均停留时间；货船平均需等待多长时间可以开始卸货。37第37页，共85页，2023年，2月20日，星期五解：这是一个典型的M/M/1排队问题38第38页，共85页，2023年，2月20日，星期五例2某医院手术室根据病人就诊和完成手术时间的记录，任意抽查100个工作小时，每小时来就诊的病人数n的出现次数如表6所示。又任意抽查了100个完成手术的病例，所用时间t出现的次数如下表所示。试分别用公式、excel和仿真求解：39第39页，共85页，2023年，2月20日，星期五

到达病人数

n出现次数

fn01012822931641056≥61合计100到达病人数为病人完成手术时间t/小时出现次数

ft0.0~0.2380.2~0.4250.4~0.6170.6~1.890.8~1.061.0~1.25>1.20合计100手术时间40第40页，共85页，2023年，2月20日，星期五解：这也是一个M/M/1排队问题（1）计算平均到达率

平均手术时间

平均服务率41第41页，共85页，2023年，2月20日，星期五（2）取=2.1，=2.5，通过统计检验方法认为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数为2.5的指数分布。（3）服务设备利用率这说明服务机构（手术室）有84%的时间是繁忙的（被利用），有16%的时间是空闲的。42第42页，共85页，2023年，2月20日，星期五（4）依次带入公式，算出各指标得：43第43页，共85页，2023年，2月20日，星期五单通道仿真视频44第44页，共85页，2023年，2月20日，星期五排队系统仿真软件Flexsim-1Flexsim是建立在系统理论、控制理论、数理统计、信息技术和计算机技术等理论基础之上的仿真软件，它是系统模型规范化和数字化相结合的过程。45第45页，共85页，2023年，2月20日，星期五排队系统仿真软件Flexsim-2Flexsim在排队系统中的应用主要是利用仿真模型来研究排队系统，首先通过仿真模型的运行，便于更好的观测排队系统过程中出现的一系列复杂变化和动态过程；其次通过仿真模型稳定后的相关值与排队系统理论值的比较，得出他们的值正好相等。Flexsim在排队系统中的应用有助于我们进一步理解排队系统的相关概念和加深对排队系统的全面认识，从而对改进排队系统做出正确的举措。46第46页，共85页，2023年，2月20日，星期五单通道Excel求解47第47页，共85页，2023年，2月20日，星期五例3-1Robot公司在全美经营把加油和汽车冲洗合并在一起的业务。Robot公司对加满油的车辆提供免费冲洗，对于不加油只冲洗的车收费0.5美元。以往的经验表明：加油并且洗车的顾客数和单独洗车的顾客数大致相等。平均加一次油可盈利0.7美元，洗一次车的成本是0.1美元，公司每天营业14小时。Robot有三档功率和清洗组合不同的设备。选择I档功率时，可以每5分钟洗1辆车，每天的成本是12美元。II档功率高于I档，每4分钟洗1辆车，但每天的成本是16美元；选择III档功率时，每洗1辆车需3分钟，但每天的成本是22美元。48第48页，共85页，2023年，2月20日，星期五例3-2Robot公司估计，每个顾客洗1辆车不愿等待的时间不超过5分钟，若等待的时间过长，公司将失去顾客。若估计每小时有10名顾客前来洗车，那么该选择哪档功率的设备？49第49页，共85页，2023年，2月20日，星期五解：这是一个典型的M/G/1排队问题（1）选择功率I时顾客平均等待时间50第50页，共85页，2023年，2月20日，星期五（2）选择功率II时顾客平均等待时间如果等待时间是唯一标准，则应选择功率II的设备，但在我们做出最后结论之前，还必须看一下二者的利润差异。51第51页，共85页，2023年，2月20日，星期五(3)对于功率I，由于等待时间为12.5分钟，部分顾客会放弃接受服务。尽管这将使数学分析复杂化，我们仍可以估计出选择功率I时营业额的减少量。我们可以通过假设Wq=5分钟（1/12小时），并从中解得，这将是最有效的顾客到达率。52第52页，共85页，2023年，2月20日，星期五因此，既然的最初估计是10人/小时，则每小时将失去2名顾客。每天的损失(S)：而选择功率II，成本只增加了4美元/天，显然，相比较于损失的15.4美元，我们都会选择功率II设备。功率II能满足最初设定的5分钟等待最大限度，因而功率III可不予考虑，除非变大。53第53页，共85页，2023年，2月20日，星期五例4Disneyland乐园中的排队在游乐园中的频频排队会极为扫兴，Disneyland中的FastPass(QuickPass)系统就是想解决这个问题的。其工作原理如下：到达的顾客将自己的票插入FastPass的slot中；FastPass计算出建议顾客返回的时间间隔或时间点或时间窗；顾客无需排队，在指定的时间返回就可持票进入。54第54页，共85页，2023年，2月20日，星期五思考QuickPass对排队系统的那些特征参数做了改变？改变顾客到达模式，是如何影响系统绩效？55第55页，共85页，2023年，2月20日，星期五解：

泊松分布到达常数分布到达平均达到率11人/分钟11人/分钟平均服务率12人/分钟12人/分钟排队长度5.040系统队长5.960平均排队时间0.460系统利用率91.70%91.70%56第56页，共85页，2023年，2月20日，星期五Disneyland问题解决了吗？如果游客不按时间返回？是否让游客等待时间太久了？过山车是按时间开还是人数一够就开？/~yaoxie/Pubs_2.htm57第57页，共85页，2023年，2月20日，星期五例5某售票所有三个窗口，顾客的到达服从泊松分布，平均到达速率

=0.9人/min；售票时间服从负指数分布，平均服务速率µ=0.4人/min。现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票，如图所示。试分别用公式、excel和仿真求解：(1)整个售票所空闲概率(2)平均队列长和平均队长(3)平均等待时间和逗留时间(4)顾客到达后必须等待的概率（n≥3)58第58页，共85页，2023年，2月20日，星期五顾客到达和服务图59第59页，共85页，2023年，2月20日，星期五解：这是一个典型的M/M/C排队问题(1)整个售票所空闲概率60第60页，共85页，2023年，2月20日，星期五(2)平均排队长度和平均队列长(3)平均等待时间和逗留时间61第61页，共85页，2023年，2月20日，星期五(4)顾客到达后必须等待的概率（n≥3)62第62页，共85页，2023年，2月20日，星期五M/M/3仿真视频63第63页，共85页，2023年，2月20日，星期五M/M/3Excel求解64第64页，共85页，2023年，2月20日，星期五例6银行取号系统有用吗？就例5，如果其他条件不变，顾客到达后在每个窗口前各排一队，且进入队列后坚持不换，就形成3个队列，如下图所示。试分别用公式、excel求解：(1)整个售票所空闲概率(2)平均队列长度和平均队长(3)平均等待时间和逗留时间(4)顾客到达后必须等待的概率（n≥3)65第65页，共85页，2023年，2月20日，星期五顾客到达和服务图66第66页，共85页，2023年，2月20日，星期五解：这是3个M/M/1同时服务的排队问题(1)整个售票所空闲概率(每个窗口空闲)(4)顾客到达必须等待的概率（每个窗口n≥1)67第67页，共85页，2023年，2月20日，星期五(2)平均排队长度和平均队列长(3)平均等待时间和逗留时间68第68页，共85页，2023年，2月20日，星期五3个M/M/1Excel求解69第69页，共85页，2023年，2月20日，星期五结论：银行取号系统是有效的指标数值排队长度1.70系统队长3.95平均排队时间1.89服务台空闲概率0.075顾客必须等待的概率0.57指标数值排队长度2.25系统队长9平均排队时间7.5服务台空闲概率0.25顾客必须等待的概率0.7570第70页，共85页，2023年，2月20日，星期五结论：银行取号系统是有效的从这两个系统的主要指标比较可以看出混合排队比独立排队具有显著的优越性，这一点是在排队系统的排队方式的设计时应该注意的。71第71页，共85页，2023年，2月20日，星期五普遍结论：集中使用优于分散使用将资源组合在一起为所有的顾客提供服务，可以在等待时间不变的条件下，减少所需要的资源总量。如果是两列独立排队，那么客户可能要等那位指定的服务人员提供服务，这位服务人员可能当时正忙得抽不开身，而另一位服务人员却闲着没事干。在集中使用的系统中就不会出现这种现象。大规模制造或服务设施的规模经济学在保持同样利用率的情况下减少平均等待时间在保持同样平均等待时间的情况下提高利用率72第72页，共85页，2023年，2月20日，星期五5排队系统最优设计——成本分析

5.1概述排队系统的最优设计和最优控制，即排队系统的最优化问题，其目的在于使排队系统达到最大效益或者说在一定指标下使排队系统最为经济。73第73页，共85页，2023年，2月20日，星期五服务成本与等待成本的权衡（成本－效益平衡）总成本成本最佳能力等待成本服务成本最小值排队分析的目的是使顾客等待成本与服务能力成本这两项成本之和最小74第74页，共85页，2023年，2月20日，星期五5.2M/M/1模型中的最优服务率u-1最佳服务能力是使总成本最小化：总成本=顾客等候成本+服务能力成本75第75页，共85页，2023年，2月20日，星期五5.2M/M/1模型中的最优服务率u-2所以M/M/1模型的最优服务率为：76第76